數(shù)形結合在高考解題中

------------數(shù)形結合在高考解題中的應用摘要：數(shù)學中兩大研究對象“形”與“數(shù)”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素。數(shù)形結合是推動數(shù)學發(fā)展的動力。數(shù)形結合不應僅僅作為一種解題的方法，而應作為一種基本的，重要的數(shù)學思想來學習，研究和掌握運用。數(shù)形結合能力的提高，有利于從數(shù)與形的結合上深刻認識數(shù)學問題的實質(zhì)，有利于扎實打好數(shù)學的基礎，有利于數(shù)學素質(zhì)的提高，同時必然促進數(shù)學能力的發(fā)展。數(shù)形結合是中學數(shù)學中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考題采用此法解決，可起到事半功倍的效果。在高考試題中，選擇題、填空題由于不要求寫出解答過程，命題時常對掌握及應用數(shù)形結合的思想方法解決問題的能力提出較高的要求，要求考生應用數(shù)形結合思想，通過數(shù)與形的轉化，找到簡捷的思路，快速而準確地做出判斷，從而得出結果；對于要求完整寫出解題過程的解答題，由于包含的知識量大、涉及的概念多，數(shù)形結合的思想主要用于思路分析、化簡運算及推理的過程，以求快速準確地分析問題、解決問題。其基本模型有：1、距離函數(shù)2、斜率函數(shù)3、Ax＋By截距函數(shù)4、5、6、雙曲線a．數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合。b．實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內(nèi)容有關：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；②函數(shù)與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。c．數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。關鍵詞：數(shù)形結合；斜率；單位圓；向量；函數(shù)；方程；幾何模型；導數(shù)；復數(shù)一：數(shù)形結合思想在解決集合問題中的應用．1、利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題．一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素．利用韋恩圖法能直觀地解答有關集合之間的關系的問題．如：例1、有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時參加數(shù)理小組的8人，同時參加數(shù)化小組的6人，同時參加理化小組的7人，問同時參加數(shù)理化小組的有多少人？C（化）A（數(shù)）C（化）A（數(shù)）B（理）參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如右圖），則三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)．用n表示集合的元素，則有：即：∴，即同時參加數(shù)理化小組的有1人．例2、設，已知IA∩IA∩B3,5,72AB1,94,6,8分析：如圖，用長方形表示全集I，用圓分別表示集合A和B，用n表示集合的元素，則有：從韋恩圖我們可以直觀地看出：．2、利用數(shù)軸解決集合的有關運算和集合的關系問題．例3、設?！ぃ?。·－4－２０１２４３。·分析:分別先確定集合A，B的元素，，然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案：(公共部分)(整個數(shù)軸都被覆蓋)(除去重合部分剩下的區(qū)域)(除去覆蓋部分剩下的區(qū)域)例4、已知集合⑴若，求的范圍.⑵若，求的范圍．。a。a３a。－１3①要使，由包含于的關系可知集合B應該。。－１３a3a②覆蓋集合A，從而有:,這時。。－１３a3a②可解得為所求的范圍．二：方程、函數(shù)中數(shù)形結合問題作為解題方法，“數(shù)形結合”實際上包含兩方面的含義：一方面對“形”的問題,引入坐標系或尋找其數(shù)量關系式,用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對于數(shù)量間的關系問題,分析其幾何意義,借助形的直觀來解?！皵?shù)”中思“形”例1.如果實數(shù)滿足等式，那么的最大值是什么？解：設點在圓上，圓心為,半徑等于。如圖，則是點與原點連線的斜率。當與⊙相切，且切點落在第一象限時，有最大值，即有最大值。因為=，=，所以==，所以==。例2.求函數(shù)的最小值。