2022年高考藝術(shù)生專用數(shù)學(xué)講義-第09講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（教師版）

第09講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、根式

(1)”次方根的概念與性質(zhì)

概念一般地，如果x"=a，那么x叫做。的〃次方根，其中〃eN*.

①當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

這時(shí)，。的幾次方根用符號而表示.

n

次

方②當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的〃次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正

性質(zhì)

根數(shù)。的正的〃次方根用符號標(biāo)表示，負(fù)的〃次方根用符號-標(biāo)表示.正的〃

次方根與負(fù)的"次方根可以合并寫成±UZ(a〉0).負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

③0的任何次方根都為0,記作<歷=0.

(2)根式的概念與性質(zhì)

概念式子板叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

①(旅)〃=a(n>1”目jzGN*).

根

式②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而=”.

性質(zhì)

③當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，==

[-a,a<0

2、實(shí)數(shù)指數(shù)塞

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)第

①我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是』=而g>o,〃7,〃eN*,且〃>1)?

于是，在條件a>O,，w,〃GN*,且〃>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式.

-生1.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義相仿，我們規(guī)定?！ǘ?。>0,團(tuán),〃￡1<,且

疝

?>1).

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)基

規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義之后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)慕推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性

質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)暴也同樣適用，即對于任意有理數(shù)八5,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①a'as=ar+s(a>0,r,seQ)；

②(a)=a"(a>0,r,seQ)；

③(ab)'=a'b'(a>0,b>0,rGQ).

(3)無理數(shù)指數(shù)基

對于無理數(shù)指數(shù)累，我們可以從有理數(shù)指數(shù)暴來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此可以取無

理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)幕是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

一般地，無理數(shù)指數(shù)基a是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于

無理數(shù)指數(shù)塞.

3、指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=a'(a>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中％是自變量，函數(shù)的定義域是R.

【注】指數(shù)函數(shù)y=a\a>0,月々*1)的結(jié)構(gòu)特征：

(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；

(2)指數(shù)：僅有自變量x；

(3)系數(shù)：爐的系數(shù)是1.

4、指數(shù)函數(shù)”優(yōu)(。>0,且。w1)的圖象與性質(zhì)

定義域R

值域（0次）

奇偶性非奇非偶函數(shù)

對稱性函數(shù)*er*與片爐的圖象關(guān)于y軸對稱

過定點(diǎn)過定點(diǎn)（。,1）,即x=0時(shí)，y=1

單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

函數(shù)值的當(dāng)x<0時(shí)，y>l；當(dāng)尤〉（）時(shí)，y>l；

變化情況當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l當(dāng)x<（）時(shí),，0<y<l

指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中

0<c<d<l<a<b.

①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；

②在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.

底數(shù)對圖干

象的影響

即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大.

考點(diǎn)一指數(shù)與指數(shù)幕運(yùn)算

1.（2021?湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）下列運(yùn)算中正確的是（）

,13、82

A.｛（3_乃）2=3-7iB.m4n=與

C.log981=9D.電2=警

zIgz

【答案】B

【詳解】

對于A,3—丁v0,所以J（3—乃）2=萬—3，故A錯(cuò)；

1_3\__32

對于B,=（機(jī)I）""5）'=1，故B正確；

n

對于C,log,）81=2,故C錯(cuò)；

對于D,lg—=lgx+lgy-lgz,故D錯(cuò).

Z

故選：B.

2.（2021.全國）設(shè)0>0,b>0,化簡（“浦）.（-〃4）+（1向的結(jié)果是（）

1-21

A.—a3B.03C.—aD.-3d

3-3a3

【答案】D

【詳解】

2￡￡152+1_11+1_5

因?yàn)閍>0,b>0,所以（4加）?（-/廬）+（（麗）=_34表%.成院$=_3〃.

故選：D.

3.（2021?上海）在①。（_4廣，②#（-4嚴(yán)1,③疔，④〃?中，"WN*,aWR時(shí)各式子有意義的是（）

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

【答案】B

【詳解】

由（-4產(chǎn)>0知①有意義;由（-4。1<0知②無意義;③中開奇數(shù)次方根，所以有意義;當(dāng)。<0時(shí),a5<0,

此時(shí)④無意義.

