2023年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）

2023年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)全集U={123,4,5,6,7,8},4nQB={1,3},Q。UB）={2,4},則集合8為（）

A.{135,6,7,8}B.{2,456,7,8}C.{5,6,7,8}D.[1,2,3,4}

2.已知復(fù)數(shù)z的虛部為門，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)向量的模長為2,則（）

A.z=1+A/-3iB.z=+1+y/~3iC.z=1+>/-3iD.z=-1士V-3i

3.在“萬眾創(chuàng)業(yè)”的大背景下，“直播電商”已經(jīng)成為我國當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，已

知某電商平臺的直播間經(jīng)營化妝品和食品兩大類商品，2022年前三個(gè)季度，該直播間每個(gè)季

度的收入都比上一個(gè)季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情況如圖所示，則（）

A.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍

B.該直播間第三季度化妝品收入是第一季度化妝品收入的6倍

C.該直播間第三季度化妝品收入是第二季度化妝品收入的3倍

D.該直播間第三季度食品收入低于前兩個(gè)季度的食品收入之和

4.函數(shù)/（久）=-妥在（一加,0）U（0,/r）上的圖像大致為（）

5.九連環(huán)是中國杰出的益智游戲，九連環(huán)由9個(gè)相互連接的環(huán)組成，這9個(gè)環(huán)套在一個(gè)中空

的長形柄中，九連環(huán)的玩法就是要將這9個(gè)環(huán)從柄上解下來（或套上），規(guī)則如下：如果要解下

（或套上）第n環(huán)，則第n-1號環(huán)必須解下（或套上）,n-1往前的都要解下（或套上）才能實(shí)現(xiàn).記

解下n連環(huán)所需的最少移動步數(shù)為冊，已知的=1,a2=2,an=cin-i+2an-2+1（九？3）,

若要解下7環(huán)最少需要移動圓環(huán)步數(shù)為（）

A.42B.85C.170D.341

6.下列選項(xiàng)中，命題p是命題q的充要條件的是（）

A.在△4BC中，p：A>B,q：sinA>sinB

B.已知x,y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，p：%2—2%—3<0,q：0<x<2

C.對于兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,p：x+y8,q：x#3或y力5

2

D.兩條直線方程分別是ax+2y+6=0,l2：%+（a—l）y+a—1=0,p：，i〃，2，q：

a=2或-1

7.記函數(shù)/'（x）=sin（3X+R）（3>0,0<<5）的最小正周期為7.若/⑺=三，x屋為

/（%）的零點(diǎn)，則3的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

8.四葉草曲線是數(shù)學(xué)中的一種曲線，因形似花瓣，又被稱為四葉玫瑰線（如右圖），其方程為

（x2+y2y=8x2y2,玫瑰線在幾何學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用.例如，它可以用

于制作精美的圖案、繪制圖像、描述物體運(yùn)動的軌跡等等.根據(jù)方程和圖象，給出如下4條性

質(zhì)，其中錯(cuò)誤的是（）

y八

A

A.四葉草曲線方程是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)

B.曲線上兩點(diǎn)之間的最大距離為2，7

C.曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）

D.四個(gè)葉片圍成的區(qū)域面積小于27r

9.雙曲線1-與=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是Fi，F(xiàn)2,過F】作傾斜角為45。的直線

ab

交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直x軸，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.y/~2C.<7+1D.殍

10.在4ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c,已知ccosB+bcosC=2acosA,a-2,

△力BC的面積為則AABC的周長是（）

A.4B.6C.8D.18

11.如圖所示，在長方體48以）一必當(dāng)（71。1中，點(diǎn)E是棱CG上的Q

一個(gè)動點(diǎn)，若平面BE。［與棱A4］交于點(diǎn)F,給出下列命題：A/

①四棱錐&-BEQF的體積恒為定值；'f/；\T1

②四邊形BE。/是平行四邊形；Fk：\I

③當(dāng)截面四邊形BED#的周長取得最小值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E至\/

少有兩個(gè)；

④直線。iE與直線DC交于點(diǎn)P,直線。iF與直線。4交于點(diǎn)Q,則P、A

B、Q三點(diǎn)共線.

