第1講（微專(zhuān)題）集合中的思想 （講義）-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

【專(zhuān)題1】集合中的思想方法重要知識(shí)點(diǎn)講解知識(shí)點(diǎn)1：元素與集合之間的關(guān)系【方法講解】當(dāng)一個(gè)集合中的元素含有字母，求解字母的值或范圍時(shí)，一般可先利用集合中元素的確定性解出集合中字母的所有可能的值或范圍，再根據(jù)集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)?！纠}精講】例題1已知集合含有兩個(gè)元素和，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____；【答案】；變式1設(shè)集合，集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】6【解析】因?yàn)?，，，所以的可能結(jié)果有種，依次是，所以中有個(gè)元素，故答案為.1．解決含有字母的問(wèn)題，常用到分類(lèi)討論的思想，在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，務(wù)必明確分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)．2．在解方程求得字母的值后，常因忘記驗(yàn)證集合中元素的互異性，而造成過(guò)程性失分．提醒：解答此類(lèi)問(wèn)題易忽視互異性而產(chǎn)生增根的情形．例題2設(shè)A為實(shí)數(shù)集，且滿(mǎn)足條件：若a∈A，則11-a∈A(a求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；(2)集合A不可能是單元素集．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】(1)若a∈A，則11-a∈A.又∵2∈A，∴11∵－1∈A，∴11-(-1)＝12∈A.∵12∈A，∴11-12(2)若A為單元素集，則a＝11-a，即a2－a＋1∴a≠11-a變式2已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a∈A，試求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）0或－1；（2）1.【解析】(1)因?yàn)椋?∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.(2)因?yàn)閍∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.當(dāng)a＝a－3時(shí)，有0＝－3，不成立；當(dāng)a＝2a－1時(shí)，有a＝1，此時(shí)A中有兩個(gè)元素－2,1，符合題意．綜上所述，滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a的值為1.知識(shí)點(diǎn)2：元素個(gè)數(shù)、集合個(gè)數(shù)的討論【例題精講】例題1已知集合.（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中有兩個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，即中只有一個(gè)元素.（2）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，即中有兩個(gè)元素.變式1寫(xiě)出由方程的解組成的集合中的元素；【答案】當(dāng)時(shí)，則由方程的解組成的集合中的元素為，若，則由方程的解組成的集合中的元素為；1．若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如上面例題中集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題．2．在學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如本例中用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想．例題2已知集合；（1）若是單元素集合，求集合；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）；變式2已知集合.若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若中只有一個(gè)元素，求的值；（3）若中有兩個(gè)元素，求的取值范圍.變式3已知，，，且，，中至少有一個(gè)不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．分析：至少有1個(gè)不是空集，考慮方法有兩種：第1種：或或也就是，和取并集．第2種，至少有1個(gè)不是空集的反面是什么？如我們班至少有1個(gè)男生反面是不到1個(gè)男生，也就是沒(méi)有男生，∴“至少有1個(gè)不是空集”的反面是“全都是空集”．“全都是空集”取，，的公共部分也就是交集，再取個(gè)補(bǔ)集就行．當(dāng)遇到正面分類(lèi)討論比較多時(shí)，不妨考慮問(wèn)題反面．若改成“至少有兩個(gè)是空集”，那么反面是什么？最多有1個(gè)空集．比如某富二代說(shuō)“我家至少有10棟房”，那么反面是他家至多有9棟房知識(shí)點(diǎn)3：集合與集合之間的關(guān)系【方法講解】1．判斷集合間關(guān)系的方法有三種：（1）一一列舉觀察；（2）集合元素特征法：首先確定集合的元素是什么？弄清楚元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系；（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或韋恩圖；2．和同時(shí)成立，則（真子集）能更準(zhǔn)確地表示之間的關(guān)系；集合間的基本運(yùn)算的關(guān)鍵點(diǎn)(1)?：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解．(2)端點(diǎn)值：已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的條件，常用數(shù)軸解決此類(lèi)問(wèn)題．