故選:8.

4.（2021?全國）計(jì)算：（-27戶x/=（）

_11

A.-3B.—C.3D.—

33

【答案】D

【詳解】

211

原式=[（-3）3]5x（32p3=（-3）2x3-3=9xl=-.

故選：D

5.（2021?全國）設(shè)a>0,將夜.媯表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的形式，其結(jié)果是（）

[653

A.B.a5c.水D.a2

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)椤?gt;0,所以疝^=—.*=J4=5

-a^

故選：C

6.（2021?全國）JaO（a>0）可以化簡成（)

1322

A.〃B.小C.涼D，a5

【答案】B

【詳解】

解：底=71=/,

故選：B.

a2

7.（2021,士國?可專曲練刁）11舁j—3j~~2的結(jié)果為（)

3156

〃

A.2B.aic.aD./

【答案】c

【詳解】

2227s

優(yōu)礦a24?

故選：c

人田(V??—)^,\[a-yfb

8.(2021?全國)b=()

宿

A.2B.1c.3D.0

【答案】B

【詳解】

fflr：b_y)

府（河

2111

Z73,ly2,zy2,lj3J?-1-A—+--—

=--15=出36/326=1

疝j

故選：B

9.（2021?全國）設(shè)處”都是正整數(shù)，且“>1,若。>0,則不正確的是（）

（I1\2

A.加B.a2+a2=a+a~

~1八

C.a"=?—D.aQ=1

Rd”

【答案】B

【詳解】

山川，〃都是正整數(shù)，且〃>1,a>0,、

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：B.

10.（2021?全國）已知正數(shù)不滿足%+不；_?,貝lJf+x-2=（）

人T人一YJ

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【詳解】

因?yàn)檎龜?shù)X滿足/+=右，

<I_|\2

所以x2+x2=5,即x+x"+2=5,則x+/=3,

\/

所以（x+x-y=9,即/+r2+2=9,因此Y+X-2=7.

故選：B.

考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的概念

1.（2021?全國高一單元測試）指數(shù)函數(shù)y=a'的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3、），則a的值是（）

I1

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閥=優(yōu)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3,（）,

所以解得〃=

o2

故選：B.

2.（2021?上海高一專題練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（)

A.y=-3*B.Y=

C.y=axD.y=TTX

【答案】D

【詳解】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征:系數(shù)為1,底數(shù)滿足。＞0且axl,自變量在指數(shù)位置可知，4&C不滿足,D滿足.

故選：D.

3.（2021?全國高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)”力=優(yōu)（。＞0,"1）,且"1）=2,則〃0）+/（2）=（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【詳解】

由/（l）=2na=2=/（x）=2”,

所以/（0）+/（2）=20+22=5,

故選：B

4.（2021?萬榮縣第二中學(xué)）已知〃力=3'""為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,則”4）的值為（）

A.3B.6C.9D.8

【答案】C

【詳解】

"2）=35=1=3°,即方=2

/（4）=34-2=9

故選：C

5.（2021?全國高一單元測試）如果指數(shù)函數(shù)〃力=，（。＞0,且。工1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,那么”的值是

（）

A.72B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

由題意可知/（2）=。2=4,解得a=2或a=—2（舍）

故選：B

6.（2021?全國高一）函數(shù)丫=（。2-3〃-3）優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.。=-1或a=4B.?=4

C.a=-\D.a＞0或awl

【答案】B

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=”-3a-3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，

-3〃-3=1

所以。〉0,解得。=4.

aw1

故選：B.

7.(2021?全國高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)y=(2a-1)"(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則。的取值范圍是()

A.〃>0且owlB.。之0且QW1

C.且〃工1D.a—~

22

【答案】C

【詳解】

由于函數(shù)y=(2a-l)*(X是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則2a-1>0且功-lrl,解得且awl.

故選：C

8.(2021?全國高一專題練習(xí))已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)/(x)=(a-2)優(yōu)，則〃2)=()

A.2B.3C.9D.16

【答案】C

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a-2)/是指數(shù)函數(shù)，所以。一2=1,則“=3,所以f(x)=3',XGNJ所以,(2)=32=9.