其中真命題是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

12.已知a=l+tan(-0.2),b=Zn0.8e,c=^,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，貝ij()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量值=(2,0),%=(x,2C)，且五與方的夾角為名則“

14.已知x,y是兩個(gè)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量，其取值如下表:

X12345

y4m9n11

其回歸直線,=&+:過點(diǎn)(3,7),則zn,n滿足的條件是

15.三棱錐的三視圖如圖所示，求該三棱錐外接球的體積

16.已知拋物線C：丫2=4久與圓“：x2+y2-2x=Q,過圓心M的直線/與拋物線C和圓M分

別交于4B,C,D,其中4c在第一象限，B,D在第四象限,則|斐。|+2|BC|最小值是______.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

11

①數(shù)列｛an｝中，已知。1=弓，對任意的p,qG/V*,都有Qp+q=即+與，令—.

②函數(shù)/(x)對任意xGR有f(x)+/(1-%)=1,數(shù)列｛an｝滿足即=/(0)+/"(；)+/(9+???+

/平)+〃1)，令“=(*)(：_?

在①、②中選取一個(gè)作為條件，求解如下問題(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分)

(1)數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列嗎？請給予證明.

(2)求數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和

18.(本小題12.0分)

內(nèi)蒙古自治區(qū)新高考改革自2022年起執(zhí)行，在取消文理分科后實(shí)行“3+1+2”模式，即語

數(shù)外為國家統(tǒng)考，所有考生必選，然后從物理、歷史2科中任選1科，再從化學(xué)、生物、政治

和地理中任選2科參加高考，選科前大家普遍認(rèn)為，傳統(tǒng)的“大文大理”(即“數(shù)理化”、“政

史地”組合)還依然是主流，而且男生將依然是“大理”的主體，某校為了解學(xué)生對“大理”

的選擇是否與性別有關(guān)，從該校高一年級1000名學(xué)生(550名男生，450名女生)，按男女生分

層隨機(jī)抽樣抽取100人進(jìn)行選科意向調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，選擇“大理”人數(shù)比非“大理”人數(shù)多

(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生進(jìn)行選科的理由，隨機(jī)選取了男生4名，女生2名進(jìn)行訪談，再從中抽

取2名代表詳細(xì)交流，求至少抽到1名女生的概率.

2=n(ad_bc)2

附表及公式:Kn=a+b+c+d

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>Ko)0.050.0250.0100.0050.001

Ko3.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小題12.0分)

已知△ABC為等邊三角形，其邊長為4,點(diǎn)。為邊4c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，并且DE14B,

將A2CE沿DE折起到△A'DE.

(1)證明：平面_L平面BCDE；

(2)在.棱BC上取一點(diǎn)P,使以,-BPDE=2匕，-BCDE，求左

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=2x—a,g(x)=Inx.

(1)若點(diǎn)M是y=f(x)圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)N是y=g(x)圖像上一點(diǎn)，在當(dāng)a=-l時(shí)，求M,N兩點(diǎn)

之間的最近距離；

(2)若函數(shù)/i(x)=-/(x)?g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓E：胃+/=l(a>b>0)的離心率為：，其左、右頂點(diǎn)分別為4,B,左右焦點(diǎn)為

尸2,點(diǎn)P為橢圓上異于4B的動點(diǎn)，且々的面積最大值為

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過定點(diǎn)7(-1,0)的直線交橢圓E于M,N兩點(diǎn)(與4B不重合)，證明：直線力M與直線BN

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Q的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C?的方程為p(l-sin。)=1

(1)求曲線G的普通方程，曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)M(0,-1),曲線Q,的交點(diǎn)為4B兩點(diǎn),求|AM|“MB|的值

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=|2x+l|+|x+a|,若f(x)<3的解集為g,1].

