2016屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第2節(jié)平面的基本性質(zhì)與空

蘇州市網(wǎng)上教師學(xué)校/【高考講壇】2016屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第2節(jié)平面的基本性質(zhì)與空間兩直線的位置關(guān)系課后限時(shí)自測(cè)理蘇教版[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、填空題1．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是________(只填序號(hào))．[解析]由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)．[答案]①2．空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是這四點(diǎn)共面的________條件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)21[解析]三點(diǎn)共線和第四點(diǎn)一定共面，反之不成立．[答案]充分不必要3．(2015·泰州模擬)下列命題：①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題是________(只填序號(hào))[解析]由平面的基本性質(zhì)知①錯(cuò)，②對(duì)，④錯(cuò)；兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故③對(duì)．[答案]②③4．若異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝l，則直線l與直線a，b的位置關(guān)系是________．21·cn·jy·com[解析]假設(shè)l與a，b都不相交，因?yàn)閘與a都在α內(nèi)，所以l∥a，l與b都在β內(nèi)，所以b∥l，所以a∥b，與假設(shè)矛盾．[答案]至少與a，b中的一條直線相交5．如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是________．(填上所有正確答案的序號(hào))【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】[解析]本題考查了異面直線的判定，圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．21*cnjy*com[答案]②④6．在下列命題中，不是公理的命題是________．(只填序號(hào))①平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行；②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)；④如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．[解析]命題①是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的．[答案]①7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________．【來源：21cnj*y.co*m】圖7-2-8[解析]連結(jié)DF，易知AE∥DF，∠DFD1即為異面直線AE與D1F所成的角，在△DFD1中，由余弦定理求得cos∠DFD1＝eq\f(3,5).【出處：21教育名師】[答案]eq\f(3,5)8．(2015·濟(jì)南檢測(cè))如圖7-2-9所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．【版權(quán)所有：21教育】圖7-2-9[解析]取A1C1的中點(diǎn)D1，連結(jié)B1D1，∵D是AC的中點(diǎn)，∴B1D1∥BD，∴∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角．連結(jié)AD1，設(shè)AB＝a，則AA1＝eq\r(2)a，∴AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(1,4)a2＋2a2)＝eq\f(3,2)a.∴cos∠AB1D1＝eq\f(3a2＋\f(3,4)a2－\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,2).∴AB1與BD所成角為60°.[答案]60°三、解答題9．如圖7-2-10，在△ABC中，∠DAC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，AB＝2，21*cnjy*com圖7-2-10(1)求三棱錐A-BCD的體積；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與DB所成角的余弦值．[解](1)因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高，所以當(dāng)△ABD折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，由AB＝2，∠DAC＝60°，∠BAC＝90°，求得DC＝3，AD＝eq\r(3)，BD＝1，V三棱錐A-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×3×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).21·世紀(jì)*教育網(wǎng)(2)取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，則EF∥BD，EF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)，在Rt△ADF中，DF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(3,2)，AD＝eq\r(3)，AF＝eq\r(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(21),2)，由(1)知BD⊥AD，又BD⊥CD，AD∩CD＝D，所以BD⊥平面ACD，所以EF⊥平面ACD，則EF⊥AF，AE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(22),2)，所以cos∠AEF＝eq\f(EF,AE)＝eq\f(\r(22),22)，即異面直線AE與DB所成角的余弦值為eq\f(\r(22),22).21教育名師原創(chuàng)作品10．如圖7-2-11，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，E是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1上的動(dòng)點(diǎn)．圖7-2-11(1)求證：A1D1與B1B是異面直線；(2)試問F在B1C1何處時(shí)，直線CF與直線AE相交？[證明](1)假設(shè)A1D1與B1B不是異面直線，則A1D1與B1B共面，設(shè)其確定的平面為α，則α與平面A1B1D1重合，連結(jié)BD1，則直線BD1在平面A1B1D1內(nèi)，這與BD1是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體對(duì)角線矛盾，從而A1D1與B1B是異面直線．(2)F為B1C1的中點(diǎn)時(shí)，直線AE與CF相交．連結(jié)EF，A1C1，AC.∵E，F(xiàn)為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1，且EF＝eq\f(1,2)A1C1.∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C1綊AC，∴EF∥AC，∴A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面．又EF＝eq\f(1,2)AC，∴四邊形AEFC為梯形，∴直線AE與CF相交．[B級(jí)能力提升練]一、填空題1．(2014·江蘇鹽城模擬)如圖7-2-12，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列四個(gè)命題：圖7-2-12①△DBC是等邊三角形；②AC⊥BD；③三棱錐D-ABC的體積是eq\f(\r(2),6)；④AB與CD所成的角是60°.其中正確命題的序號(hào)是________(寫出所有正確命題的序號(hào))．[解析]設(shè)正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O，①根據(jù)平面幾何知識(shí)可知BD＝eq\r(2)DO＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，再由BC＝DC＝1，可知△DBC是等邊三角形；②由AC⊥DO，AC⊥BO，可得AC⊥平面DOB，從而有AC⊥BD；③三棱錐D-ABC的體積＝eq\f(1,3)S△ABC×OD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12)；④過O作OE∥AB，OF∥CD，則∠EOF(或其補(bǔ)角)為所求角，在△OEF中，可解得∠EOF＝120°，故AB與CD所成的角為60°.www-2-1-cnjy-com[答案]①②④2．(2014·南京模擬)已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，AC1與平面A1BD和平面CB1D1分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．給出以下命題，其中真命題有________(寫出所有真命題的序號(hào))．圖7-2-13①點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AC1的兩個(gè)三等分點(diǎn)；②eq\o(ED1,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))；③設(shè)A1D1的中點(diǎn)為M，CD的中點(diǎn)為N，則直線MN與面A1DB有一個(gè)交點(diǎn)；④E為△A1BD的內(nèi)心；⑤設(shè)K為△B1CD1的外心，則eq\f(VK-BED,VA1-BFD)為定值．[解析]對(duì)①，在對(duì)角面ACC1A1中可看出點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AC1的兩個(gè)三等分點(diǎn)，正確；對(duì)②，eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(EC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，故錯(cuò)；對(duì)③，設(shè)DD1的中點(diǎn)為R，則易證面MNR∥面A1BD，故錯(cuò)；對(duì)④，A1E在△A1BD的邊BD的中線上，故E不一定為△A1BD的內(nèi)心(實(shí)際上是重心)，故錯(cuò)；對(duì)⑤，設(shè)K為△B1CD1的外心，則eq\f(VK-BED,VA1-BFD)＝eq\f(VK-EBD,VF-A1BD)＝eq\f(1,3)，為定值，正確．[答案]①⑤二、解答題3．(2012·上海高考)如圖7-2-14，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2.求：21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有圖7-2-14(1)三角形PCD的面積；(2)異面直線BC與AE所成的角的大小．[解](1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.21教育網(wǎng)因?yàn)镻D＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，CD＝2，所以三角形PCD的面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).(2)法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，C(2,2eq\r(2)，0)，E(1，eq\r(2)，1)，2·1·c·n·j·yeq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(2)，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(2)，0)．設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(