2024屆五年高考數(shù)學真題分類訓練：專題十一 概率與統(tǒng)計

第1頁專題十一概率與統(tǒng)計考點35隨機事件與概率題組一、選擇題1.[2023全國卷甲，5分]某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為(D)A.16 B.13 C.12[解析]記高一年級2名學生分別為a1，a2，高二年級2名學生分別為b1，b2，則從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演的基本事件有a1,a2，a1,b1，a1,b2，a2,b1，a2,b2，b1,b2，共6個，其中這2.[2023全國卷乙，5分]某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為(A)A.56 B.23 C.12[解析]甲、乙兩位同學抽到相同主題的情況有6種，故抽到不同主題的概率為1-636=53.[2022新高考卷Ⅰ，5分]從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(D)A.16 B.13 C.12[解析]從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C72=21（種）取法，取得的2個數(shù)互質(zhì)的情況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4}，{4.[2022全國卷甲，5分]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(C)A.15 B.13 C.25[解析]從寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回地抽取2張，共有15種取法，它們分別是1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,65.[2021全國卷甲，5分]將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為(C)A.13 B.25 C.23[解析]解法一將4個1和2個0視為完全不同的元素，則將4個1和2個0隨機排成一行有A66種排法.將4個1排成一行有A44種排法，再將2個0插空有A52種排法.所以2解法二將4個1和2個0安排在6個位置，則選擇2個位置安排0，共有C62種排法.將4個1排成一行，再將2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排0，共有C52種排法.所以2個06.[2020全國卷Ⅰ，5分]設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為(A)A.15 B.25 C.12[解析]根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O,A,B,C,D中任取3點，有10種可能情況，分別為OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD，其中取到的3點共線有OAC和OBD2種可能情況，所以在O,A,B,C,D中任取3點，則取到的3點共線的概率為210=17.[2019全國卷Ⅰ，5分]我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(A)A.516 B.1132 C.2132[解析]由6個爻組成的重卦種數(shù)為26=64，在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為C63=6×5×8.[2019全國卷Ⅲ，5分]兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是(D)A.16 B.14 C.13[解析]兩位女同學相鄰的概率P=A22A3二、填空題9.[2023天津，5分]甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%[解析]解法一設(shè)A=“從甲盒子中取一個球，是黑球”，B=“從乙盒子中取一個球，是黑球”，C=“從丙盒子中取一個球，是黑球”，由題意可知PA=40%=25,PB=25%=14,PC=50%=12,現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為PABC=PAPBPC=25×14×解法二設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5，4，6，其中甲盒子中黑球的個數(shù)為2，白球的個數(shù)為3；乙盒子中黑球的個數(shù)為1，白球的個數(shù)為3；丙盒子中黑球的個數(shù)為3，白球的個數(shù)為3.則從三個盒子中各取一個球，共有5×4×6種結(jié)果，其中取到的三個球都是黑球有2×1×3種結(jié)果，所以取到的三個球都是黑球的概率為2×1×35×4×6=110.[2022全國卷乙，5分]從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為310[解析]從甲、乙等5名同學中隨機選3名，有C53種情況,其中甲、乙都入選有C3111.[2022全國卷甲，5分]從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為635[解析]從正方體的8個頂點中任選4個，取法有C84=70（種）（1）所取的4個點為正方體同一個面上的4個頂點，如圖1,有6種取法;圖1（2）所取的4個點為正方體同一個對角面上的4個頂點，如圖2,也有6種取法.圖2所以所取的4個點在同一個平面的概率P=12考點36事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式題組一、選擇題1.[2023全國卷甲，5分]某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4[解析]解法一如圖，左圓表示愛好滑冰的同學所占比例，右圓表示愛好滑雪的同學所占比例，A表示愛好滑冰且不愛好滑雪的同學所占比例，B表示既愛好滑冰又愛好滑雪的同學所占比例，C表示愛好滑雪且不愛好滑冰的同學所占比例，則0.6+0.5-B=0.7,所以B=0.4,C=解法二令事件A，B分別表示該同學愛好滑冰、該同學愛好滑雪，事件C表示該同學愛好滑雪的條件下也愛好滑冰，則PA=0.6,PB=0.5,PAB=P2.[2022全國卷乙，5分]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>pA.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大[解析]設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為P甲，在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為P乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為P丙，由題意可知，P甲=2p1[p21-p3+p31-p3.[2021新高考卷Ⅰ，5分]有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(B)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立[解析]事件甲發(fā)生的概率P（甲）=16，事件乙發(fā)生的概率P（乙）=16，事件丙發(fā)生的概率P（丙）=56×6=536，事件丁發(fā)生的概率P（?。?66×6=16.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率P（甲丙）=0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A錯誤;事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率P（甲?。?136,P（甲丁）=P（甲）P（?。?，故B正確;事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率P（乙丙）=16×6=136，P（乙丙）≠P（乙）P4.[2023新高考卷Ⅱ，5分]（多選題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為α0<α<1，收到0的概率為1-α;發(fā)送1時，收到0的概率為β0<β<1,收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1,則依次收到1,0，1的概率為1-B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為βC.