故選：C.

9.(2021?全國高一專題練習(xí))已知函數(shù)丫=〃2?'和y=2**'都是指數(shù)函數(shù)，則。+人=()

A.不確定B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)>是指數(shù)函數(shù)，所以。=1,

由y=29是指數(shù)函數(shù)，得力=0,所以4+8=1.

故選：C.

10.(2021?全國高一專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=(/-a-l)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=lB.a=2C.a=l或a=2D.a>0月.awl

【答案】B

【詳解】

a2—a—\=1

由指數(shù)函數(shù)的定義，得。＞0,解得。=2.

故選：B

考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)圖象

1.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)丁=2優(yōu)-1+1（。＞0且。。1）恒過定點(diǎn)&加,〃），則加+〃=（）

A.1B.3

C.4D.2

【答案】C

【詳解】

由題意知，當(dāng)x=l時(shí)，y=3,故4（1，3）,m+n=4,

故選：C.

2.（2021?全國高一專題練習(xí)）如圖，①②③④中不屬于函數(shù)y=2'，y=3*,y=（g）’的一個(gè)是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【詳解】

根據(jù)函數(shù)y=2、與＞＞=（；）*關(guān)于y對稱，可知①④正確，

函數(shù)y=3,為單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確.

所以②不是已知函數(shù)圖象.

故選：B

3.（2021?廣西南寧?高一期末）函數(shù)〃力=爐+2的圖像恒過定點(diǎn)尸，則尸的坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）D.（0,3）

【答案】D

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)y=〃*恒過定點(diǎn)（0,1），

所以函數(shù)/（x）="+2的圖像恒過定點(diǎn)尸（0,3）.

故選：D

4.(2021?浙江高一期末)已知函數(shù)y=a*+l(a＞O,arl)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(1,1)C.(0,1)D.(0,2)

【答案】D

【詳解】

對于函數(shù)y=/+1(。＞0,。*1),

令x=0,

得/(0)=2,

所以圖象恒過定點(diǎn)2(0,2),

故選：D.

5.(2021?云南賓川四中高一月考)函數(shù)y=3刊的大致圖像是()

【答案】C

【詳解】

因?yàn)橐豢趨^(qū)。所以＞=3川43°=1,排除ABD.

故選：C

6.(2021?江西上饒?高一期末)當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)y="與函數(shù)y=(a-l)f+x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是

()

y

【答案】D

【詳解】

因?yàn)椤?gt;1，所以y=a*是增函數(shù)；排除AB選項(xiàng)；

二次函數(shù)y=（a-l）/+x開口向上，對稱軸9=_加［］）<0,排除C選項(xiàng)；即D正確：

故選：D.

7.（2021?北京房山.高一期末）如果函數(shù)/（x）=3'+》的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則

（）

A.b<-\B.-l</><0C.0<fe<lD.b>\

【答案】B

【詳解】

函數(shù)/（x）=3*+。的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，

則0<b+l<l,解得一1<1<0.

故選：B

8.（2021?全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/。）=優(yōu)-2+i（a>o,ax］）恒過定點(diǎn)"（見〃），則函數(shù)g（x）=”_w不

經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【詳解】

fM=優(yōu)7+1（。>0,"#1）恒過定點(diǎn)（2,2）,

:.m=n=1,

.?.g（x）=2-2*,

，g（x）為減函數(shù),且過點(diǎn)（0,1）,

，g（x）的函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限.

故選：C.

9.（2021?全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)y="'+萬-l（a>0且。力1）的圖象經(jīng)過二、三、四象限，一定有（

）

A.0<a<l且％<0B.”>1且力>0C.0<a<l且b>0D.”>1且。<0

【答案】A

【詳解】

如圖所示，從圖象上看出其是一個(gè)減函數(shù)，則

圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上（縱截距小于零），即可得b<o,

.,.0<a<l,且〃<0.

故選：A.

10.（2021?上海高一期末）已知0<〃<1/1,則函數(shù)y=a，+b的圖像必定不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?<a<l,故y=a”的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限，

且當(dāng)x越來越大時(shí)，圖象與x軸無限接近.

