全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽集合真題匯編與典型例題

全國(guó)高中數(shù)學(xué)歷屆(2009-2019)聯(lián)賽與各省市預(yù)賽試題匯編專題18集合真題匯編與預(yù)賽典型例題全國(guó)聯(lián)賽真題：19年全國(guó)聯(lián)賽】假設(shè)實(shí)數(shù)集合

的最大元素與最小元素之差等于該集合的全部元素之和，則x的值為 .28年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合A，，，B∈A={2A，則BC的元素個(gè)數(shù)為【2013年全國(guó)聯(lián)賽設(shè)集合素的和為 .【2011集合為 ，則集合 .

.則集合中全部元.假設(shè)中全部三元子集的三個(gè)元素之和組成的【2019V2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面.某些點(diǎn)之間連有線段，記E為這些線段構(gòu)成的集合.n，滿足條件：假設(shè)E至少有nE908個(gè)二元子集.意兩個(gè)二元子集的交為空集.6．【2015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè) 為四個(gè)有理數(shù)，使得.求 的值.【2015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè) ，其中， 個(gè)互不一樣的有限集合滿足對(duì)任意均有.假設(shè) 表示有限集合的元素個(gè)數(shù)，證明：存在，使得屬于中的至少個(gè)集合.【2014年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè) .求最大的整數(shù)，使得集合S有k個(gè)互不一樣的非空子集，具有性質(zhì)：對(duì)這k個(gè)子集中任意兩個(gè)不同子集，假設(shè)它們的交非空，則它們交集中的最小元素與這兩個(gè)子集中的最大元素均不一樣.【2013數(shù).每道題的得分規(guī)章是：假設(shè)該題恰有名學(xué)生沒(méi)有答對(duì)，則每名答對(duì)該題的學(xué)生得分，未答對(duì)的學(xué)生得零分.每名學(xué)生的總分為其道題的得分總和.將全部學(xué)生總分從高到低排列為.求 的最大可能值.【2012年全國(guó)聯(lián)賽】試證明：集合 滿足對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)

，假設(shè) ，則表示

肯定不是，必存在

的倍數(shù)；，使的倍數(shù).各省預(yù)賽典型題18年江蘇】在0中，能寫成被3整除的數(shù)有 個(gè)?！?018年重慶】設(shè)集合素為a，則實(shí)數(shù)a= ．【2018

的形式，且不能恰有一個(gè)公共元也可以表示為 ，則 的值為 .【2018年湖南】樣的 對(duì)的個(gè)數(shù)有 個(gè).58年廣東】設(shè)集合的最大整數(shù)，則 .

，當(dāng) 時(shí)， 視為不同的對(duì)，則這，其中， 表示不大于x【2018年貴州】牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網(wǎng)球選手，這四人中有以下狀況：①最正確選手的孿生同胞與最差選手性別不同最正確選手與最差選手年齡一樣．則這四人中最正確選手是 ．【2018年山東】集合滿足 ，假設(shè)中的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，中的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，則滿足條件的全部不同的集合的個(gè)數(shù)為 ．88年河北】集合 .A=B，那么_98年四川】設(shè)集合，假設(shè)的非空子集 滿足，就稱有序集合對(duì)數(shù)字作答〕

的“隔離集合對(duì)，則集合的“隔離集合對(duì)”的個(gè)數(shù) 〔用具體【2018年福建】設(shè)集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，MS滿足：對(duì)S中任意3個(gè)元素，c〔不必不同，都有+c求集合S.【2018年湖南】集合 .假設(shè)假設(shè)

，求實(shí)數(shù)m，求實(shí)數(shù)m【2018年廣東】正整數(shù)n都可以唯一表示為①的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)， ， .試求①中的數(shù)列 嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減的全部正整數(shù)n的和.【2018年山東】證明對(duì)全部的正整數(shù)由都小于 個(gè)正整數(shù)組成；對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集之和．

