專題02 代數(shù)式的運(yùn)算及應(yīng)用問(wèn)題（復(fù)習(xí)講義）（原卷版）-二輪要點(diǎn)歸納與典例解析

專題02代數(shù)式的運(yùn)算及應(yīng)用問(wèn)題復(fù)習(xí)講義【要點(diǎn)歸納|典例解析】類型一：代數(shù)式考點(diǎn)01．代數(shù)式及求值(1)概念：用基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式；(2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示已知量的字母表示出所求量的過(guò)程；(3)代數(shù)式求值：把已知字母的值代入代數(shù)式中，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值．類型二：整式考點(diǎn)02．整式及有關(guān)概念(1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的_次數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)．單獨(dú)的數(shù)、字母也是單項(xiàng)式；(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式；(4)同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)；所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)．考點(diǎn)03．整式的運(yùn)算1．同底數(shù)冪的乘法法則：（都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2．冪的乘方法則：（都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。冪的乘方法則可以逆用：即3．積的乘方法則：（是正整數(shù)）。積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。4．同底數(shù)冪的除法法則：（都是正整數(shù)，且同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。5．零指數(shù)：任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。即（a≠0）6．負(fù)整數(shù)指數(shù)：任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p次冪的倒數(shù),即(a≠0,p是正整數(shù))。7．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。8．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即(都是單項(xiàng)式)。9．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。10．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。即11．完全平方和公式：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再加上這兩個(gè)的積的2倍。即：（a+b）2=a2+b2+2ab12.完全平方差公式：兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再減上這兩個(gè)的積的2倍。即：（a-b）2=a2+b2-2ab完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號(hào)和前一個(gè)樣。13．單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。14．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。15．添括號(hào)法則：括號(hào)前面是+號(hào)，放進(jìn)括號(hào)里面的每一項(xiàng)都不變號(hào)。括號(hào)前面是—號(hào)，放進(jìn)括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要變號(hào)。類型三：因式分解考點(diǎn)04．因式分解1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法.（2）運(yùn)用公式法.①平方差公式：②完全平方公式：（3）十字相乘法。利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.①對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則②首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法3.在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：

4.按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.（4）分組分解法5.對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.6.分解因式的步驟：(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.7.若有公因式，先提公因式；然后再考慮用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每個(gè)因式都不能再分解為止.類型四：分式計(jì)算考點(diǎn)05．分式的基本概念(1)形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．(2)當(dāng)B≠0時(shí)，分式eq\f(A,B)有意義；當(dāng)B＝0時(shí)，分式eq\f(A,B)無(wú)意義；當(dāng)A＝0時(shí)，分式eq\f(A,B)的值為零.考點(diǎn)06．分式的性質(zhì)(1)分式的分子與分母都乘(或除以)一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，即eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)；(M是不等于零的整式)(2)分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變．即eq\f(A,B)＝－eq\f(－A,B)＝－eq\f(A,－B)＝eq\f(－A,－B).最簡(jiǎn)分式：如果一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式，那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式．考點(diǎn)07．分式的運(yùn)算(1)通分：把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．(2)確定最簡(jiǎn)公分母：確定方法：①取各分式的分母中系數(shù)的最小公倍數(shù)；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的冪取指數(shù)最大的；④所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各分母(或因式)的最高次冪的積即為最簡(jiǎn)公分母．(3)約分：把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．(4)分式的運(yùn)算法則：①加減法：同分母加減法：eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝_eq\f(a±b,c)_；異分母加減法：eq\f(b,a)±eq\f(d,c)＝eq\f(bc±ab,ac).②乘除法：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)；eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝___．③乘方：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn).類型一：整式1.（2021湖南衡陽(yáng)）下列各式中，計(jì)算正確的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．a(chǎn)2?a＝a32．（2021湖南株洲）下列各式中，與3x2y3是同類項(xiàng)的是（）A．2x5B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y53.（2021黑龍江哈爾濱）下列運(yùn)算一定正確的是（）A．B．C．D．4.（2021?山東省聊城市）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)6+a6＝2a12 B．2﹣2÷20×23＝32 C．（﹣ab2）?（﹣2a2b）3＝a3b3 D．a(chǎn)3?（﹣a）5?a12＝﹣a205.（2021?山東省濱州市?3分）若8xmy與6x3yn的和是單項(xiàng)式，則（m+n）3的平方根為（）A．4 B．8 C．±4 D．±86.（2021江蘇常州）如果a－b－2＝0，那么代數(shù)式1＋2a－2b的值是__________．7．（2021湖南岳陽(yáng)）已知x﹣3＝2，則代數(shù)式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值為．8.（2021吉林長(zhǎng)春）先化簡(jiǎn)，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中類型二：因式分解9.(2021黑龍江綏化)下列因式分解正確的是()A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1) C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)10.（2018山東濰坊）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）11.（經(jīng)典題）把下列各式分解因式：（1）；（2）．12.（2021?江蘇無(wú)錫）分解因式4x2－y2的結(jié)果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）13.（2021寧夏）分解因式：．14.（2021年陜西省）因式分解：．15.(2021黑龍江大慶)分解因式:a2b+ab2－a－b＝________.16.（2021吉林長(zhǎng)春）分解因式：ab+2b=.17.（2021吉林?。┓纸庖蚴剑篴2-1=18.（2021·江蘇常州）分解因式：ax2－4a＝__________．19.（2018河南）因式分解：x3y﹣xy=．20.（2018河南）若|m﹣4|與n2﹣8n+16互為相反數(shù)，把多項(xiàng)式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．類型三：分式計(jì)算21.（2021北京市）如果，那么代數(shù)式的值為A． B． C．1 D．322.（2021廣西省貴港市）若分式的值等于0，則的值為A． B．0 C． D．123.(2021黑龍江綏化)當(dāng)a＝2018時(shí),代數(shù)式的值是______.24.(2021黑龍江綏化)若分式有意義,則x的取值范圍是________.25.（2021廣西梧州）化簡(jiǎn)：．26.（2021遼寧本溪）先化簡(jiǎn)，再求值：.其中a滿足a2+3a-2=0.27.（2021黑龍江哈爾濱）先化簡(jiǎn)再求值：,其中x=4tan45°+2cos30°．28.（2021湖北十堰）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-1a）÷（a2+1a-29.（2021湖南邵陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.類型四：代數(shù)式的應(yīng)用30.（2018河北）先閱讀以下材料，然后解答問(wèn)題．分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．

以上分解因式的方法稱為分組分解法．請(qǐng)用分組分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2．31.（2021湖南張家界）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為a2，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中a1＝1，a2＝3，公差為d＝2．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）等