2024屆湖北省高中名校聯(lián)盟高三上學期第二次聯(lián)合測評數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆湖北省高中名校聯(lián)盟高三上學期第二次聯(lián)合測評數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求出集合，根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】解：，，所以.故選：A．2．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)四則運算，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以．故選：C．3．已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的公式計算即可.【詳解】在上的投影向量為．故選：B.4．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，31，37，m，42，49；乙組：24，n，33，44，48，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則（

）A．60 B．65 C．70 D．71【答案】D【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.【詳解】因為甲組：27，31，37，m，42，49；乙組：24，n，33，44，48，52，由，得第30百分位數(shù)是第2個數(shù)據(jù)，故,由，得第50百分位數(shù)是第3與4個數(shù)據(jù)平均值，解得．所以.故選：D．5．已知為等差數(shù)列，，則（

）A．12 B．24 C．26 D．36【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為,所以．故選：A．6．關(guān)于的不等式在恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】由不等式在恒成立，得在上恒成立，設(shè)，，設(shè)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，即，單調(diào)遞減，當時，，即，單調(diào)遞增，又，，所以，又在上恒成立，所以，故選：B.7．已知，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得，然后化為，利用均值不等式可得出答案.【詳解】，即；即，故令，則（當且僅當時等號成立）故選：B．8．如圖，已知，是雙曲線C：的左、右焦點，以為圓心的圓與雙曲線左右兩支交于P、Q兩點，且則雙曲線C的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】延長與雙曲線交于點，根據(jù)雙曲線的對稱性設(shè)，分別求出，，從而得出，在中，由勾股定理可得出答案.【詳解】長與雙曲線交于點，因為，根據(jù)對稱性可知.設(shè)，則，可得，即.所以，則，.即，可得.在中，由勾股定理得，即，解得．故選：D．

二、多選題9．關(guān)于二項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)和為C．展開式中第5項為 D．展開式中不含常數(shù)項【答案】BCD【分析】選項A，取驗證即可，選項B二項式系數(shù)和為驗證即可，利用二項式展開式的通項求解即可，利用C選項的展開式通項公式驗證即可.【詳解】A選項：?。?，A錯，B選項：展開式二項式系數(shù)和為，B對，C選項：由，則時即為第5項為，C對，D選項：由C選項可知恒成立，D對，故選：BCD.10．如圖為襄陽鳳雛大橋，連接襄陽襄城、樊城，既緩解交通壓力又是漢江上美麗的風景線，她的懸鏈類似雙曲函數(shù)的圖像．常見的有雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A．B．雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)C．若點P在曲線上，為曲線在點P處切線的傾斜角，則D．【答案】ABC【分析】對于A,D直接代入驗證即可；對于B，利用奇偶性的定義即可判斷；對于C，利用導數(shù)的幾何意義結(jié)合基本不等式及正切函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】選項A中：左邊，A對；選項B中：關(guān)于對稱且有.恒成立，所以雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，B對；選項C中：設(shè)，則，即，所以，C對；選項D中：左邊，右邊，左邊≠右邊，D錯故選：ABC11．設(shè)，過定點A的動直線：與過定點B的動直線：交于點P，則下列說法正確的有（

）A． B．面積的最大值為C． D．的最大值為【答案】BCD【分析】由題意知直線分別過定點，，及，由勾股定理及兩點間的距離公式即可求得，即可判斷A的正誤；再由三角形的面積公式及基本不等式可求得面積的最大值，可判斷B正誤；由基本不等式推論即可求得，可判斷C的正誤；由勾股定理及兩點間的距離公式可求得，設(shè)，，在由三角函數(shù)，即可求得的最大值.【詳解】A中：直線：，令，則，則定點，：，化簡得，令，則，則，當時，直線：，直線：，此時兩直線垂直，當，，顯然，兩直線垂直，綜上兩直線互相垂直，則；B中：，當且僅當時等號成立，B對；C中：由，知：知：，當且僅當時等號成立，C對.對于D，在中，，設(shè)，，，所以，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：BCD．12．如圖，正方體的棱長為4，點E、F、G分別在棱、、上，滿足，，記平面與平面的交線為，則（