因?yàn)槿?lt;-1,故y=能的圖象向下平移超過一個(gè)單位，故y=a'+b的圖象不過第一象限.

故選：A.

11.（2021?畢節(jié)三聯(lián)學(xué)校高一期末）已知函數(shù)/（幻=優(yōu)"+3（。>0且"1）的圖象過定點(diǎn)則由〃=

A.5B.6C.3a+9D.8

【答案】D

【詳解】

解：f（x）=ax-2+3,當(dāng)x-2=0時(shí)，/（2）=4

所以，（*）過定點(diǎn)（2,4）,則加=2,〃=4,貝=8

故選：D.

12.（2021?全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)y=/"'+l（a>0且的圖象恒過定點(diǎn)P（-l,2）,則m的值是

（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】

由題意，函數(shù)y=+1的圖象恒過定點(diǎn)尸（-1,2）,

可得。-"加+1=2,即"1=1,解得%=1.

故選：C.

13.（2021?吉林四平?高一期末）函數(shù)〃x）=2a'T-l（a>0,且awl）恒過定點(diǎn)（）

A.（1,-1）B.（1,1）

C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】B

【詳解】

由題意知：X—1=0,即x=l,

此時(shí)y=2a,°—1=1,

所以函數(shù)恒過定點(diǎn)（1,1）,

故選：B

14.（2021?廣東揭陽華僑高中高一月考）函數(shù)y=3（a>0且awl）的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（）

A.（0,-2）B.（-1,-3）C.（0,—3）D.（-1,-2）

【答案】D

【詳解】

由函數(shù)解析式，知：當(dāng)x=-l時(shí)，y=a0-3=-2,即函數(shù)必過（一1,一2）,

故選：D.

15.（2021?全國高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)），=",y=hx,y=c"的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)。，b,c的大

小關(guān)系是（）

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【詳解】

當(dāng)X取1時(shí)，三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值分別為〃，b,c,山圖知

故選：D.

16.(2021?吉林延邊二中高一月考)已知函數(shù)/Xx)=4+am的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(-1,5)B.(-1,4)C.(0,4)D.(4,0)

【答案】A

【詳解】

當(dāng)x+l=0,即x=—1時(shí)，ax+'=a°=\，為常數(shù)，

此時(shí)〃x)=4+l=5,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,5).

故選：A.

考點(diǎn)四與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域值域問題

1.(2021?全國高一單元測試)函數(shù)>=板口的定義域?yàn)?)

A.(—,3)B.(-8,3]C.(3,+<?)D.[3,+oo)

【答案】D

【詳解】

由題意得2'-820,所以2'223，解得xN3.

故選：D.

2.(2021?全國高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=(a-2)*,且當(dāng)x<0時(shí)，>>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a>3B.2<a<3C.a>4D.3<a<4

【答案】B

【詳解】

,??當(dāng)x<0時(shí)，y>l..,.0<a-2<l,

解得2<a<3,

故選：B.

3.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=：的值域是（）

A.（0,4]B.（0,+e）C.（-oo,4）D.[4,-H?）

【答案】A

【詳解】

ill/z（x）=x2+2x-l=（x+l）'-2>-2,

指數(shù)函數(shù)y=（g]為減函數(shù)，且y=gj>0

則咱WQ,

所以>=g的值域是（0,4].

故選：A

4.（2021?全國高一單元測試）函數(shù)y=3'（-14x?2）的值域是

A.[3,9]B.-,9C.-,3D.

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閂=3、為單調(diào)遞增，所以值域是[3工32]=《,9].

故選：B.

5.（2021?新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高一期末）若x滿足不等式丫-，則函數(shù)y=2*的

值域是（）

A.Q）B.

【答案】B

【詳解】

由2?汕4可得=2%口，

因?yàn)閥=2*在R匕單調(diào)遞增,

所以V+14-2x+4即丁+2工-340,解得：-3<x<l,

1

2

所以2-4y=2"），即函數(shù)y=2,的值域是8-

故選：B.