【例題精講】判斷集合之間的關(guān)系例題1已知集合，，試判斷與的關(guān)系.【答案】（1）對(duì)于任意，，∵，∴，∴，由子集定義知.（2）∵，此時(shí)，即，而，因在時(shí)無(wú)解.綜合（1）、（2）知，.變式1已知，，試確定和的關(guān)系；【答案】；例題2若，，，則，，的關(guān)系是（） B． C．D．【答案】C；變式2（18-19學(xué)年?yáng)|莞一中月考）設(shè)集合，，則() B． C． D．【答案】C變式3設(shè)集合，，，則集合、、的關(guān)系是() B． C． D．【答案】C根據(jù)集合之間的關(guān)系求滿(mǎn)足條件的集合例題3根據(jù)題意，完成下列各題：（1）滿(mǎn)足的集合有幾個(gè)；（2）已知集合，且中至少有一個(gè)元素為奇數(shù)，則這樣的集合共有多少個(gè)？并用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些集合.【答案】（1）由可以確定集合必含有元素、，且至少含有元素，，中的一個(gè)，因此依據(jù)集合的元素個(gè)數(shù)分類(lèi)如下：含有三個(gè)元素：，，；含有四個(gè)元素：，，；含有五個(gè)元素：.故滿(mǎn)足題意的集合共有個(gè)（2）這樣的集合共有個(gè).∵，且中至少有一個(gè)元素為奇數(shù)，∴當(dāng)中含有個(gè)元素時(shí)，可以為；當(dāng)中含有個(gè)元素時(shí)，可以為，.變式4滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)是________；【答案】；變式5已知，集合的子集的個(gè)數(shù)是_______；【答案】；根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或范圍【方法講解】數(shù)形結(jié)合——數(shù)軸法用圖形來(lái)表示數(shù)，形象而直觀，因此數(shù)形結(jié)合的思想在教學(xué)中廣泛使用，數(shù)軸是表示實(shí)數(shù)的，任何一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上均可以用一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上任何一個(gè)點(diǎn)都代表一個(gè)實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上表示一個(gè)不等式的取值范圍，形象而直觀。因此也廣泛應(yīng)用于求子集的問(wèn)題中?！纠}精講】例題1已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】因?yàn)?，由題意知：（1）當(dāng)時(shí)，，解得；（2）當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；變式1若上題中，將“”改為“”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？【答案】由題意知，解集為空集，所以這樣的實(shí)數(shù)不存在；變式2已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】；變式3已知集合,，是否存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，若存在，求出的范圍；【答案】的范圍是；變式4已知集合，，則能使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是；【答案】；例題2設(shè)集合,,如果，求實(shí)數(shù)的取值集合；【答案】，因?yàn)?，所以：?）當(dāng)為時(shí)，即，解得；（2）當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，即，解得，代入中得，滿(mǎn)足；（3）當(dāng)中只有兩個(gè)元素時(shí)，由題意知，所以，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；變式5設(shè)，，其中，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】，因?yàn)?，所以：?）當(dāng)為時(shí)，即，解得；（2）當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，即，解得，代入中得，滿(mǎn)足；（3）當(dāng)中只有兩個(gè)元素時(shí)，由題意知，所以，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；1．利用集合的關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題(1)利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問(wèn)題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來(lái)建立變量間的關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問(wèn)題．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．2．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)的建立通過(guò)本例嘗試建立數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，以及在動(dòng)態(tài)變化中學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)4：集合的運(yùn)算集合基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提．(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．【例題精講】例題1（改編自東華高級(jí)中學(xué)18-19學(xué)年中段考）已知，.（1）求和；（2）若記符號(hào)，在圖中把表示“集合”的部分用陰影涂黑，并求出.【參考答案】（1）（2）【解析】：（1）由得.即..