分析： 的值是動點到兩個定點A(0,2)與B(-1,0)的距離之和。由圖知（圖略），當且僅當P與B重合（即x=-1）時，推廣：若把動點P的活動范圍從x軸上放寬到整個坐標平面，就可解下面的思考題：求函數(shù)的最小值。請讀者不妨一試。例3.解方程（2）“形”中覓“數(shù)”例1.求方程的解的個數(shù)。分析：此方程解的個數(shù)為的圖象與的圖象的交點個數(shù)。因為,所以在平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個交點。例2.設復數(shù)滿足=π,求的最大值。解：要求的最大值，即求的最小值，由復數(shù)模的幾何意義知即求復數(shù)對應的點到點和點的距離和的最小值。如圖∵滿足=π∴復數(shù)對應的復平面上的點的軌跡是以為端點，傾斜角為的射線。由圖可知，最小值為==,故的最大值是=。例3、對每個實數(shù)中的最小值，那么的最大值是（）。分析：如圖，函數(shù)的圖像是圖中的實線，聯(lián)立，解得：，故本題應選A。在數(shù)形轉化結合的過程中，必須遵循下述原則：轉化等價原則；數(shù)形互補原則；求解簡單原則。當然在教學滲透數(shù)形結合的思想時，應指導學生掌握以下幾點：1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系。2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系。切實把握“數(shù)”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。三：利用數(shù)形結合法解不等式問題說明近年的高考強調(diào)不等式基礎知識考查的同時也很注重數(shù)學能力的考查和數(shù)學思想方法的應用，其中數(shù)形結合思想方法的應用不可忽視。下面列舉六例說明。1.數(shù)形對照，相互滲透例1.使不等式有解的實數(shù)a的取值范圍（）A. B.C. D.分析：表示數(shù)軸上x所對應的點到與4、3所對應的兩點距離之和。由圖1可得其和最小值為1，故選D。圖1例2.已知，欲使不等式恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。分析：欲使恒成立，即恒成立，故。于是問題轉化為求知，當直線圖2故。2.由數(shù)想形，直觀顯現(xiàn)例3.解不等式。分析：設，，由得：因為2為半徑，在x軸上方的半圓，表示過原點斜率為1在第一象限的直線，如圖3，由題意轉化要求半圓（圓?。谥本€的下方，可得，圖3故原不等式的解集是（2，4]例4.求使不等式成立的x的取值范圍。（03年全國高考題14）解：，因為的圖象與函數(shù)圖象關于y軸對稱，的圖象是一條過點（0，1）的直線由圖4可得圖4例5.已知且，都有實根，求的取值范圍。解：依題意得即（*）則滿足（*）的點（a，b）在圖5所示的陰影區(qū)域內(nèi)。圖5設，則所表示的直線系中，過點A（4，2）的直線在b軸上的截距即為滿足（*）的z的最小值。所以故3.由數(shù)構形，抽象變形象例6.設分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且，則不等式的解集是（）A.B.C.D.（04年湖南高考題12）解：設，因為當時，所以上是增函數(shù)因為分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)又所以又是奇函數(shù)，所以故根據(jù)以上特點，不妨構造如圖6所示的符合題意的函數(shù)F（x）的圖象，由圖直接觀察出所求解集是圖6故選D。由上幾例可知，在不等式的教學或復習中要有意識注意數(shù)形結合思想方法的滲透。四：立體幾何問題構建立體幾何模型，研究代數(shù)問題，研究圖形的形狀、位置關系、性質(zhì)等【典例7】若三棱錐A-BCD側面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與ΔABC組成的圖形可能是 （ ） 分析：此題將立體幾何與解析幾何巧妙結合，是對過去分離考核的創(chuàng)新?？上瓤紤]特殊圖形，當AC⊥平面BCD時，如圖1，將問題轉化為P到AB的距離和BC距離相等的點的軌跡，顯然P點軌跡是∠ABC的平分線。當AC不垂直平面BCD時如圖（2）的P到平面DBC和邊BC的距離分別為h，dBC,設A-BC-D的大小為，故選D.誤點警示：解決此類問題，關鍵要善于利用空間幾何性質(zhì)，將問題轉化到平面幾何中，再利用平面幾何的相關性質(zhì)就比較容易解決.【變式訓練】6.如圖，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE邊長為α的正三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點，EC和平面ABCD成30°角．