6.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=不的值域是（）

A.[0,+°0)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

【答案】C

【詳解】

要使函數(shù)有意義，須滿足16—4,0,則xe（Yo,2],所以4、w（0,16],則0416—4*<16,即函數(shù)y=,16-4'的

值域?yàn)閇0,4）.

故選：C.

7.（2021?上林縣中學(xué)）若2，..3,則函數(shù)/（x）=4,-2川+1的最小值為（）

A.4B.0C.5D.9

【答案】A

【詳解】

設(shè)f=2，..3,則/(Z)=/一2/+l=(f-l)2(A.3),

對稱軸為f=l,所以/⑴在[3,a）上單調(diào)遞增,

所以/(%=/⑶=3-2X3+1=4-

故選：A.

-6.X+5

8.(2021?全國)函數(shù)f(x)=的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(0,16]B.[16,+<?)C.D.-.4-00

16

【答案】A

【詳解】

設(shè)〃=x2—6x+5,

則“=f_6x+5=(x―3)-_42—4,g(“)=(_),u>—4,

因?yàn)閥=為減函數(shù)，所以0<g（a）Wg（-4）=16,即值域?yàn)椋?[6],

故選：A.

_5)

9.（2021?全國）函數(shù)丫=優(yōu)一2（a>0且“1,-1<X<1）的值域是，則實(shí)數(shù)4)

3'

A.3B.-

3

12f3

C.3或]D.§或5

【答案】C

【詳解】

'a-2=l

當(dāng)時(shí)，y=優(yōu)-2在卜1川上為增函數(shù)，1。5,解得4=3：

----2=—

《3

a-2=——

qI

當(dāng)0<a<l時(shí)，y=，-2在卜1』上為減函數(shù)，解得a=—.

一-2=13

、a

綜上可知：”=3或

故選：C

10.(2021?福建省安溪第一中學(xué)高一月考)設(shè)函數(shù)f(x)=2*-2,g(x)=-3/+x.若存在qgR,使得

/(4)=gS),則b的取值范圍是()

A.(*)B.陷C.[-|J)D-

【答案】C

【詳解】

因?yàn)?(幻=2"-2>-2,所以8@)=-36+，=/3)>-2,

所以3從-6-2<0,解得-;<6<1.

故選：C

考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)單調(diào)性

1.(2021?全國)已知“=&,6=2",c=402.則。，4c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】B

【詳解】

a=0=2%。=4°2=2叫

?.?y=2,遞增，JL0.4<0.5<0.8,

2°-4<20-5<208.即c<a<b.

故選:B.

2.(2021?全國高一專題練習(xí))設(shè)a=3叫b=50A,c=0.45,則（)

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>ob

【答案】A

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)=在（0,+8）上的增函數(shù)，且3＜5,

所以3g<5°",即"b

又a=3°4>l,c=0.45<l,所以

所以。＞a＞c.

故選:A.

3.(2021?浙江)已知”=202,b=20A,c=(J,則(

)

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【詳解】

2

又函數(shù)y=2,單調(diào)遞增,

故2T2<2°2<2"4，即c<a<6,

故選:D.

4.（2021?吉林四平?高一期末）函數(shù)＞=（g）*+2x的單調(diào)遞增區(qū)間是

()

A.[-1,+?>)B.(-00?—1JC.[1,+co)D.y』]

【答案】C

【詳解】

解：令/=一工2+2］，則丁=

因?yàn)閒=+2%在（ro,1］上單調(diào)遞增,在［1,g）上單調(diào)遞減,

y在定義域內(nèi)為減函數(shù),

所以y=在（《［］上單調(diào)遞減,在口,+oo）上單調(diào)遞增,

故選：c

5.（2021?河南高一期末）已知函數(shù)〃司="-，（。＞1）,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）在R上既是奇函數(shù)，也是增函數(shù)

B.函數(shù)/（x）在R上既是奇函數(shù)，也是減函數(shù)

C.函數(shù)/（x）在R上既是偶函數(shù)，也是增函數(shù)

D.函數(shù),f（x）在R上既是偶函數(shù)，也是減函數(shù)

【答案】A

【詳解】

因?yàn)椤ǘ?出一齊，所以f（—X）=—（優(yōu)一公）=一/（X）,所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù),

因?yàn)?（》）=優(yōu)-4,且曠=優(yōu)（《>1）與>=-十（。>1）均為增函數(shù),

所以/（X）在R上是增函數(shù),

故選：A.