，存在一個(gè)集合，滿足如下條件：，集合中全部元素之和不等于集合中全部元素全國(guó)高中數(shù)學(xué)歷屆(2009-2019)聯(lián)賽與各省市預(yù)賽試題匯編專題18集合真題匯編與預(yù)賽典型例題答案全國(guó)聯(lián)賽真題19年全國(guó)聯(lián)賽】假設(shè)實(shí)數(shù)集合,??的最大元素與最小元素之差等于該集合的全部元素之和，則x的值為 .【答案】?32【解析】由題意知，x為負(fù)值，∴3???=1+2+3+?????=?3.228年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合A，，，B∈A={2A，則BC的元素個(gè)數(shù)為【答案】24【解析】由條件知，??∩??={2,4,6,198}∩{113299}={2,4,6,48}.B∩C24.

2 2 233年全國(guó)聯(lián)賽設(shè)集??=，??={??|???∈,2???2???則集??中全部元素的和為 .【答案】-5【解析】易知，???{?2,0?13}.當(dāng)??=?23時(shí)，2???2=?27???；當(dāng)??=01時(shí)，2???2=2,1∈??.因此，集合??={?23}.從而，集合??中全部元素的和為?5.【2011年全國(guó)聯(lián)賽設(shè)集合??={??1,??2,??3,??4}.假設(shè)??中全部三元子集的三個(gè)元素之和組成的集合為??={?1,3,5,8}，則集合??= .【答案】{?3,0,2,6}【解析】明顯，在集合??的全部三元子集中每個(gè)元素均消滅了3次.于是，3(??1+??2+??3+??4)=(?1)+3+5+8=15???1+??2+??3+??4=5.從而，集合??的四個(gè)元素分別為5?(?1)=6，5?3=2，5?5=0，5?8=?3.因此，集合??={?3,0,2,6}.故答案為:{?3,0,2,6}【2019V2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面.某些點(diǎn)之間連有線段，記E為這些線段構(gòu)成的集合.n，滿足條件：假設(shè)E至少有nE908個(gè)二元子集.意兩個(gè)二元子集的交為空集.【答案】H有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，則肯定可以將其邊集劃分為[??]個(gè)二元子集，二元子集之間不交且每個(gè)二元子集內(nèi)的邊有公共端點(diǎn)。2m，m=1，2，3，明顯成立.m≤k成立，k≥3，m=k+1時(shí)，考慮全部葉子頂點(diǎn)??1,??2,…,????，假設(shè)有兩片葉子????????B上，則將ABABm-2條邊由歸納假設(shè)，可分為[???2]=[??]?1個(gè)二元子集i j 2 2且兩兩不相交，結(jié)論成立，i否則設(shè)??1??2????分別接在頂點(diǎn)??1??2????上，假設(shè)存在1≤??≤??????2BiA，Ci相連，將????????與BiC取下，同理由歸納假設(shè)結(jié)論成立，否則對(duì)任意1≤??≤????(????)>2，將??1??2????去掉，得圖??′，則在??′中沒(méi)有葉子結(jié)點(diǎn)，??′連通，則??′B1C，DH中把??1??1B1C去掉，圖照舊連通，由歸納假設(shè)同理可證，引理證畢.故原命題成立.62015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)??1、??2、??3、??4為四個(gè)有理數(shù)，使得{????????|1≤??<??≤4}=2 {?24?2311,3}.求??1+??2+??3+??4的值2 4【答案】??1+??2+??3+??4=±94【解析】由條件知????????(1≤??<??≤4)為六個(gè)互不一樣的數(shù)，且其中沒(méi)有兩個(gè)為相反數(shù).于是??1、??2、??3、??4確實(shí)定值互不相等.不妨設(shè)|??1||??2||??3||??4|.則|????||????|(1≤??<??≤4)中最小的、次小的兩個(gè)數(shù)分別為|??1||??2|與|??2||??4|.??1

=?1,8

??2=?