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)已知m,n均為正數(shù)，且滿足;+2+2a=0,求證：4m2+n2>4.

'/2mn

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：?.?全集U={1,234,5,6,7,8},

又Cu(4UB)={2,4},

AUB={1,3,5,67,8),又4CQB={1,3},

B={5,6,7,8}.

故選：C.

根據(jù)集合的基本運(yùn)算，化歸轉(zhuǎn)化，即可得解.

本題考查集合的基本運(yùn)算，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由題意可設(shè)，z=a+y/~3i(^aG/?).

???復(fù)數(shù)z對應(yīng)向量的模長為2,

Ia2+/=4-解得a=±1，

故2=±1+/^九

故選:B.

先設(shè)出z,再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：設(shè)前三個(gè)季度的總收入分別為由,a2.a3,

因?yàn)槊總€(gè)季度的收入都比上一個(gè)季度的收入翻了一番，

以a2=2a］，2a2~4a1，

選項(xiàng)A,該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的4倍，即A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,該直播間第三季度化妝品收入為30%。3=30%-4al=120%%,

而第一季度化妝品收入為10%的=aX120%的,

所以該直播間第三季度化妝品收入是第一季度化妝品收入的12倍，即B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C,第二季度化妝品收入為20%ci2=20%-2al=40%%=|x120%的，

所以該直播間第三季度化妝品收入是第二季度化妝品收入的3倍，即C正確：

選項(xiàng)D,該直播間第三季度食品收入為70%&3=280%的,

前兩個(gè)季度的食品收入之和為90%的+80%a2=250%的<280%%,

所以該直播間第三季度食品收入高于前兩個(gè)季度的食品收入之和，即。錯(cuò)誤.

故選：C.

設(shè)前三個(gè)季度的總收入分別為的,a2>a3,則a2=2ara3=2a2=4^,再結(jié)合條形圖中，每個(gè)

季度化妝品和食品收入的占比情況，逐一分析選項(xiàng)，即可.

本題考查統(tǒng)計(jì)的知識，理解條形圖的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

4.【答案】D

【解析】解：的定義域?yàn)?-7T,O)U(O,7r),

11

又/(-%)=(-x)sin(-x)--2=xsinx-歹=/(x),

???/(X)是偶函數(shù)，.??/(%)的圖像關(guān)于y軸對稱，.??排除4B選項(xiàng)；

又當(dāng)xe(0,兀)，且當(dāng)％-?0時(shí)，/(x)-?-8,.?.排除c選項(xiàng).

故選：D.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性，極限思想，即可求解.

本題考查函數(shù)的圖像問題，函數(shù)的奇偶性，極限思想，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：已知斯=an-1+2a“-2+1(兀23),

則冊+an_i+1=2{an_r+an_2+1)>

又=1,=2,

則CI3=2+2xl+l=5,04=5+2x2+1=10.a5=10+2x5+1=21,a6=21+2x

10+1=42,CI7=42+2X21+1=85.

故選：B.

由數(shù)列的遞推式，分別求出。3,&6,即可.

本題考查了數(shù)列的遞推式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】4

【解析】解：對于4,在^ABC中，02RsinA>2RsinB<=>sinA>sinB,

其中R為44BC的外接圓的半徑，故命題P是命題q的充要條件，故A正確；

對于由%2-2%-3工0,得(x—3)(%+1)40,解得一14義工3,

所以p的充要條件為一14%W3,故8錯(cuò)誤；

對于C,令％=4,y=4,滿足％。3或y。5成立，但是％+yH8不成立，

所以由q推不出p,

故命題p不是命題q的充要條件，故C錯(cuò)誤；

對于由題意,若力〃2,則修Q2Tm解得Q=—1,

所以由p可以推出q,由q推不出p,

所以命題p是命題q的充分不必要條件，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：???2=7,

0)

:.Ta)=27T,

v/(T)=sin(2zr+。)=

0<<p

n

.?.口=丞

.：X=今是零點(diǎn)，

o

7T.7T..?