（Ⅰ）求EA、CD所成的角；（Ⅱ）求二面角E-FC-D的大?。唬á螅┣驞到平面EFC的距離．五：解析幾何問題靈活運用解析幾何中的圖象性質(zhì)與方程、不等式間的數(shù)形轉化【典例8】若雙曲線與曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值集合中的元素個數(shù)為_________.分析：由于說明表示過點A（2，1）的直線的斜率.（注意：這條直線上應除去橫坐標為1的點）本題的含義是：過A且與與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條？【解析】有數(shù)去配形.如圖1，過A且平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且只有一個公共點，這樣的直線有兩條.過A作雙曲線的切線，如圖2，這樣的直線也有兩條.：由于直線，而直線與雙曲線交于B、C兩點，所以就本題而言，雙曲線上是應當去掉B、C兩點的，這樣，過A且與雙曲線有且只有一個公共點的直線還有AB、AC兩條.【變式訓練】7.設k>1,f(x)=k(x－1)(x∈R).在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A點，它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數(shù)的圖象交于P點.已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于()A.3B.C.D.六：利用單位圓中的有線段解決三角不等式問題．在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對應三角函數(shù)的圖像．如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應用它解決三角不等式問題,簡便易行．0xyP0xyP分析：因為正弦線在單位圓中是用方向平行于軸的有向線段來表示．我們先在軸上取一點P，使，恰好表示角的正弦線,過點P作軸的平行線交單位圓于點,在內(nèi)，分別對應于角，(這時所對應的正弦值恰好為)．而要求的解集，只需將弦向上平移，使重合(也即點P向上平移至與單位圓交點處)．這樣所掃過的范圍即為所求的角．原不等式的解集為：．例2、解不等式0x0xPy方向平行于軸的有向線段．先在軸上取點P，使，恰好表示角的余弦線，過點P作軸的平行線交單位圓于點，在內(nèi)，分別對應于角，(這時所對應的余弦值恰好為)．而要求的解集，只需將弦向右平移，使重合(也即點P向右平移至與單位圓交點處)．這樣所掃過的范圍即為所求的角．原不等式的解集為：．七：總結1．方法與技巧（1）.數(shù)形結合的本質(zhì)是：數(shù)量關系決定了幾何圖形的性質(zhì)；幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關系。因而要徹底明白一些概念及運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；用恰當用參，合理用參，建立關系，做好轉化.（2）.數(shù)形結合思想包括了“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”兩方面內(nèi)容，千萬不要以為數(shù)形結合就是畫圖解題，方便迅速，這一方面的的內(nèi)容，我們有許多與圖形有關內(nèi)容，我們有許多與圖形有關內(nèi)容也需要通過準確的計算來解決，在高考中，以數(shù)解形問題近幾年有所增加。例如解析幾何就是將幾何問題代數(shù)化，通過計算來研究幾何問題，通過方程來研究圖形的特征。又如，有些問題數(shù)形結合反而繁瑣，通過計算反而準確迅速.例：已知，則所在的象限是_________.分析：該題可用畫單位圓的來解決，但比較麻煩，不如利用cos,,知θ在第三象限來得迅速.（3）.“以形助數(shù)”確實有著奇特功效，但運算的基本功千萬不能忽視，不少題目“以形助數(shù)”并不能完全解決問題，還要通過必要的計算，才能徹底解決問題.（4）.數(shù)形結合的方法有時會由于畫圖的不準確而導致一些錯誤，如一道常見的經(jīng)典錯題 例：已知0<a<1，則方程的實根個數(shù)為： A.1個 B.2個 C.3個 D.1個或2個或3個常見的方法是畫出的圖象易知圖象只有兩個交點故方程有2個實根故選（B）這種解法是錯誤的，舉反例如下：當a=時,的圖象的交點是.均適合y=. 又由于y=互為反函數(shù)，故有一交點在直線y=x上，y=的圖象分別與y=的圖象相同，故也有一交點在直線y=x上，另外由圖知兩者有一交點橫坐標在x=1右側，故a=時，方程有四個實根，其中在上有三上交點，是由于圖象無法畫得很準而誤認為在上只有一個交點，因而數(shù)形結合的方法不是萬能的. 總之，由于數(shù)形結合的思想在高考中考查的比重