1,8??1故 ??1??3=1, ???2??4=3,

??3=

1,??1{??3??4=?24

{??4=3=?24??1??2??2?23,14}=?.24結(jié)合??1∈??，只可能??1=±1.4由此易知(??1??2??3??4)=(114?6)或11?4,6).4 2 424經(jīng)檢驗(yàn)，兩組解均滿足條件.從而，??1+??2+??3+??4=±9.475??=1,??2??????≥1,??2????個(gè)互不一樣的有1????????、????∈??，均有????∪????∈??.假設(shè)??=min|????|≥2〔|??|表示有限集合X的1??????∈∪元素個(gè)數(shù)??∈∪??=1

????，使得??屬于??1,??2,???,????中的至少??個(gè)集合.??【答案】見解析??【解析】不妨設(shè)|??1|=??.設(shè)在??1,??2,???,????中與??1不相交的集合有??個(gè)，重記為??1,??2,???,????；設(shè)包含??1的集合有??個(gè)，重記為??1??2????.??∪1∈????∪1∈1,2??.:1,2??}→1,2????)=??∪1.明顯，??為單射.從而，?? ??.1=1,2??.在??1??2????中除去??1??2????，??1??2????????????????(1?? ??)的集合有????個(gè)，由于剩下的????????個(gè)集合中設(shè)包含????(1 ?? ??)的集合有????個(gè)由于剩下的????????個(gè)集合中每個(gè)集合與??1的交非空，即包含某個(gè)????，從而，??1+??2+???+????≥????????. ①1 不妨設(shè)?? =max??1 1????則由式①知??1≥????????，即在剩下的????????個(gè)集合中，包含??1的集合至少有????????個(gè).?? ??又由于??1?????(??=1,2,?????)，故??1??2????均包含??1.因此，包含??1的集合個(gè)數(shù)至少為????????+???????+(???1)???? ??≥??

≥??.??【2014年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)??={1,2,100}.求最大的整數(shù)??Sk非空子集，具有性質(zhì)：對(duì)這k個(gè)子集中任意兩個(gè)不同子集，假設(shè)它們的交非空，則它們交集中的最小元素與這兩個(gè)子集中的最大元素均不一樣.【答案】??max=2991【解析】對(duì)有限非空實(shí)數(shù)集A，用min??max??A考慮集合S1??∩??)=1<??，故??max≥2991.于是，這樣的子集一共299?1個(gè).明顯滿足要求.接下來(lái)證明：當(dāng)??≥299k??≥3，在集合{1,2,?,??}的任意??(??≥2???1)個(gè)不同非空子集1,??2,?,????????、????≠????∩??≠??∩??)=??.①明顯，只需對(duì)??=2???1的情形證明上述結(jié)論.當(dāng)??=3時(shí)，將{1,2,3}的全部七個(gè)非空子集分成三組，1，，3；1，；由抽屜原理，知任意四個(gè)非空子集必有兩個(gè)在同一組中，取同組中的兩個(gè)子集分別記為????、????，在排在前面的記為????，則滿足結(jié)論①.假設(shè)結(jié)論在??(??≥3)時(shí)成立.考慮??+1時(shí)的情形.假設(shè)??1??2,?,??2??中至少有2???1個(gè)子集不含??+1，對(duì)其中的2???1個(gè)子集用歸納假設(shè)，知存在兩個(gè)子集滿足結(jié)論①.假設(shè)至多有2??1-1??+1，則至少有2??1+1??+1，將其中2??1+1均去掉??1，得到｛1，2，…，n｝的2??1+1由于｛1，2，…，n｝的全體子集可分為2??1組，每組兩個(gè)子集互補(bǔ)，故由抽屜原理，知在上述2??1+1因此，相應(yīng)地有兩個(gè)子集????????滿足????∩????=|??+1|，這兩個(gè)集合明顯滿足結(jié)論①.于是，??1時(shí)結(jié)論成立.綜上，??max=299 1.【2013??道試題，????、??≥2為給定的整數(shù).每道題的得分規(guī)章是：假設(shè)該題恰有??名學(xué)生沒(méi)有答對(duì)，則每名答對(duì)該題的學(xué)生得??分，未答對(duì)的學(xué)生得零分.每名學(xué)生的總分為其??道題的得分總和.將全部學(xué)生總分從高到低排列為??1??2????.求??1????的最大可能值.【答案】m(n-1)【解析】??=,??設(shè)??題沒(méi)有答對(duì)者??人則??題答對(duì)者?? ??人由得分規(guī)章知??????個(gè)人在第??題均得????分.??=1

=??=??