???V+5=Ekez,

??.w=6k—2,kEZ,

當(dāng)k=1時(shí)，

3的最小值為4.

故選：C.

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可得到結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

8.【答案】A

【解析】解：對4選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義及曲線的圖象可得：

四葉草曲線方程不是函數(shù)，:4選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對B選項(xiàng)，???同時(shí)以”與”—y”代替曲線方程中的“x”與”y”可知曲線方程不變，

???四葉草曲線方程關(guān)V軸對稱，關(guān)于x軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

設(shè)曲線上的點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離為d,則d=Vx2+y2,

x2+y2>2xy,2y2<(,十丙,

x,-4

(x2+y2)3=8x2y2<巴比/2_，

???(d2)3<2(d2)2,d2<2,

二根據(jù)對稱軸可知：曲線上兩點(diǎn)之間的最大距離為2C，二⑶選項(xiàng)正確；

對C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可知：

曲線經(jīng)(0,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),共計(jì)5個(gè)整點(diǎn)，???(；選項(xiàng)正確；

對。選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可知：曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離的最大值為，N，

而以。為原點(diǎn)，半徑為4的圓的面積為2兀，

.??四個(gè)葉片圍成的區(qū)域面積小于2兀，??.。選項(xiàng)正確.

故選：A.

根據(jù)函數(shù)的定義，曲線方程的對稱性，重要不等式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解.

本題考查曲線方程的圖像性質(zhì)問題的求解，函數(shù)的定義，重要不等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)，屬

中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：將K=c代入雙曲線的方程得y=],即

在AMF/z中似?45。=5=1

2c

即唾包=1，解得e=5=4+1.

2acQ

故選：c.

將x=c代入雙曲線方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，通過解直角三角形列出三參數(shù)a,b,c的關(guān)系，求出離

心率的值.

本題考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系：。2=02+爐，注意與橢圓中三參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；求圓錐曲線的

離心率就是求三參數(shù)的關(guān)系.

10.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閏cosB+bcosC=2acosA,由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,

則sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,解得cosA=；,因?yàn)?6(0,7r),所以4=

因?yàn)槿切蜛BC的面積為[5，則S=gbcsinA=gbcxy=解得be=4,

在三角形力BC中由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,

即4=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)2-3bc,所以(b+c)2=4+3x4=16,所以b+c=4,

則三角形ABC的周長為a+b+c=2+4=6.

故選：B.

由己知利用正弦定理求出4的值，然后利用余弦定理求出be的值，再利用余弦定理求出b+c的值，

由此即可求解.

本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】C

【解析】解：對于①，四棱錐5-BED/的體積等于三棱錐E-B$Di的體積與三棱錐F-BiBDi

的體積之和，

又長方體ABC。中，CC\〃AA\"BB\,4公C平面夕過/，B/u平面

所以4Al〃平面&BQ,同理可得CQ〃平面&BDi，

所以點(diǎn)E、F到平面的距離為定值，

又△BBiDi的面積為定值，所以四棱錐Bi-BEDiF的體積恒為定值，①正確；

對于②，因?yàn)槠矫鍮ED/n平面BCC/i=BE,平面BED/n平面4DD1&=DJ,且平面

8。681〃平面40。遇1，所以BE〃D[F,

同理BF〃EDi，所以四邊形BEQF是平行四邊形，②正確；

對于③，由平面BE。1與棱4送交于點(diǎn)F,

可得平面BED#Cl平面44$/=BF,平面BED#n平面CGD/=D1E,

又平面44//〃平面CC/iD,則BF//5E；

又平面BE。/n平面CQB/=BE,平面BED/C平面44也0=DrF,

又平面CCi/B〃平面44m1。，貝(IBE〃名凡

又BF//D1E,四邊形BED/是平行四邊形，

當(dāng)BE+ED］的值最小時(shí)，四邊形BE。/的周長取得最小值.

