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蘇州市網(wǎng)上教師學(xué)校/【高考講壇】2016屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第2節(jié)平面的基本性質(zhì)與空間兩直線的位置關(guān)系課后限時自測理蘇教版[A級基礎(chǔ)達標練]一、填空題1.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線.上述命題中正確的命題是________(只填序號).[解析]由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時,a與c可以相交、平行或異面,故②錯;當(dāng)a與b相交,b與c相交時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故③錯;a?α,b?β,并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”,故④錯.[答案]①2.空間四點中,三點共線是這四點共面的________條件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”)21[解析]三點共線和第四點一定共面,反之不成立.[答案]充分不必要3.(2015·泰州模擬)下列命題:①經(jīng)過三點確定一個平面;②梯形可以確定一個平面;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;④如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.其中正確命題是________(只填序號)[解析]由平面的基本性質(zhì)知①錯,②對,④錯;兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面,故③對.[答案]②③4.若異面直線a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=l,則直線l與直線a,b的位置關(guān)系是________.21·cn·jy·com[解析]假設(shè)l與a,b都不相交,因為l與a都在α內(nèi),所以l∥a,l與b都在β內(nèi),所以b∥l,所以a∥b,與假設(shè)矛盾.[答案]至少與a,b中的一條直線相交5.如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形是________.(填上所有正確答案的序號)【來源:21·世紀·教育·網(wǎng)】[解析]本題考查了異面直線的判定,圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖③中,連結(jié)MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.21*cnjy*com[答案]②④6.在下列命題中,不是公理的命題是________.(只填序號)①平行于同一個平面的兩個平面相互平行;②過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面;③如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi);④如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.[解析]命題①是面面平行的性質(zhì)定理,是由公理推證出來的,而公理是不需要證明的.[答案]①7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1,CC1的中點,那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________.【來源:21cnj*y.co*m】圖7-2-8[解析]連結(jié)DF,易知AE∥DF,∠DFD1即為異面直線AE與D1F所成的角,在△DFD1中,由余弦定理求得cos∠DFD1=eq\f(3,5).【出處:21教育名師】[答案]eq\f(3,5)8.(2015·濟南檢測)如圖7-2-9所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點,AA1∶AB=eq\r(2)∶1,則異面直線AB1與BD所成的角為________.【版權(quán)所有:21教育】圖7-2-9[解析]取A1C1的中點D1,連結(jié)B1D1,∵D是AC的中點,∴B1D1∥BD,∴∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角.連結(jié)AD1,設(shè)AB=a,則AA1=eq\r(2)a,∴AB1=eq\r(3)a,B1D1=eq\f(\r(3),2)a,AD1=eq\r(\f(1,4)a2+2a2)=eq\f(3,2)a.∴cos∠AB1D1=eq\f(3a2+\f(3,4)a2-\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)=eq\f(1,2).∴AB1與BD所成角為60°.[答案]60°三、解答題9.如圖7-2-10,在△ABC中,∠DAC=60°,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,AB=2,21*cnjy*com圖7-2-10(1)求三棱錐A-BCD的體積;(2)設(shè)E為BC的中點,求異面直線AE與DB所成角的余弦值.[解](1)因為折起前AD是BC邊上的高,所以當(dāng)△ABD折起后,AD⊥BD,AD⊥DC,又DB∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,由AB=2,∠DAC=60°,∠BAC=90°,求得DC=3,AD=eq\r(3),BD=1,V三棱錐A-BCD=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×3×eq\r(3)=eq\f(\r(3),2).21·世紀*教育網(wǎng)(2)取CD的中點F,連結(jié)EF,AF,則EF∥BD,EF=eq\f(1,2)BD=eq\f(1,2),在Rt△ADF中,DF=eq\f(1,2)CD=eq\f(3,2),AD=eq\r(3),AF=eq\r(\r(3)2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)=eq\f(\r(21),2),由(1)知BD⊥AD,又BD⊥CD,AD∩CD=D,所以BD⊥平面ACD,所以EF⊥平面ACD,則EF⊥AF,AE=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)=eq\f(\r(22),2),所以cos∠AEF=eq\f(EF,AE)=eq\f(\r(22),22),即異面直線AE與DB所成角的余弦值為eq\f(\r(22),22).21教育名師原創(chuàng)作品10.