①集合如圖中的陰影部分；17題圖②由于所以；例題2（2020-2021光明中學(xué)期中考試）已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求.（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）時(shí)，；；（2）由得；當(dāng)時(shí)，有，則；當(dāng)時(shí)，有解得.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.變式1設(shè)集合，；（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的值；變式2設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．①或；②；例題3（山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)19-20學(xué)年第一次月考）設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求實(shí)數(shù)a，m的取值范圍．解A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，所以B可能為?，{1}，{2}，{1,2}，因?yàn)棣ぃ?－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠?，又因?yàn)閤2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，所以B中一定有1，所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.經(jīng)驗(yàn)證a＝2，a＝3均滿(mǎn)足題意，又因?yàn)锳∩C＝C，所以C?A.所以C可能為?，{1}，{2}，{1,2}．當(dāng)C＝?時(shí)，方程x2－mx＋2＝0無(wú)解，所以Δ＝m2－8＜0，所以－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2).當(dāng)C＝{1}時(shí)，m無(wú)解；當(dāng)C＝{2}時(shí)，m也無(wú)解；當(dāng)C＝{1,2}時(shí)，m＝3.綜上所述，a＝2或a＝3，－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2)或m＝3.變式3設(shè)全集，集合，；若，求實(shí)數(shù)的值；知識(shí)點(diǎn)5集合新定義問(wèn)題解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)(1)緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)搞清楚．(2)尋找特殊元素，解題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)試題中可以使用集合性質(zhì)的特殊元素，用好集合的性質(zhì)．例題1（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)19-20學(xué)年月考）若集合A具有以下性質(zhì)．(1)0∈A,1∈A；(2)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時(shí)，eq\f(1,x)∈A.則稱(chēng)集合A是“好集”．下列命題正確的個(gè)數(shù)是()①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理數(shù)集Q是“好集”；③設(shè)集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A．0 B．1C．2 D．3【答案】①集合B不是，因1－(－1)＝2不在集合B中．②③對(duì)．變式1定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素的和為()A．0 B．2C．3 D．6【答案】x的取值分別是1,2，y的取值分別是0,2，則z＝0,2,4，集合A*B3個(gè)元素的和為6.變式2設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是的一個(gè)“孤立元”，給定，2，3，4，，則的所有子集中，只有一個(gè)“孤立元”的集合共有A．10個(gè) B．11個(gè) C．12個(gè) D．13個(gè)【解答】解：“孤立元“是1的集合：；，3，；，4，；，3，4，；“孤立元“是2的集合：；，4，；“孤立元“是3的集合：；“孤立元“是4的集合：；，2，；“孤立元“是5的集合：；，2，；，3，；，2，3，．共有13個(gè)；故選：．變式3（2021?上海模擬）已知非空集合滿(mǎn)足：對(duì)任意，總有且，若，1，2，3，4，，則滿(mǎn)足條件的個(gè)數(shù)是A．11 B．12 C．15 D．16【解答】解：由題意是集合，3，4，的非空子集，有15個(gè)，且2，4不同時(shí)出現(xiàn)，同時(shí)出現(xiàn)有4個(gè)，故滿(mǎn)足題意的有11個(gè)，故選：．變式4已知數(shù)集具有性質(zhì)對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．⑴分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；⑵證明：，且．⑴由于與均不屬于數(shù)集，所以該數(shù)集不具有性質(zhì)．由于，，，，，，，，，都屬于數(shù)集，所以該數(shù)集具有性質(zhì)．⑵因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以與中至少有一個(gè)屬于．由于，所以，故．從而，故．因?yàn)?，所以，故．由具有性質(zhì)可知．又因?yàn)椋裕畯亩?，故．限時(shí)訓(xùn)練：方法1：數(shù)形結(jié)合法【例題精講】數(shù)軸法例題1已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________；【答案】a變式1設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________；【答案】a韋恩圖法例題2某班有36名同學(xué)參加數(shù)