專(zhuān)題4.2指數(shù)函數(shù)（5類(lèi)必考點(diǎn)）（人教a版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題4.2指數(shù)函數(shù)TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：指數(shù)函數(shù)的概念】 1【考點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)的圖象】 2【考點(diǎn)3：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域】 8【考點(diǎn)4：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值】 12【考點(diǎn)5：指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用】 13【考點(diǎn)1：指數(shù)函數(shù)的概念】【知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念】形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù).1．（2022·山東·淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí)）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．y=x4 B．y=3·2x 【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征即可求解.【詳解】對(duì)于A,y=對(duì)于B，y=3×對(duì)于C,y=πx對(duì)于D,y=(?4)故選：C2．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）若p：函數(shù)f(x)=m2?3m+3mx是指數(shù)函數(shù)，q:m2A．充要條件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)命題p和指數(shù)函數(shù)的定義列方程解得m，根據(jù)命題q解得m，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】命題p真，則m2?3m+3=1，解得m=1或2，又m≠1，∴m=2；q為真，則∴q是p的必要不充分條件.故選：C．3．（2022·山東·淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí)）若函數(shù)fx=(a?1)【答案】1<a<2或【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可求解.【詳解】fx=a-1x為指數(shù)函數(shù)，則0<a-1<1故答案為：1<a<2或4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)fx=12a?3ax【答案】8【分析】根據(jù)指函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)fx所以12a?3=1，所以故答案為：8.5．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)fx是指數(shù)函數(shù)，且f2=9【答案】3【分析】依題意設(shè)fx=ax（a>0且a≠1），根據(jù)【詳解】解：由題意，設(shè)fx=ax（因?yàn)閒2=9，所以a2=9，又所以fx=3故答案為：3【考點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)的圖象】【知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象】1．指數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象圖象特征在x軸上方，過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升2.指數(shù)函數(shù)圖象畫(huà)法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．1．（2022·浙江寧波·高一期中）函數(shù)y=x?12A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和值域排除即可．【詳解】由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?∞當(dāng)x>0，y=x?12當(dāng)x<0，y=x?12故選：D．2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)y=ax?1?3（aA．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)求解．【詳解】令x－1＝0，則x＝1，此時(shí)，y＝a0－3＝－2，∴圖象過(guò)定點(diǎn)（1，－2）．故選：D．3．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)fx=1A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析函數(shù)在x≥0時(shí)的單調(diào)性及值域即可得解.【詳解】由fx=12x?1可知，當(dāng)故選：C4．（2020·山東·青島二中高一期中）已知函數(shù)fx=x?ax?b（其中a>b）的圖象如圖所示，則函數(shù)A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象特點(diǎn)，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.【詳解】fx=x?ax?b的函數(shù)圖象與由x?ax?b=0可得兩根為a，觀察fx=x?ax?b的圖象，可得其與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在區(qū)間又∵a>b，∴a>1，?1<b<0，gx當(dāng)a>1時(shí)，ax又由?1<b<0得gx的圖象與y軸的交點(diǎn)在x分析選項(xiàng)可得C符合這兩點(diǎn)．故選：C．5．（2022·廣東·東莞市石龍中學(xué)高一期中）已知函數(shù)fx=ax?4+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足關(guān)于x，yA．9 B．24 C．4 D．6【答案】C【分析】由題意可得2m+n=2，利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax?4又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足關(guān)于x，y的方程所以4m+2n=4，即2m+n=2所以1m+?12(4+24mn所以1m故選：C．6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，12【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】由題圖，直線(xiàn)x=1與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而3>故選：C．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y=21?x的圖象大致是（A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)改寫(xiě)成分段函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：函數(shù)y=2∴當(dāng)x>1時(shí)，y=2x?1是增函數(shù)，當(dāng)x≤1時(shí)，且x=1時(shí)，y=1，即圖象過(guò)1,1點(diǎn)；∴符合條件的圖象是A．故選：A．8．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））函數(shù)y=ax?1a