如圖7-2-11,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是A1B1的中點,F(xiàn)是B1C1上的動點.圖7-2-11(1)求證:A1D1與B1B是異面直線;(2)試問F在B1C1何處時,直線CF與直線AE相交?[證明](1)假設(shè)A1D1與B1B不是異面直線,則A1D1與B1B共面,設(shè)其確定的平面為α,則α與平面A1B1D1重合,連結(jié)BD1,則直線BD1在平面A1B1D1內(nèi),這與BD1是長方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線矛盾,從而A1D1與B1B是異面直線.(2)F為B1C1的中點時,直線AE與CF相交.連結(jié)EF,A1C1,AC.∵E,F(xiàn)為A1B1,B1C1的中點,∴EF∥A1C1,且EF=eq\f(1,2)A1C1.∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C1綊AC,∴EF∥AC,∴A,E,F(xiàn),C四點共面.又EF=eq\f(1,2)AC,∴四邊形AEFC為梯形,∴直線AE與CF相交.[B級能力提升練]一、填空題1.(2014·江蘇鹽城模擬)如圖7-2-12,將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱錐D-ABC中,給出下列四個命題:圖7-2-12①△DBC是等邊三角形;②AC⊥BD;③三棱錐D-ABC的體積是eq\f(\r(2),6);④AB與CD所成的角是60°.其中正確命題的序號是________(寫出所有正確命題的序號).[解析]設(shè)正方形ABCD對角線的交點為O,①根據(jù)平面幾何知識可知BD=eq\r(2)DO=eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=1,再由BC=DC=1,可知△DBC是等邊三角形;②由AC⊥DO,AC⊥BO,可得AC⊥平面DOB,從而有AC⊥BD;③三棱錐D-ABC的體積=eq\f(1,3)S△ABC×OD=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(2),12);④過O作OE∥AB,OF∥CD,則∠EOF(或其補角)為所求角,在△OEF中,可解得∠EOF=120°,故AB與CD所成的角為60°.www-2-1-cnjy-com[答案]①②④2.(2014·南京模擬)已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1,AC1與平面A1BD和平面CB1D1分別交于E,F(xiàn)兩點.給出以下命題,其中真命題有________(寫出所有真命題的序號).圖7-2-13①點E,F(xiàn)為線段AC1的兩個三等分點;②eq\o(ED1,\s\up6(→))=-eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→));③設(shè)A1D1的中點為M,CD的中點為N,則直線MN與面A1DB有一個交點;④E為△A1BD的內(nèi)心;⑤設(shè)K為△B1CD1的外心,則eq\f(VK-BED,VA1-BFD)為定值.[解析]對①,在對角面ACC1A1中可看出點E,F(xiàn)為線段AC1的兩個三等分點,正確;對②,eq\o(ED1,\s\up6(→))=eq\o(EC1,\s\up6(→))+eq\o(C1D1,\s\up6(→))=eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA1,\s\up6(→)))-eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)),故錯;對③,設(shè)DD1的中點為R,則易證面MNR∥面A1BD,故錯;對④,A1E在△A1BD的邊BD的中線上,故E不一定為△A1BD的內(nèi)心(實際上是重心),故錯;對⑤,設(shè)K為△B1CD1的外心,則eq\f(VK-BED,VA1-BFD)=eq\f(VK-EBD,VF-A1BD)=eq\f(1,3),為定值,正確.[答案]①⑤二、解答題3.(2012·上海高考)如圖7-2-14,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,AD=2eq\r(2),PA=2.求:21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有圖7-2-14(1)三角形PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大?。甗解](1)因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,從而CD⊥PD.21教育網(wǎng)因為PD=eq\r(22+2\r(2)2)=2eq\r(3),CD=2,所以三角形PCD的面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)=2eq\r(3).(2)法一:如圖所示,建立空間直角坐標系,則B(2,0,0),C(2,2eq\r(2),0),E(1,eq\r(2),1),2·1·c·n·j·yeq\o(AE,\s\up6(→))=(1,eq\r(2),1),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,2eq\r(2),0).設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為θ,則cosθ=eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(
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