??(?? ??)=?????? ??

?? ∑??????=1??

??2.??.??=1????分，所以，1≤????=1

????.??1由??2≥??3≥???≥????，知????≤??2+??3+???+??????1

=????1.??1??1則??1????≤??1????1??1

=??2??1

????1≤??2

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1 ∑??

??2.??1 ??=1

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??=1 ??由柯西不等式得∑??

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????)2.1+??≤2

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??=1= 1??(??1)

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???? ??(?? 1)2]+??(?? 1)≤??(?? 1).另一方面，假設(shè)有一名學(xué)生全部答對(duì)，其他?? 1名學(xué)生全部答錯(cuò)，則1 ?? ??+?? =?? =1 ?? ??=1

(?? 1)=??(?? 1).綜上，??1+????的最大值是??(?? 1).2??=,222??滿足〔1〕對(duì)每個(gè)??∈??及??∈??，假設(shè)??<2???1，則??(?? 1)肯定不是2??的倍數(shù)；〔2〕對(duì)每個(gè)??∈??〔??表示??在??中的補(bǔ)集〕，且??≠1，必存在??∈??，??<2???1，使??(?? 1)2??的倍數(shù).〔1〕見解析〔2〕見解析【解析】〔1〕對(duì)任意??∈??，設(shè)??=2??(??∈??).則2??=2??1.假設(shè)??是任意一個(gè)小于2???1的正整數(shù)，則??.由于??與?? 1中，一個(gè)為奇數(shù)，它不含質(zhì)因子2，另一個(gè)為偶數(shù)，它含質(zhì)因子2的冪的次數(shù)最多為??，因此，??(?? 1)肯定不是2??的倍數(shù).〔2〕假設(shè)??∈??，且??≠1，設(shè)??=2????，其中，??∈??，??1的奇數(shù).則2??=2??1??.下面給出三種證明方法.方法1 令??=????，?? 1=2??1??.消去??得2??1??????=1.由(2??1,??)=1，知方程必有整數(shù)解{??=??0 2??1??,??=??0 ????,其中，??∈??，(??0,??0)為方程的特解.記最小的正整數(shù)解為(??′,??′).則??′<2??1.故??=????′<2???1，使得??(?? 1)是2??的倍數(shù).方法2 留意到，(2??1,??)=1，由中國(guó)剩余定理，知同余方程組{??≡0(mod2??1)

在區(qū)間(0,2??1??)上有解??=??，即存在??<2???1，使得??(?? 1)是2????≡???1(mod??)的倍數(shù).方法3 由(2,??)=1，總存在??(??∈??,??≤???1)，使得2??≡1(mod??).取??∈??，使得????>?? 1.則2????≡1(mod??).存在??=(2????1??(2??1??)>0(??∈??)，使得0<??<2??1.此時(shí)，??|??,2??1|(?? 1).從而??(?? 1)是2??的倍數(shù).各省預(yù)賽典型題：18年江蘇】在40中，能寫??2???2 ??∈)的形式，且不能被3整除的數(shù)有 個(gè)。【答案】501.【解析】設(shè)??={1,2,3,4,1000}，假設(shè)??=??2???2+1，則??≠3(mod4).又4??=(2??)2?(2???1)2+1，4??+1=(??+1)2?(???1)2+1，4??+2=(2??+1)2?(2??)2+1??=??2???2+??≠令??=??∈??≡??=??∈??≡??∩??={??∈??|??≡3(mod12)}，由于|??|=250，|??|=333，|??∩??|=84，從而符合條件的數(shù)的個(gè)數(shù)為1000250?33384=501.故答案為：50128年重慶】設(shè)集??=???g2??與??=??+,g2???)恰有一個(gè)公共元素為a，則實(shí)數(shù)a= ．【答案】6【解析】a-1≠a，a+1≠a，所以公共元素為2log2??=log2(16???64)b=8，??=2log2??=6．故答案為：638,??,},??+,1，??則??2018+??2018的值為 .【答案】2【解析】由題意可知??≠0.由集合相等可以得到??+??=0，從而得到??