）A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形B．當時，三棱錐體積為C．當時，三棱錐的外接球表面積為D．當時，直線與平面所成的角的正弦值為【答案】BD【分析】對于，對分情況討論，圖形展示即可；對于，當時，，得出平面，利用等體積可求體積；對于，當時，三棱錐的外接球心在過線段的中點，且垂直于平面的直線上，可求出，得表面積；對于，求出的方向向量與平面法向量，利用向量公式可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為4，以為原點，以、、所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：對于A選項，時，在點，，由可知，所以截面即為四邊形；由圖形知，截面為五邊形或六邊形．故A錯誤．對于B選項，當時，，所以，所以平面，，又平面，所以，三棱錐體積為，故B正確．對于C選項，當時，且平面，所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐的外接球的球心在過線段的中點，且垂直于平面的直線上，，，所以的中點，可記球心，，外接球的半徑，解得，，所以三棱錐的外接球表面積為，故C錯誤．對于D選項，當時，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，所以可取，由平面知，平面的法向量為，記平面與平面的交線的一個方向向量為，則，令，則，，所以可取，又平面的法向量為，則，，，設(shè)與平面所成的角為，則，故D正確．故選：BD．三、填空題13．拋物線的焦點坐標是.【答案】【分析】將拋物線的方程化為標準形式，即可求解出焦點坐標.【詳解】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為，故答案為：.14．在圓錐中，為底面圓心，為圓錐的母線，且，若棱錐為正三棱錐，則該圓錐的體積為．【答案】/【分析】根據(jù)解：根據(jù)棱錐為正三棱錐，得到，，再根據(jù)，求得底面半徑即可.【詳解】因為棱錐為正三棱錐，所以，，因為，，由勾股定理得，即圓錐的底面圓半徑，所以．故答案為：15．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】依題意，化簡，根據(jù)正弦函數(shù)得單調(diào)區(qū)間，列出區(qū)間端點滿足的不等式求解即可.【詳解】依題意，，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以，解得：，，因為，則需要滿足，且，，所以，，即，所以.故答案為：.16．對于任意的實數(shù)、，函數(shù)滿足關(guān)系式，則．【答案】【分析】先令，可得恒成立，再用賦值法即可得答案.【詳解】依題意，取，有，則恒成立，取，則.故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列首項，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可，再利用等比數(shù)列的通項即可求得數(shù)列的通項；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，分離參數(shù)即可得解.【詳解】（1）由，取倒數(shù)得：，變形得：，又，則，所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，若，則，所以而是上的遞減數(shù)列，所以，故．18．在中，內(nèi)角的對邊分別為角的平分線交于，，．(1)若，求a的值；(2)求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面積相等列出等式，代入可得的值，余弦定理可求得.（2）由（1）可得，結(jié)合基本不等式求出的范圍，代入面積公式可求出最小值.【詳解】（1）∵平分線為，由，得，若，則，則．在中，由余弦定理，所以．（2）因為，則,即，當且僅當時等號成立．因此.19．如圖，平面，，，，，．(1)求點到平面的距離；(2)當平面與平面垂直時，求線段的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意，證明平面，結(jié)合，可知點到平面的距離為線段的長，從而得出答案；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)出點，然后求出平面和平面的一個法向量分別為和，再根據(jù)兩平面互相垂直時，兩個法向量也互相垂直，求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，又，、平面，且，∴平面，又∴點到平面距離為：；（也可利用等體積法求距離）（2）依題意，以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系（如圖）：可得，，，，，設(shè)，則，則有，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得：，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得：，因為平面與平面垂直，所以，解得：，所以，線段的長為.20．移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費等領(lǐng)域．截至2022年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達億戶，成為全球主要經(jīng)濟體中首個實現(xiàn)“物超人”的國家．現(xiàn)有年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)與年份代碼的散點圖，其中年份對應(yīng)的分別為．(1)根據(jù)參考數(shù)據(jù)計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；(2)令變量，，利用（1）中結(jié)論求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．附注：（i）回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為，，樣本相關(guān)系數(shù)；（ii）參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)(2)關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)測年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)億戶【分析】（1）求出的值，可求得，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式，可求得的值；（2）將參考數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出的值，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程，可得結(jié)果.【詳解】（1）解：根據(jù)給定數(shù)據(jù)．因為，所以，所以.（2）解：由（1）知，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，又，所以當時，則，，所以預(yù)測年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)億戶．21．已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點P作兩條互相垂直的弦PA，PB分別與橢圓C交于A，B.（i）證明直線AB過定點；（ii）求點P到直線AB距離的最大值.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】（1）由題意可得關(guān)于，，的方程組，結(jié)合的關(guān)系，則橢圓方程可求；（2）（i）當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合可得，討論或，即可求出直線過定點；（ii）可知當時，求出點到的距離．求解當直線的斜率不存在時，點到直線的距離，由此可得點到直線距離的最大值．【詳解】解：（1）由題意，得，又因為，得，，所以，橢圓的方程為.（2）（i）當直線AB斜率存在時，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，整理得，由，得，設(shè)，，則，，因為，所以，即，①其中，，代入①，整理得，即，當時，直線AB過點P，不合題意，所以，此時，直線AB的方程為，所以直線過定點.當直線AB斜率不存在時，設(shè)其方程為，代入解得或（舍去），綜上所述，直線AB恒過定點.（ii）當時，點到的最大距離為．當直線的斜率不存在時，設(shè)其方程為，代入解得或舍去．當時，點到直線的距離為．綜上，點到直線距離的最大值為．【點睛】易錯點睛：本題考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓的位置關(guān)系.討論直線的斜率是否存在是易錯點.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)在處的切線方程為，若，要么恒成立，要么恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求出導函數(shù)，再對二次項系數(shù)，分情況討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)借助單調(diào)性即可解決.【詳解】（1）函數(shù)的導函數(shù),當時，，由得，得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，令，當時，，令，得其中，當時，，此時；當時，，此時；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，，若時，有，令，得其中，當時，，此時；當或時，，此時；所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；若時，有，恒成立，恒成立，所以在單調(diào)遞減；綜上：當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；當，在單調(diào)遞減．（2），．令，，①時．恒成立，在處的切線：，即，即，因為恒成立．則在上為增函數(shù)，令，即，，當時，；當時，所以在上單調(diào)遞增，