將側(cè)面CC/iB與側(cè)面CC山1。展開在同一平面，

當(dāng)且僅當(dāng)E為直線BQ與CQ交點(diǎn)時(shí)，BE+ED］的值最小，

則當(dāng)截面四邊形BEDiF的周長取得最小值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E僅有1個(gè)，③錯(cuò)誤；

對于④，直線ED1與直線DC交于點(diǎn)P,直線FDi與直線D4交于點(diǎn)Q,

則P、B、Q三點(diǎn)均為平面BEDiF與平面4BCD的公共點(diǎn)，

由平面BEQF與平面NBCD有且僅有一條交線，可得P、B、Q三點(diǎn)共線，所以④正確.

綜上，真命題的序號是①②④.

故選：C.

利用割補(bǔ)法計(jì)算四棱錐當(dāng)-8ED1F的體積，即可判斷①；利用面面平行性質(zhì)定理證明四邊形

BEDiF是平行四邊形，判斷②；利用側(cè)面展開圖求得截面四邊形BED】F的周長取得最小值時(shí)，滿

足條件的點(diǎn)E個(gè)數(shù)，判斷③；利用兩平面有且僅有1條通過其公共點(diǎn)的直線證明P、B、Q三點(diǎn)共線，

即可判斷④.

本題考查了空間中的線面平行關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

12.【答案】D

【解析】解:a=1+tan(—0.2),b=InO.Be,c=貴，

則b—c=1+InO.S—e~02,令f(x)=1+Inx—ex~1,

則((x)=1-e'T在xe(0,1)上遞減，則((x)>/"(I)=0,

所以/(x)在xe(0,1)上遞增，則f(x)<f(l)=0,即b<c,

則Q—c=1+tan(-0.2)—e-0,2,令g(x)=1+tanx—ex,

則g'(%)=一e*在％G(0,1)上遞減，則g'(%)<g'(0)=0,

所以g(X)在％c(o,i)上遞減，則g(X)vg(。)=。，即QVC,即可排除4B,c.

故選：D.

由b—c=1+m0.8—e-°，2,構(gòu)造函數(shù)f(x)=1+/nx—e*T,利用導(dǎo)數(shù)法判斷；由a—c=l+

tan(—0.2)—e~02,構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+tanx-ex,利用導(dǎo)數(shù)法判斷.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題.

13.【答案】-2

【解析［解：由向量方=(2,0),屋?2C),且為與方的夾角為多

可得方?&=2x7得+12x(―^)=2%+0x2V-3=2x(x<0),

解得x=-2.

故答案為：-2.

由向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，解方程可得所求值.

本題考查向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】m+n=11

【解析】解：［="(1+2+3+4+5)=3,y=1(4+m+9+n+11)=

???回歸直線,=晨+:過點(diǎn)(3,7),

...24+,n=7,得m+n=ll.

故答案為：m+n=11.

根據(jù)已知條件，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解.

本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點(diǎn)的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】y/~6n

【解析】解：由該三棱錐的三視圖，知該幾何體是長方體的一角，且長方體的卜、

長為2,寬為1,高為1,\\

二這個(gè)三棱錐的外接球就是這個(gè)長方體的外接球，\

??.這個(gè)三棱錐的外接球半徑R=目g=殍,\\\\

所以，該三棱錐外接球的體積尸=々兀(?)3=V■而T.XA

故答案為：\/~6n-

由該三棱錐的三視圖，知該幾何體是長方體的一角，由此求出其外接球半徑，利用球的體積公式

求解即可.