=?1.因此??=?1，且??=1.所以??2018+??2018=(?1)2018+12018=2.48年湖南】A∪1,2,3，??≠??時(shí),)與,)視為不同的對(duì)，則這樣的(??,??)對(duì)的個(gè)數(shù)有 個(gè).【答案】27【解析】由集合A、B都是??∪??的子集，??≠??且??∪??=(??1??2??3).當(dāng)??=?時(shí)，B1種取法；A為一元集時(shí)，B2種取法；A為二元集時(shí)，B4種取法；A為三元集時(shí)，B8種取法.故不同的〔A，B〕對(duì)有1+3×2+3×4+8=27〔個(gè)〕.故答案為：2758??=??|??2?[??]=2，??=||??|<2[??表示不大于x的最大整數(shù)，則??∩??= .【答案】??∩??={?1√3}【解析】由于|??|<2，所以，[??]的值可取-2，-1，0，1.當(dāng)[??]=?2時(shí)，??2=0，無(wú)解；當(dāng)[??]=?1時(shí)，??2=1???=?1；當(dāng)[??]=0時(shí)，??2=2，無(wú)解；當(dāng)[??]=1時(shí)，??2=3???=√3，因此，??=?1或√3.68年貴州】牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網(wǎng)球選手，這四人中有以下狀況：①最正確選手的孿生同胞與最差選手性別不同最正確選手與最差選手年齡一樣．則這四人中最正確選手是 ．【答案】牛得亨先生的女兒【解析】亨先生的兒子、女兒和妹妹．由此，牛得亨先生的兒子和女兒必定是①中所指的孿生同胞．選手的孿生同胞肯定是牛得亨先生的兒子，而最正確選手無(wú)疑是牛得亨先生的女兒．故答案為：牛得亨先生的女兒78??????∪??=,?0??∩??=??中的元素個(gè)數(shù)不是??中的元素，??中的元素個(gè)數(shù)不是??中的元素，則滿足條件的全部不同的集合??的個(gè)數(shù)為 ．【答案】186【解析】設(shè)??中元素個(gè)數(shù)為??(??=1,29)，則??中元素個(gè)數(shù)為10???，依題意?????(???1)4<??<(??+1)4．2 210??????，10???∈??，此時(shí)滿足題設(shè)要求的??的個(gè)數(shù)為?????1．10?2其中，當(dāng)??=5時(shí)，不滿足題意，故??≠5．所以??的個(gè)數(shù)為??0+??1+?+??8???4=28???4=186．8 8 8 8 888??=,,??+??，??=,|??|,??且??8+??2018= .【答案】2【解析】B中有三個(gè)元素知，??≠0且??≠0，故A中??+??=0，即有??=???，又{??,????}={|??|??}|??|=??假設(shè){ ，則{

??=1

.此時(shí)??={1?1,0}??={0,11}.????=?? ??=?1??=?? ??=0 ??=?1 ??=1假設(shè){|??|=????，則{??=0，或{??=?1，或{??=1，不滿足互異性，舍去.故??=1，??=?1，所以??2018+??2018=2.98年四川】設(shè)集??=，??的非空子??、??滿足??∩??=，就稱有序集合對(duì)(??,??)為??的“隔離集合對(duì)”，則集合??的“隔離集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為 .〔用具體數(shù)字作答〕【答案】6050【解析】設(shè)??為??的??(1≤??≤7)元子集，則??為??的補(bǔ)集的非空子集.所以，“隔離集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為∑7 ????(28????1)=∑7

????28????∑7

????