6.（2021唉國高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)/。）=（1-2。在實(shí)數(shù)集/?上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.g,+8）B.（0,g）

C.（一8,；）D.（一；，）

【答案】B

【詳解】

,/f（x）=（l-2a），在實(shí)數(shù)集不上是減函數(shù)

二有0<l-2a<l,解得0Va<3

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,；）

故選：B

7.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）已知4=0.2%b=0.3%c=（￥j“，則”，b,，的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【詳解】

由幕函數(shù)性質(zhì)可得:0.2°3<0.3°3;由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得:0.3。3<0.3。2,

二0.2°3VO.302，

又c=”=0.3°,，.?.0.3°/>0.3°，2,

c>b>a.

故選：A.

8.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=|2，-2],則函數(shù)y=/（x）的圖象可能是（）

【詳解】

x

因?yàn)?*）=歸—2],故〃幻=2-2,x>l

2-2',x<r

所以在[1,+8）內(nèi)，/（X）為增函數(shù)；在（YO,1）內(nèi)，/（X）為減函數(shù).

排除ACD,

故選：B.

9.（2021?內(nèi)蒙古通遼實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末（文））若指數(shù)函數(shù)y=（l-3a）'在R上遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（0,-）B.（!,+<?）C.RD.（F0）

【答案】A

【詳解】

解：由題意得：。<1—3。<1,

解得：0<?<1,

故選A.

10.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)/（?={/\7，滿足對任意辦工/，都有''心心2/<0

（〃一2）x+3〃,（x之0）xx-x2

成立，則。的取值范圍是（）

A.?e（O,l）B.ae1,1jC.aefo,1D.ae1,2j

【答案】C

【詳解】

解：???/(x)滿足對任意看都有"?)―?><0成立,

???/(X)在R上是減函數(shù)，

因?yàn)?〃。叫(\a，\(x<)，0)4刈

0<4/<1

]_

.「。一2<0,解得0<?,

3

(。-2)x0+3%

?“的取值范圍是(og.

故選：C.

函數(shù)尸(;)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

11.(2021?全國高一課時(shí)練習(xí))

A.(—8,0］B.［0,+°°)

C.(-8,應(yīng)］D.［應(yīng)，+°°)

【答案】B

【詳解】

解:函數(shù)尸(；)"在〃上為減函數(shù)，

欲求函數(shù)尸2的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求函數(shù)u=f—2的單調(diào)遞增區(qū)間，

而函數(shù)U=V—2的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,+8),

故所求單調(diào)遞減區(qū)間為［0,+8).

故選:B

12.(2021?全國高一單元測試)“a>3”是“函數(shù)/(x)=(“-l)，在R上為增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

若/(同在R上為增函數(shù),則。一1>1,即a>2,

因?yàn)閍>3是a>2的充分不必要條件，

所以“a>3”是“函數(shù)/(x)=(a-l)"在R上為增函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

，x4°

13.（2021?浙江高一期末）設(shè)函數(shù)/（尤）="J，若〃x0）>2,則%的取值范圍是（）

x2,x>0

A.（-oo,-l）U（4,-W）B.（f,T）

C.（4,+oo）D.（-1,4）

【答案】A

【詳解】

當(dāng)占40時(shí)，/（x0）=^=2一'。>2,解得：與<-1；

當(dāng)天>>。時(shí)，/（毛卜耳二在'>？，解得：*。>4；

綜上所述：%的取值范圍為,-1）U（4,M）.

故選：A.

