2014級(jí)高數(shù)下ch5 4 5平面直線

一、平面的點(diǎn)法式方程

第四節(jié)平面二、平面的一般方程三、兩平面的夾角四、小結(jié)

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知

一、平面的點(diǎn)法式方程

第四節(jié)平面(唯一?)設(shè)平面上的任一點(diǎn)為必有平面的點(diǎn)法式方程Ⅰ

平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形．其中法向量已知點(diǎn)必有

平面的點(diǎn)法式方程Ⅰ其中法向量已知點(diǎn)例1通過(guò)的平面方程是且垂直于向量的平面

的方程.例2.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為利用點(diǎn)法式得平面

的方程由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程Ⅱ法向量二、平面的一般方程(三元一次方程)取法向量化簡(jiǎn)得所求平面方程為解設(shè)已知兩平面法向量為結(jié)論:

若所求法向量n,滿足則可取設(shè)平面為由平面過(guò)原點(diǎn)知所求平面方程為解設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解代入所設(shè)方程平面的截距式方程Ⅲ得平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；軸；平面平行于軸；(過(guò)原點(diǎn))(x取任意)(不過(guò)原點(diǎn))平面通過(guò)平面平行于坐標(biāo)面；類(lèi)似地可討論情形.(x,y取任意)面；平面即為類(lèi)似地可討論情形.例4:

下列平面方程中，方程[]過(guò)y軸；C觀察下列平面(1)2x-y-z=0;(2)-x+3y+6=0;(3)3z-7=0.兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.定義（通常不取鈍角）三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//相交(垂直),平行(重合)與重合

例7

研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解:∴兩平面相交，夾角兩平面平行兩平面重合.設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得解化簡(jiǎn)得令代入體積式所求平面方程為解點(diǎn)到平面距離公式

則

例8設(shè)

是平面

外一點(diǎn)，求M到平面的距離.

平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程.一般方程.截距式方程.（注意兩平面的位置特征）四、小結(jié)6第五節(jié)直線一、空間直線的一般方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角五、直線與平面問(wèn)題的例題

六、小結(jié)定義空間直線可看成兩平面的交線．一、空間直線的一般方程

第五節(jié)直線為空間直線的一般方程Ⅰ稱二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程

方向向量的定義：

如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量．(方向向量不唯一！)故有

由直線的對(duì)稱式方程故有

由稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)Ⅱ直線的一組方向數(shù)☆解∴取所求直線方程說(shuō)明:1.

若

m,n,p中有某個(gè)數(shù)為零,則對(duì)稱式方程應(yīng)理解為一般方程

.若

m=0,則L

應(yīng)理解為：若

m=n=0,則L

應(yīng)理解為：直線的對(duì)稱式方程令直線的參數(shù)方程Ⅲ

2.空間直線的一般方程、對(duì)稱式方程、參數(shù)方程可以互化.(t

R)例2

用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線解題思路:先找直線任上一點(diǎn);再找直線的方向向量.解:因所求直線與兩平面的法向量都垂直取則直線方程為參數(shù)方程結(jié)論:

若所求方向向量s,滿足則可取解所以交點(diǎn)為取所求直線方程1.定義兩直線的方向向量的夾角稱之.三、兩直線的夾角直線直線^兩直線的夾角公式（通常不取鈍角）直線與直線注意：//2.兩直線的位置關(guān)系：(與是否共面無(wú)關(guān)！)(兩直線共面的條件?)注:

兩直線共面的條件:2、兩直線的位置關(guān)系：//滿足：(3)L1與L2重合(有公共點(diǎn))直線直線例2關(guān)系？解則所求直線的方程3.例題解

先作一過(guò)點(diǎn)M且與L1垂直的平面再求已知直線L1與該平面的交點(diǎn)N,令（類(lèi)似書(shū)P35例6

）得,交點(diǎn)取所求直線的方向向量為，所求直線方程為直線l和平面∏的法線之間的夾角θ的余角

稱為直線與平面的夾角．∵θ為直線l與法線的交角,四、直線與平面的夾角1.定義直線與平面的夾角正弦公式θl不取鈍角（

通常不取鈍角）解為所求夾角．2.直線與平面的位置關(guān)系的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行但不相交C．直線在平面上D．相交但不平行B例3

直線與平面C滿足：相交(垂直),平行(重合)(有公共點(diǎn))(相反關(guān)系)1.點(diǎn)到直線的距離

則

LM0M1ds(作業(yè):P6三證明)五、直線與平面問(wèn)題的例題

過(guò)一條直線的平面有無(wú)窮多個(gè)，過(guò)該直線的平面的全體叫做平面束.可設(shè)平面束方程為：

其中

為任意常數(shù).2、平面束方程，直線在平面上的投影

問(wèn):平面束方程解∵過(guò)點(diǎn)M∴所求的平面方程為例2解l’∏’l’為投影直線(作一個(gè)過(guò)l且垂直的π的平面π’，l’=π∩π’)所求投影直線方程為空間直線的一般方程.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角.直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）六、小結(jié)過(guò)直線的平面束方程8

(作業(yè)P6

二5)課外參考:

一些特殊點(diǎn)的求法

技巧1、直線與平面的交點(diǎn)

2、求一點(diǎn)P0在平面

上的投影點(diǎn)方法：3、求一點(diǎn)P0關(guān)于平面

的對(duì)稱點(diǎn)方法：

(如作業(yè)本P5

一7)(投影點(diǎn))4、求一點(diǎn)P0在直線

L

上的投影點(diǎn)方法：求直線外一點(diǎn)M到直線L的距離的方法Ⅱ先求出點(diǎn)

M在直線

L上的投影點(diǎn)

P,則

d(M，P)即為所求.

MM0ds方法Ⅰ

5、求一點(diǎn)P0關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)求一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法：step1