本題三棱錐的外接球的體積的求法，考查學(xué)生的空間想象能力，由三視圖求體積，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】2-7+6

【解析】解：M：/+丫2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,

所以圓心為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且圓M過拋物線c：丫2=軌的頂點(diǎn),

當(dāng)ABJ.X軸時(shí)，|AO|=|BC|=2+1=3,貝+2|BC|=9,

當(dāng)AB斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-l)(kH0),C(x1,yi),D(x2,y2),

將y=fc(x-1)代入y2=4x得/(2%2—(2k2+4)x+k2=0,

「.2/+4

則Xi+孫=

=1

所以|AD|+2\BC\=(|4以|4-1)4-2(|BF|4-1)=\AF\+2\BF\+3=(與+1)+2(x2+1)+3=

x1+2X2+6

>2y/x1,2X24-6=2^T~2+6,

%i=^r~2

當(dāng)且僅當(dāng)%i=2不，即B時(shí)取等號，

tX2=—

由+6V9知，|4D|+2|BC|的最小值為2。+6.

故答案為：2，2+6.

按直線斜率存在和不存在分類討論，斜率不存在時(shí)直接求出|AD|+2|BC|的值，斜率存在時(shí),

設(shè)出直線方程，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理及基本不等式求解最值，最后比較即可得答案.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：方案一：選擇條件①

(1)由題意，令「=n,q=1,

則為i+i=On+ai=an+2'

即由i+l—an=2'

故數(shù)列｛4J是以a為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得，an=j4-1-(n-1)=p

則垢=碗京=栗尹=而同=4,廿一*T)，

故Tn=瓦+52+…+，1

11111

=4-(1--)+4-+…+4--—)

11

=44-(-1--+,--1-,+-.+1--1-、)

1、

=4,(1-----)

in+ly

4n

=n+i'

方案二：選擇條件②

(1)依題意，由即=/(0)+/(；)+/(9+…+/(早)+/(I),

可得即=/⑴+/(?)+…+片)+/(0),

兩式相加，

可得2a“=[/(0)+/(I)]+嗚+f(―)]+?“+[/(?)+/?)]+[/(I)+/(0)]

=1+1+…+1+1

=1-(n4-1)

=n+1,

n+1i?1,1、

an==1+2.(九一1)，

.??數(shù)列｛a"是以1為首項(xiàng)，T為公差的等差數(shù)列?

(2)由⑴可得，*=

1

二(吟T)(竽T)

4

n(n+l)

A1、

=44-(-------),

、nn+l7

故〃=瓦+Z?2T—+bn

=4-(1-1)+4.(1-+--+4-(i-^)

，“1,11..11、

=4-(1--+---+…H--------—)

'223nn+17

=4.(1-啟

4n

-n+1,

【解析】(1)在選擇條件①的情況下，令『=九，q=1,代入題干表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)即可證得數(shù)列｛an｝

是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；在選擇條件②的情況下，根據(jù)題干數(shù)列｛斯｝的表達(dá)式的特點(diǎn)

運(yùn)用倒序相加法即可推導(dǎo)出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步證得數(shù)列｛即｝是以1為首項(xiàng)，"為公差的

等差數(shù)列.

(2)在選擇條件①②的情況下，均先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式，再計(jì)算出數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式，最后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算出前n項(xiàng)和

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和問題.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化

歸思想，倒序相加法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)從550名男生和450名女生中按男女分層隨機(jī)抽樣抽取100人，男生抽取55人，

女生抽取45人，

???選擇非大理的男生15人，.??選擇大理的男生為40人，

設(shè)選擇非大理的女生為x人，則選擇大理的女生為(45-x)人，

???選擇大理的人數(shù)比非大理的人數(shù)多20人，二45—x+40-15-x=20,二%=25,

填寫2x2列聯(lián)表如下：

選擇“大理”選擇非“大理”合計(jì)

男生401555

女生202545

合計(jì)6040100

2_100(40x25-15x20)2

K~~60x40x55x45-x8.249>7.879>

能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為選擇“大理”與性別有關(guān);

(2)設(shè)至少抽到1名女生為事件4

???基本事件總數(shù)為量=15,

事件4包含的基本事件數(shù)為6屐+廢=9,

???p⑷迷=!?