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β1D.當0<α<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為[解析]由題意，發(fā)0收1的概率為α，發(fā)0收0的概率為1-α；發(fā)1收0的概率為β，發(fā)1收1的概率為1-β.對于A，發(fā)1收1的概率為1-β，發(fā)0收0的概率為1-α，發(fā)1收1的概率為1-β，所以所求概率為1-α1-β2，故A選項正確.對于B，相當于發(fā)了1，1，1，收到1，0，1，則概率為1-ββ1-β=β1-β2，故B選項正確.對于C，相當于發(fā)了1,1,1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，則概率為C32β1-β2+C331-β3=3β1-β2+1-β3，故C不正確.對于D，發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0，相當于發(fā)0，0，0，收到0，0，1或0二、填空題5.[2022天津，5分]現(xiàn)有52張撲克牌（去掉大小王），每次取一張,取后不放回,則兩次都抽到A的概率為1221;在第一次抽到A的條件下，第二次也抽到A的概率是1[解析]設(shè)事件A1=“第一次抽到A”,事件A2=“第二次抽到第1空解法一不放回地取兩次的可能結(jié)果種數(shù)為52×51，事件A1A2所以PA1解法二不放回地取兩次，可以看成一次取出兩張牌，所以共有C522種可能結(jié)果,事件A1A2所以PA1第2空解法一因為PA1所以PA2解法二縮小樣本空間,已知第一次抽到的是A牌,所以還剩下51張牌,其中有3張A牌,所以PA26.[2020天津，5分]已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為12和13.假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為16[解析]依題意得，甲、乙兩球都落入盒子的概率為12×13=167.[2019全國卷Ⅰ，5分]甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4:1獲勝的概率是[解析]解法一甲隊在前四場中有一場客場輸，且第五場勝時，以4:1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×綜上所述，甲隊以4:1獲勝的概率是P解法二由題意可得，一共比賽了五場，且第五場甲獲勝，前四場甲隊勝三場，輸一場.前四場甲隊勝三場，輸一場的情況有如下兩種.①甲隊主場輸一場，其概率P1=②甲隊客場輸一場，其概率P2=由于第五場必定是甲隊勝，所以所求概率P=P1+P2×三、解答題8.[2023新高考卷Ⅰ，12分]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率.[答案]記“第2次投籃的人是乙”為事件A，“第1次投籃的人是甲”為事件B,則A=BA所以PA=（2）求第i次投籃的人是甲的概率.[答案]設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為pi，由題意可知，p1=12,p所以pi+又p1-13=12-13=1所以pi-所以pi=（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,…,n[答案]設(shè)第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當Xi=0時，表示第i次投籃的人是乙，當Xi=1時，表示第i次投籃的人是甲，所以PY=X則EY=由（2）知，pi=所以p1+9.[2022新高考卷Ⅰ，12分]一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組）,得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異[答案]K2=200×40×90-（2）從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”,PB|APB|A與PB|（ⅰ）證明:R=P[答案]R=P由題意知,證明PB|左邊=PAB右邊=PAB左邊=右邊，故R=P（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出PA|B,PA|B的估計值,并利用i附：K2PK0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[答案]由調(diào)查數(shù)據(jù)可知PA|B=40且PA|B=1-PA|10.[2020全國卷Ⅰ，12分]甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為12（1）求甲連勝四場的概率；[答案]甲連勝四場的概率為116（2）求需要進行第五場比賽的概率；[答案]根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽.比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為116乙連勝四場的概率為116丙上場后連勝三場的概率為18所以需要進行第五場比賽的概率為1-1（3）求丙最終獲勝的概率.[答案]丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為116，18，1因此丙最終獲勝的概率為18+【方法技巧】破解此類題的關(guān)鍵：一是認真讀題，讀懂題意；二是會判斷事件的特征，如本題，會判斷獨立事件與互斥事件；三是會利用公式，即會利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率公式求事件的概率．11.[2019全國卷Ⅱ，12分]11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X（1）求PX=[答案]X=2就是10:10平后,兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分.（2）求事件“X=4[答案]X=4且甲獲勝，就是10:10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1因此所求概率為[0.5×考點37離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征題組一一、選擇題1.[2020全國卷Ⅲ，5分]在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且i=1A.p1=p4=0.1,pC.p1=p4=0.2,p[解析]對于A，當p1=p4=0.1,X11234P0.10.40.40.1EX1=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,DX1=1-2.52×0.1+二、填空題2.[2020浙江，6分]盒中有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球.從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為ξ，則Pξ=0=13[解析]ξ=0表示停止取球時沒有取到黃球，所以P隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2，則Pξ=Pξ=所以Eξ=三、解答題3.[2023全國卷甲，12分]一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下:選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位:g）.（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.[答案]X的所有可能取值為0,1,2，PX=0=C20×1-12×1-12所以X的分布列為X012P141214EX=（2）試驗結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.225.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.334.