復變函數習題答案第4章習題詳解_第1頁
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文檔簡介

第四章習題詳解以下數列是否收斂？如果收斂，求出它們的極限：；；；；。證明：判別以下級數的絕對收斂性與收斂性：；；；。以下說法是否正確？為什么？每一個冪級數在它的收斂圓周上處處收斂；每一個冪級數的和函數在收斂圓內可能有奇點；每一個在連續(xù)的函數一定可以在的鄰域內展開成泰勒級數。冪級數能否在收斂而在發(fā)散？求以下冪級數的收斂半徑：〔為正整數〕；；；；；。如果的收斂半徑為，證明的收斂半徑。[提示：]證明：如果存在，以下三個冪級數有相同的收斂半徑；；。設級數收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為。如果級數在它的收斂圓的圓周上一點處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂。把以下各函數展開成的冪級數，并指出它們的收斂半徑：；；；；；；；。求以下各函數在指定點處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑：，；，；，；，；；；；。為什么在區(qū)域內解析且在區(qū)間取實數值的函數展開成的冪級數時，展開式的系數都是實數？證明在以的各冪表出的洛朗展開式中的各系數為，。[提示：在公式中，取為，在此圓上設積分變量。然后證明的積分的虛部等于零。]以下結論是否正確？用長除法得因為所以把以下各函數在指定的圓環(huán)域內展開成洛朗級數：，；，，；，，；，；，在以為中心的圓環(huán)域內；，在的去心鄰域內；，，。函數能否在圓環(huán)域展開成洛朗級數？為什么？如果為滿足關系的實數，證明[提示：對展開成洛朗級數，并在展開式的結果中置，再令兩邊的實部與實部相等，虛部與虛部相等。]如果為正向圓周，求積分的值。設為：；；

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