=(1+2)8?(??028+??820)?(28???0???=1 8

??=1 8

??=1 8

8 8 8.??8)=38?29+1=6050.8故答案為：6050.8年福建】設(shè)集合m∈}M的子集S滿足：對(duì)S中任意3個(gè)元素，c〔不必不同，都有+c求集合S.【答案】20【解析】S2018.S={s|1≤s≤2018，s∈Z}S符合要求，且|S|=2018.S是滿足題設(shè)條件的集合，明顯0???〔0+0+0=0〕.S中的全部正整數(shù)A，SB.假設(shè)??=?，則|??|=|??|≤2018；假設(shè)??=?，則|??|=|??|≤2018.A、B非空的情形.對(duì)于集合X，Y，記??+??=??+??|??∈??，??∈??，???= ???|??∈??.0由題設(shè)可知，(??+??)∩(???)=?〔否則，設(shè)x∈(A+B)∩(－S)，則存在a∈A，b∈B，－c00 ∈－Sa+b=x，－c=x.a∈S，b∈Sa+b+c=0〕.A+B∈{x|x∈Z0 |x|<2017}(事實(shí)上，A中元素≤2018，B中元素≤－1A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.〕.

Bb

<b<…<b.1 2

1 2

1 2 k 1 2 l1 1 2 1 3 1 k l k 2 k ∵a+b<a+b<a+b<…<a+b<a+b<…<a1 1 2 1 3 1 k l k 2 k ∴A+Bk+l－1個(gè)元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.結(jié)合??+?????|?? ∈??，且|??|≤2017 ???，??????，且(??+??)∩(???)=?，可得(??+??)∪(???)???，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.∴|S|≤2019.假設(shè)|S|=2019，則|A+B|+|－S|=4037=|M|.∴(A+B)∪(－S)=M.又由?2018???+??，2018???+??2018∈S，－2018∈S.k=1，2，3，…，1009，k2018－kS，－k與－2018+k中也至S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，沖突.因此，|??|≤2018.綜上可得，|??|≤2018.S2018.8年湖南】集??= ??|?2<??<3,??= ??|??<??<??+9.(1)假設(shè)??∪??=??，求實(shí)數(shù)m(2)假設(shè)??∩??≠??，求實(shí)數(shù)m〔[,2〔2()【解析】(1)∵集合??={??|?2<??<3}??={??|??<??<??+9}，A∪B=B，∴A?B，??+9≥3∴{??≤?2 ，解得??+9≥3∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[?6,?2].(2)∵集合??={??|?2<??<3}??={??|??<??<??+9}，A∩B=?時(shí)，3≤??m+9≤?2，m≥3m≤?11，∴A∩B≠?時(shí)，?11<m<3，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?11,3).8年廣東】正整數(shù)n??=0+1?9+??2?92+?+???9??①的形式，其中m??∈,?8〔??=,?,?????∈,?8試求①中的數(shù)列??0??1,??2,?,????嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減的全部正整數(shù)n的和.【答案】984374748【解析】AB分別表示①中數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增和遞減的全部正整數(shù)構(gòu)成的集合.S〔M〕表示M中全部數(shù)的和，并將滿足①式的正整數(shù)記為??=?????????1??1??0.把集合A分成如下兩個(gè)不交子集??0={??∈??|??0=0}和??1={??∈??|??0≠0}.我們有??(??)=??(??0)=??(??1).對(duì)任意????1，令??(??9????0，則??是??1到??0的雙射.由此得??(??0)=9??(??1)，從而??(??)=10??(??1).1又對(duì)任意??=?????????1??0∈??，令??=??(??)=(9?????)(9??????1(9???0)∈??1，g是B到??的雙射，其中??+??=9??+1+9??9=9(9??+1?1).18由于??={?????????1??0|1≤????<?????1<?<??0≤8??=0,17}所以B中共有∑7

????+1個(gè)元素，因此??(??)+??(??1)=9∑7

????+1(9??+1?1)??=0 8 8 ??=0