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.340.5 43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.516.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.221.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.232.3 36.5（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表:<m≥m對照組試驗組[答案]根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可以知道40只小白鼠體重增加量的中位數(shù)m=23.2列聯(lián)表如下：<m≥m對照組614試驗組146（ⅱ）根據(jù)i中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異附：K2=PK0.1000.500.010k2.7063.8416.635[答案]根據(jù)i中結(jié)果可得K2=所以有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異4.[2022全國卷甲，12分]甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.（1）求甲學校獲得冠軍的概率；[答案]設(shè)甲學校獲得冠軍的事件為A，則甲學校必須獲勝2場或者3場.PA=故甲學校獲得冠軍的概率為0.6.（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.[答案]X的取值可以為0，10,20,30.PX=PX=PXPX=所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以EX=5.[2022北京，13分]在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上（含9.50m）的同學將獲得優(yōu)秀獎.為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.（Ⅰ）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；[答案]設(shè)甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎為事件A.因為比賽成績達到9.50m以上（含9.50m）的同學將獲得優(yōu)秀獎，甲以往的比賽成績中達到9.50m以上（含9.50m）的有9.80m,9.70所以甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率PA=（Ⅱ）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望EX;[答案]X的所有可能取值為0，1，2，3.由（Ⅰ）知，甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率PA=設(shè)乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎分別為事件B，C,則PB=0.5,PX=PX=PX=PX=所以EX=0（Ⅲ）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）[答案]在校運動會鉛球比賽中，按以往比賽成績的平均數(shù)來看，甲獲得冠軍的概率估計值最大；按以往比賽的最好成績來看，丙獲得冠軍的概率估計值最大.6.[2021新高考卷Ⅰ，12分]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；[答案]由題意得，X的所有可能取值為0,20,100,PX=PX=PX=所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.[答案]當小明先回答A類問題時，由（1）可得EX=當小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，PY=PY=PY=所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48EY=因為57.6>54.4，即EY>EX題組二一、選擇題1.[2019浙江，4分]設(shè)0<a<1.X0a1P131313則當a在0,1內(nèi)增大時，(A.DX增大 B.DXC.DX先增大后減小 D.DX[解析]由分布列得EX=解法一DX=所以當a在0,1內(nèi)增大時，DX先減小后增大．故選解法二DX=所以當a在0,1內(nèi)增大時，DX先減小后增大．故選二、解答題2.[2021新高考卷Ⅱ，12分]一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，PX（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=[答案]由題意，知PX=0=0.4,PX=1∴XX0123P0.40.30.20.1EX=（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=[答案]記fx=由題知，p為fx=0由p0=得fx=x-記gx=p3xg0=當EX≤1時,g1≤0,易知∴當x∈0,1時,∴fx=0在0,∴當EX≤1時，當EX>1時，g1>0,又g0<∴gx=0在0,∴fx=0的∴當EX>1時，（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義.[答案]EX≤1，表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)不超過自身個數(shù)，種群數(shù)量無法維持穩(wěn)定或正向增長，多代繁殖后將面臨滅絕，所以EX>1,表示3.[2019全國卷Ⅰ，12分]為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定:對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為（1）求X的分布列;[答案]X的所有可能取值為-1PX=-PX=PX=所以X的分布列為X-101P1-αβ+α1（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pii=0,1,…,8表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=（ⅰ）證明:{pi+[答案]由（1）得a=0.4,b=0.5因此pi=0.4Pi-1+0.5p又因為p1-p0=p1≠0,所以（ⅱ）求p4，并根據(jù)p4的值解釋[答案]由i可得p8=p=48由于p8=1,故p4=4=1257p4表示最終認為甲藥更有效的概率由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認為甲藥更有效的概率為p4=1257≈考點38二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布題組一、選擇題1.[2021新高考卷Ⅱ，5分]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N10,σ2A.σ越小，該物理量一次測量結(jié)果落在9.9,10.1B.該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在9.9,10.2內(nèi)的概率與落在10[解析]設(shè)該物理量一次測量結(jié)果為X.對A，σ越小，說明數(shù)據(jù)越集中在10附近，所以X落在9.9,10.1內(nèi)的概率越大，所以選項A正確；對B，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，PX>10=0.5,所以選項B正確；對C，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，PX>10.01=PX<9.99，所以選項C正確；對D，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，P9.9<二、填空題2.[2022新高考卷Ⅱ，5分]已知隨機變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P2<[解析]因為X～N2,σ2，所以3.