【解析】(1)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣求出抽取男生、女生人數(shù)，再填寫2X2列聯(lián)表，計(jì)算K2,對照附

表得出結(jié)論；

(2)求出基本事件總數(shù)和事件4包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算即可.

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，古典概型的概率計(jì)算，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：因?yàn)镈E1AB,所以折疊后DEIA'E,DE1BE,

因?yàn)?'ECBE=E,A'E,BEu平面ABE,

所以。E1平面ABE,

因?yàn)镈Eu平面BCDE,

所以平面A'BE_L平面BCCE；

(2)要想%,_BPDE=：匕一BCDE，只需四邊形BPDE的面積為四邊形BCDE面積的一半,

連接BD,則4。=2,BD=2<3,DE=ADsin600=AE=ADsin300=1,

故SAABC=4c,BD=5x4x2yl3=4y3,S&ADEZAE-DE—>

/zz

故四邊形BCDE的面積為4，？-?=殍，

所以四邊形BPDE的面積為空，SAC°P=亨，

由三角形面積公式得qco-CPsin60°==學(xué)，解得CP=

2242

.1^￡1__1

',兩=丁”

【解析】(1)由折疊后位置關(guān)系不變得到線線垂直，證明線面垂直，面面垂直；

(2)先根據(jù)體積關(guān)系得到四邊形BPDE的面積為四邊形BCDE面積的一半，作出輔助線，結(jié)合三角

形面積公式求出CP=?從而得到比例關(guān)系.

本題考查面面垂直的證明，考查線段長度的比值，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)為g(%)=2n%圖像上一點(diǎn),

g'(x)=3則g'(x】)=《令*=2,

則/=又超)=—ln2,此時(shí)N(；,Tn2),

則V=g(x)在點(diǎn)N(g,Tn2)處的切線方程為y=2(%-j)-/n2,

則點(diǎn)N&-)2)到直線f⑶=2x+1的距離d=網(wǎng)+"2+1|=出絲，虧

乙V4+15

則M,N兩點(diǎn)之間的最近距離為氣空口.

(2)h(x)=-f(%)g(x)=(a-2x)lnxfxG(0,+oo),

則九'(%)=-2lnx+*子，x6(0,+8),

由函數(shù)九0)=一f(%)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

可得-2伉x+寧〈。在(0,+8)上恒成立，

即a<2xlnx4-2%在(0,+8)上恒成立，

令k(x)=2xlnx+2x,xe(0,+oo),則/(%)=2lnx4-4,

由可得％>、；

由k'(x)<0,可得0<%<也，

則當(dāng)x=a時(shí)'k(x)取得最小值k(1)=2x^xln^+2x^=—

則則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(—8,-分

【解析】(1)先求得g(x)的斜率為2的切線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可求得M,N兩點(diǎn)之間

的最近距離；

(2)利用題給條件構(gòu)造關(guān)于a的不等式，構(gòu)造函數(shù)k(x)=2xlnx+2x,并利用導(dǎo)數(shù)求得k(x)的最小

值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

21.【答案】解：(1)由已知可得/兒=’?，

02=b2+c2

解得a=2,b=c=1,

所以橢圓E的方程為[+[=1.

43

(2)證明：設(shè)過點(diǎn)7(—1,0)的直線方程為x=my-l,

聯(lián)立Cl+4v2-12-0,得(3*+4)y2-6my-9=0,

設(shè)M(x0i)，W(x2,y2),

則A>0恒成立，

月+%'2=3^(*)，

因?yàn)?(一2,0),B(2,0),

所以直線4M的方程為y=含0—2),

直線BN的方程為y=瓷0-2),

2yl(22-2)+2丫2(%1+2)

聯(lián)立兩直線方程,可得X=

y2(x1+2)-y1(x2-2)

把=my1-1,x2=my2-1代入上式，整理得

_4?丫2-6丫1+2