2023高考真題29 等差等比數(shù)列的綜合問題(學(xué)生版)

專題29等差等比數(shù)列的綜合問題

【高考真題】

1.(2022.全國甲理文)記5“為數(shù)列｛冊｝的前"項和.已知早+”=%+1.

n

(1)證明：㈤｝是等差數(shù)列；

(2)若％，"7，的成等比數(shù)列，求Sa的最小值.

2.(2022?新高考H)已知｛叫為等差數(shù)列，例｝是公比為2的等比數(shù)列，且為-3=%-%=3-%.

(1)證明：％=4；

(2)求集合｛k\bk=am+ai,\<m<500｝中元素個數(shù).

3.(2022?浙江)已知等差數(shù)列㈤｝的首項4=-1,公差〃>1.記｛叫的前〃項和為超卜一)

⑴若§4-202a3+6=0,求S“；

⑵若對于每個“eN*,存在實數(shù)％,使4+%，4+I+4C”,4+2+15。成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

【知識總結(jié)】

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫

做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為斯一。,一="(常數(shù))(〃22,

〃WN*)或知+|一%=或常數(shù))(〃61*0.

(2)等差中項

若三個數(shù)，?,4,b成等差數(shù)列，則A叫做。與6的等差中項，且有4=早.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式：斯=41+(〃一】)".

(2)前n項和公式：+當%或S,產(chǎn)幽產(chǎn).

3.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)(不為零)，那

么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為誓=

Cln

GN*,4為非零常數(shù)).

(2)等比中項：如果在。與6中間插入一個數(shù)G,使a,G,人成等比數(shù)列，那么G叫做”與b的等比

中項，此時，G2=ah.

4.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式：a,,=a\q"

nci\,q=1,

(2)前〃項和公式：S?—'ai(l-g")ai-a”q

,=1，q*L

Ii—<j—q

【題型突破】

1.(2017?全國I)記S”為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和.已知S2=2,S3=-6.

(1)求｛a“｝的通項公式；

(2)求S”并判斷S“+i,S”,S“+2是否成等差數(shù)列.

2.已知數(shù)列｛%｝的前w項和為5“，且2S”=3a"一3"+i+3(wGN*).

(1)設(shè)兒=生，求證：數(shù)列｛兒｝為等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛?。耐椆剑?/p>

(2)設(shè)金=卓一等，7；=CI+C2+C3T----分，求力“

3.已知公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”$+1,S3,S4成等差數(shù)列，且山，“2,的成等比數(shù)

歹U.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

⑵若S4,S6,S,成等比數(shù)列，求〃及此等比數(shù)列的公比.

4.(2020.全國HI)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝滿足”|+〃2=4,43—0=8.

(1)求他“｝的通項公式；

(2)記S"為數(shù)列｛log3。,｝的前〃項和.若*,+S“+l=Sm+3,求小

5.(2017?全國H)已知等差數(shù)列｛斯｝的前,7項和為S”等比數(shù)列｛5｝的前〃項和為0=—1,加=1,42

+/>2=2.

(1)若辦+歷=5,求｛兒｝的通項公式；

(2)若73=21,求S3.

6.(2019?全國H)已知｛為｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，0=2,。3=2公+16.

(1)求｛如｝的通項公式；

(2)設(shè)兒=10g2"”求數(shù)列｛d｝的前〃項和.

7.(2016?全國I)已知｛為｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛兒｝滿足5=1,歷號，anbn+t+b?+i=nbn.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)求｛兒｝的前〃項和.

8.已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S,,數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足/+詈+…+,=5—(4〃+5)0"，求數(shù)列｛兒｝的前n項和T,,.

U\U2Un\A/

9.(2019?北京)設(shè)｛““｝是等差數(shù)列，a\=-10,且s+10，4/3+8,出+6成等比數(shù)列.

(1)求｛3｝的通項公式；

(2)記｛小｝的前“項和為S”，求S”的最小值.

10.(2019?天津)設(shè)他“｝是等差數(shù)列，伯,｝是等比數(shù)列.已知。|=4,小=6,岳=2s—2,加=2內(nèi)+4.

(1)求｛m｝和｛d｝的通項公式.

],2“<〃<2?+1,

(2)設(shè)數(shù)列｛c〃｝滿足乃=1,c,產(chǎn),'7'其中左WN*.

bk，〃=2人，

①求數(shù)列｛儂(C2L1)｝的通項公式;

②求￡ajCi(〃￡N*).

i—1

11.在①歷+犯=。2,②如=兒，③$5=—25這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的火存

在，求出％的值；若%不存在，請說明理由.

設(shè)等差數(shù)列｛如｝的前“項和為S",｛兒｝是等比數(shù)列，,加=。5,歷=3,Z?5=-81,是否存在k,

使得S?>S*+1且Sk+\<Sk+2,!

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

lan,"為奇數(shù)，1

12.在①為=〃小，②瓦=,?/田她③兒=方;-----^7：---；這三個條件中任選一個，補充在下

log2a,?〃為偶數(shù)，(log2a〃+i)(log2斯+2)

面問題中，并解答.

問題：已知數(shù)列｛〃“｝是等比數(shù)列，且0=1,其中m，a2+\,6+1成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)記,求數(shù)列｛兒｝的前2n項和T2n.

13.從①前"項和S,=/+p3eR)；②小=4"+1—3；③期=11且2a"+i=a“+a”+2這三個條件中任選一個，

填至橫線上，并完成解答.

在數(shù)列｛如｝中，0=1，，其中"WN*.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若0,an,a,”成等比數(shù)列，其中如〃CN*,且機>">1,求機的最小值.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

14.在①歷。3=06,②仇=02,③Ss-$3=48這三個條件中任選一個，補充至橫線上.若問題中的正整數(shù)

人存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

設(shè)正數(shù)等比數(shù)列｛仇｝的前〃項和為S”｛為｝是等差數(shù)列，,歷=44,ai=2,的+的+的=30,

是否存在正整數(shù)出，使得&+1=&+a+32成立？

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

15.在①加=如，②"3=3從，③42=4/72這三個條件中任選一個，補充至橫線上，再判斷｛金｝是否是遞增數(shù)

歹心請說明理由.

已知｛““｝是公差為1的等差數(shù)列，｛兒｝是正項等比數(shù)列，0=6=1,，c.=a,及(〃GN*).判

斷｛c“｝是否是遞增數(shù)列，并說理理由.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

16.已知｛〃“｝是等差數(shù)列，｛兒｝是等比數(shù)列，且｛仇｝的前n項和為S?,2al=岳=2,。5=5(如一俏),.在

①兒=4(仇一%)，②兒+i=S“+2這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題

的解答.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛d｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛為一九｝的前n項和T,,,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

17.在①S"="+〃；②43+45=16,S3+S5—42；③^^=4°，$7=56這三個條件中任選一個補充在下面

的問題中，并加以解答.

設(shè)等差數(shù)列｛知｝的前"項和為S”數(shù)列｛兒｝為等比數(shù)列.,bi=a「左=竽求數(shù)歹暇+為｝

的

前n項和T：

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.已知各項均不相等的等差數(shù)列｛斯｝的前四項和$4=14,且