[2022浙江，6分]現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則Pξ=2=1635[解析]由題意知Pξ=ξ的可能取值為1,2,3,4，Pξ=1=C62C所以ξ的分布列為ξ1234P371635335135Eξ=4.[2021浙江，6分]袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13，則m-n=1[解析]由題意可得，Pξ=2=C42C4+m+n2=124+m+n3+m+n=16，化簡得m+n2+7m+n-60=0,三、解答題5.[2019天津，13分]設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7:30之前到校的概率均為23，假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立（Ⅰ）用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；[答案]因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為23，故X～B3,23所以，隨機變量X的分布列為X0123P1272949827隨機變量X的數(shù)學期望EX=（Ⅱ）設(shè)M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.[答案]設(shè)乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～B3,23由題意知事件{X=3,Y=1}與{X=2,Y=從而由（Ⅰ）知PM=考點39統(tǒng)計題組一一、選擇題1.[2023新高考卷Ⅱ，5分]某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有(D)A.C40045?C20015種 B.C40020?C[解析]由題意，初中部和高中部學生人數(shù)之比為400200=21，所以抽取的60名學生中初中部應(yīng)有60×23=40（人），高中部應(yīng)有2.[2022全國卷甲，5分]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則(B)A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差[解析]對于A，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是70%+75%2=72.5%，所以A錯誤；對于B，講座后問卷答題的正確率分別是80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，其平均數(shù)顯然大于85%，所以B正確；對于C，由題圖可知，講座前問卷答題的正確率波動較大，講座后問卷答題的正確率波動較小，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后問卷答題的正確率的標準差，所以C3.[2022天津，5分]為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14)，[14,15),[15,16)，[A.8 B.12 C.16 D.18[解析]由頻率分布直方圖得第一組、第二組、第三組的頻率分別為0.24、0.16、0.36.因為第一組和第二組共有20人，所以志愿者的總?cè)藬?shù)為20÷0.24+0.16=50，所以第三組的人數(shù)為0.36×504.[2021全國卷甲，5分]為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(C)A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間[解析]對于A，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為0.02+0.04×1×100%=6%，故A正確；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為0.04+0.02+0.02+0.02×1×100%=10%，故B正確；對于C5.[2019全國卷Ⅱ，5分]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(A)A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差[解析]記9個原始評分分別為a,b,c,d,e,f,g,h,i（按從小到大的順序排列），易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A．6.[2023新高考卷Ⅰ，5分]（多選題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，[解析]取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，（指點迷津:適時舉特例，可快速排除）則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標準差為223=663，故A，C均不正確；（技巧：由于是多選題，故可排除A，C，即選BD）根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，7.[2021新高考卷Ⅱ，5分]（多選題）下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本x1，x2，…，xn離散程度的有A.x1，x2，…，xn的標準差 B.x1，x2，…C.x1，x2，…，xn的極差 D.x1，x2，…[解析]平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)和中位數(shù)，對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).方差、標準差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的.故選AC.8.[2021新高考卷Ⅰ，5分]（多選題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn，其中yi=xA.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同[解析]設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為x-,m,σ,t.依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為x-+c,m+c,σ,t，因為9.[2020新高考卷Ⅱ，5分]（多選題）我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化,各地有序推進復工復產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復工復產(chǎn)指數(shù)折線圖,下列說法正確的是(CD)A.這11天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加B.這11天期間,復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量C.第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%D.第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量[解析]由折線圖知，第1天至第2天復工指數(shù)減少，第7天至第8天復工指數(shù)減少，第10天至第11天復工指數(shù)減少，第7天至第9天復產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯誤；由折線圖知，第1天的復產(chǎn)指數(shù)與復工指數(shù)的差大于第11天的復產(chǎn)指數(shù)與復工指數(shù)的差，所以這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量小于復工指數(shù)的增量，故B錯誤；由折線圖知，第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%，故C正確；由折線圖知，第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量，故D正確.綜上，選CD二、填空題10.[2020江蘇，5分]已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是[解析]由平均數(shù)公式可得4+2a+3-11.