（2—ci~x—l,x<1

14.（2021?浙江高一期末）已知函數(shù)/（幻=八）（。>0且。工1）,對任意菁,々￡尺，當(dāng)X

ax-\,x>\

時(shí)總有心上衛(wèi)J<o,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

9一%

A.（1,72）B.（-72,1）C.[1,V2）D.（-72,1]

【答案】A

【詳解】

因?yàn)閷θ我夂蚗zwR，當(dāng)X產(chǎn)/時(shí)總有"'）[""2）<0,所以/（X）在R上單調(diào)遞增，

X2~X\

2-a2>0

故有解得1<〃<0

（2-a2）-l<a-l

故選:A

a\x>\

15.（2021?全國）若函數(shù)f（x）=（。丫是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

\4--j+2,x<l

A.（1,+8）B.（1,8）C.（4,8）D.[4,8）

【答案】D

【詳解】

a>\,

由題意得44>0,解得4，V8.

42（4-ex1+2,

故選：D.

16.（2021?全國）若函數(shù)/。）=3（2"山+3在式上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（)

A.上唱B.

C.（：，2）U（1,+8）1”1」）

【答案】A

【詳解】

令"=（2〃一1戶+3,由于函數(shù).f（x）=3（2T"+3在R上是減函數(shù)，

外層函數(shù)y=3"+3為R上的增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)〃=（2a-l）x+3為R上的減函數(shù)，

所以，2a—1<0,解得a<g.

故選：A.

考點(diǎn)六指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

1.（2021?上海市第二中學(xué)）中國銀行最新存款利率一年期為：1.75%.小明于2020年存入本金100000（元），

計(jì)算到2030年可獲得利息約18945（元），其計(jì)算實(shí)質(zhì)采用的是（）模型.

A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù)D.對數(shù)函數(shù)

【答案】C

【詳解】

解：一年后，小明的本金和利息共有100000（1+1.75%）,

兩年后，小明的本金和利息共有100000（1+1.75%）2,

則x年后，小明的本金和利息共有100000（1+1.75%）,,

共取得的利息可構(gòu)建函數(shù)/（x）=100000（1+1.75%/-100000,

采用了指數(shù)函數(shù)模型.

故選：C.

2.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）隨著我國經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2018年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000

元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長，那么2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民

人均年收入為（）

A.3000x1.06x7元B.3000xl.0677CC.3000x1.06x8元D.3000xl.068

【答案】B

【詳解】

設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，

根據(jù)題意可得y=3000x1.06”,從2018到2025年共經(jīng)過了7年，

2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為3000x1.067元.

故選：B

3.（2021?全國）已知光通過一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%.那么要使光的強(qiáng)度減弱到原來的!以下，則至少

4

需要通過這樣的玻璃（參考數(shù)據(jù)：lg3a0.477,lg2*0.301）（）

A.12塊B.13塊C.14塊D.15塊

【答案】C

【詳解】

設(shè)光原來的強(qiáng)度為M通過塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為y.

光通過1塊玻璃后，強(qiáng)度y=（l-10%）k=（）.93

光通過2塊玻璃后，強(qiáng)度y=（1—10%）?0.9k=0.92k,

光通過x塊玻璃后，強(qiáng)度y=09”.

L11

由題意得即0.9'<二，兩邊同時(shí)取對數(shù)，可得HgO.9<lg：.

444

11

lg0.9<lgl=0,X）唱4_-21g2__0.60273r

lg0.921g3-l0.954-1~,

又xeN*,...至少需要通過14塊這樣的玻璃，光的強(qiáng)度能減弱到原來的?以下.

4

故選C.

4.（2021?廣東深圳?高一期末）在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)

過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，那么經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的（）

A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍

【答案】C

【詳解】

某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍,

設(shè)湖泊中原來藍(lán)藻數(shù)量為。，則a（l+6.25%）30=6a,

經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：），="（1+6.25%）60=。［（1+6.25%產(chǎn)了=36a.

二經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的36倍.

故選：C.

5.（2021?全國高一專題練習(xí)）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為“，經(jīng)

48

過f天后體積V與天數(shù)f的關(guān)系式為丫=如于憶若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?則一個(gè)新丸體積變?yōu)樗帯?/p>

需經(jīng)過的時(shí)間為（）

A.125天B.100天C.75天D.50天

【答案】C

【詳解】

解析：山題意知。＞0,當(dāng)/=50時(shí)?，有夢"。*.

即得，"晤

QQ

所以當(dāng)時(shí)，有2a=ad.