[2019全國卷Ⅱ，5分]我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98.[解析]經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為10×0.97【方法技巧】概率的估算值不是精確值，求解本題時，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)估算出列車正點總數(shù)與列車總數(shù)的比值即可.三、解答題12.[2021全國卷乙，12分]某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和（1）求x，y，s12,[答案]由表格中的數(shù)據(jù)易得：x=-y=0.1s12s22（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果y-x≥[答案]由（1）中數(shù)據(jù)可得y-x=10.3-10.0=0.3，而題組二解答題1.[2023全國卷乙，12分]某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yii=1,2,…,10,（1）求z，s2[答案]由題意，求出zi試驗序號i12345678910zi968-8151119182012則z=1s2=（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥2s210,則[答案]因為2s210=2所以可認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.2.[2022新高考卷Ⅱ，12分]在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）;[答案]估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡x=10（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70[答案]該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[[答案]設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間[40,50)為事件A，患這種疾病為事件B由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間[40,50)結(jié)合該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，可得PAB所以從該地區(qū)任選一人，若年齡位于區(qū)間[40,50)3.[2020全國卷Ⅰ，12分]某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；[答案]由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為40100=乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為28100=（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?[答案]由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525-5-75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為65×40由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為70×28比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).4.[2020全國卷Ⅱ，12分]某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,…,20，其中xi和yi分別表示第i（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；[答案]由已知得樣本平均數(shù)y=120∑20i（2）求樣本xi,yii=[答案]樣本xi,r=∑（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=∑n[答案]分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣.理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.題組三解答題1.[2023新高考卷Ⅱ，12分]某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為pc;誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為qc.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.（1）當漏診率pc=0.5%時，求臨界值c[答案]由題圖知100-95×0.002=1設(shè)X為患病者的該指標，則pc=P解得c=97.5設(shè)Y為未患病者的該指標，則qc=（2）設(shè)函數(shù)fc=pc+qc.當c∈[95,105]時[答案]當95≤c≤100pc=qc=所以fc=當100<cpc=qc=所以fc=綜上所述，fc由一次函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)fc在[95,100]上單調(diào)遞減，在(100,105]上單調(diào)遞增,（提示：對于一次函數(shù)作出fc在區(qū)間[95,105]上的大致圖象（略），可得fc在區(qū)間2.[2022全國卷乙，12分]某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位:m2）和材積量（單位:m3樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得∑10i=1x（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；[答案]估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積x=∑估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的材積量y=∑（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；[答案]∑10i∑10i∑10i所以∑10i所以樣本相關(guān)系數(shù)r=∑（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比附:相關(guān)系數(shù)r=∑n[答案]設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3，由題意可知，該種樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，所以所以Y=186×3.90.6=3.[2019天津，13分]2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?[答案]由已知,知老、中、青員工人數(shù)之比為6:9:10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9（Ⅱ）抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“?”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育??×?×?繼續(xù)教育××?×??大病醫(yī)療×××?××住房貸款利息??××??住房租金××?×××贍養(yǎng)老人??×××?（?。┰囉盟o字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；[答案]從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F}（ⅱ）設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.[答案]由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,D}