A．①③ B．②④ C．④ D．①【答案】C【分析】分a>1，0<a<1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和圖象平移判斷.【詳解】當(dāng)a>1時(shí)，0<1a<1，函數(shù)y=ax的圖象為過(guò)點(diǎn)(0,1)的上升的曲線(xiàn)，函數(shù)y=當(dāng)0<a<1時(shí)，1a>1，函數(shù)y=ax的圖象為過(guò)點(diǎn)(0,1)的下降的曲線(xiàn)，函數(shù)y=a故選：C9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax2+bx與函數(shù)y=A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷b的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的開(kāi)口方向，判斷函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：函數(shù)y=bx的是指數(shù)函數(shù)，b>0且b≠1，排除選項(xiàng)如果a>0，二次函數(shù)的開(kāi)口方向向上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且有另一個(gè)零點(diǎn)：x=?b所以B正確；對(duì)稱(chēng)軸在x軸左側(cè)，C不正確；如果a<0，二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)x=?ba>0故選：B．【考點(diǎn)3：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域】【知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域】函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)集合A=x-1≤x≤1，BA．? B．-2,0 C．0,+∞ D．1【答案】D【分析】求出集合B，利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)B=yy故選：D.2．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）已知集合A=xx-1<a,A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．(0,1] D．(-∞,3]【答案】A【分析】根據(jù)并集關(guān)系得到A?B，分A=?【詳解】A∪B=當(dāng)a>0,A=(1-a,1+綜上a≤1故選：A．3．（2022·福建省漳州第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合A=yy=2x?1，B=A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)A,B兩個(gè)集合，用列舉法表示集合A∩B，利用子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式求解即可【詳解】由題意，A=yy=2故A∩B={0,1,2,3}，有4個(gè)元素，故A∩B的所有子集的個(gè)數(shù)為：24故選：B4．（2019·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）函數(shù)f(x)=exex+1A．?∞，1 C．0，1 【答案】C【分析】對(duì)函數(shù)解析化簡(jiǎn)后，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】f(x)=e因?yàn)閤∈R，所以e所以ex所以0<1所以?1<?1所以0<1?1ex所以f(x)的值域?yàn)?，故選：C5．（2021·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）函數(shù)f(x)=22x?2x+1+2的定義域?yàn)锳．-1∈M B．1∈MC．M=?∞,1 【答案】ABCD【分析】先根據(jù)函數(shù)的值域求出定義域，進(jìn)而作出判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)镹=1,2，所以1≤22x?2x+1+2≤2，即22x?故選：ABCD6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)y=1【答案】(?【分析】利用根號(hào)的性質(zhì)及指數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】由題18?2x?1≥0因?yàn)閥=2x為單調(diào)遞增函數(shù)，所以?3≥x?1故答案為：(?7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x?a【答案】4【分析】由已知可得不等式2x?a≥0的解集為2,+∞，可知x=2為方程2【詳解】由題意可知，不等式2x?a≥0的解集為2,+∞，則2當(dāng)a=4時(shí)，由2x?4≥0，可得2x故答案為：4.8．（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）函數(shù)y=2（2）函數(shù)y=2【答案】

R

（0，1]

(?∞,?1)∪(?1,+【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性得出其定義域和值域；（2）解不等式x+1≠0得出定義域，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出值域.【詳解】（1）函數(shù)y=23x+1的定義域?yàn)镽，由|x+1|≥0，得出0<2（2）要使得函數(shù)有意義，只需x+1≠0，即x≠?1，故定義域?yàn)??∵x?1x+1=1?2故答案為：（1）R；(0,1]（2）(?∞,?1)∪(?1,+9．（2020·內(nèi)蒙古·北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=ax?1x≥0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,12【答案】0【分析】先利用點(diǎn)(2,12)【詳解】因?yàn)閒x=所以12=a2?1，解得因?yàn)閤≥0，所以x?1≥?1，所以0<12x?1≤2，即函數(shù)故答案為：010．（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y=2(2)y=(【答案】(1)(?∞,4)∪(4,+∞)，(0,1)∪(1,+∞【分析】根據(jù)給定的各函數(shù)有意義列出不等式，求解即得對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義；由求得的定義域確定相應(yīng)函數(shù)的指數(shù)取值，再借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求得值域.(1)使函數(shù)有意義，則x?4≠0，解得x≠4，所以函數(shù)y=21x?4因?yàn)?x?4≠0，則21所以函數(shù)y=21x?4(2)要使函數(shù)有意義，則?|x|≥0，即|x|≤0，于是得x=0，所以函數(shù)y=(23因當(dāng)x=0時(shí)，(2所以函數(shù)y=(2311．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)(1)求a的值；(2)當(dāng)x∈?2,0時(shí)，求函數(shù)g(x)=【答案】(1)a=13【分析】（1）將點(diǎn)代入指數(shù)函數(shù)f(x)中求出a=1（2）換元法令t=1【詳解】（1）∵函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)∴a?2=9，得（2）令t=13x，x∈∵g(x)=a∴?(t)=t所以?(t)在t∈1,9故當(dāng)t=1時(shí)，?t當(dāng)t=9時(shí)，?t故當(dāng)x∈?2,0時(shí)，gx的值域?yàn)椤究键c(diǎn)4：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值】【知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值】函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性質(zhì)單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1(1)比較大小問(wèn)題：?；癁橥谆蛲福弥笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性，圖象或1,0等中間量進(jìn)行比較.(2)簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論．1．（2021·山東·青島二中高一期中）下列大小關(guān)系不正確的是（

）A．?2.545>C．13?1【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：?2.545=因?yàn)?.5>1，4又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2.5所以2.545>B選項(xiàng)：0.4?32=2又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2所以25C選項(xiàng)：因?yàn)?3?12>1D選項(xiàng)：因?yàn)?.51.6>1，2?0.2故選:C.2．（2021·山東·青島二中高一期中）已知fx=12x2?2axA．?∞,1 B．1,2 C．2,3 【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令t=x2?2ax因?yàn)閒x在1,3函數(shù)t=x2?2ax又因?yàn)?t所以t=x2?2ax函數(shù)t=x2?2ax的對(duì)稱(chēng)軸為x=a故選:A.3．（2022·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高三階段練習(xí)）設(shè)fx=12x，xA．奇函數(shù)且在-∞,0上是增函數(shù) B．偶函數(shù)且在-∞,0上是減函數(shù)C．奇函數(shù)且在-∞,0上是減函數(shù) D．偶函數(shù)且在-∞,0上是增函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷奇偶性，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f(x)【詳解】∵fx=∴f故fx為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí)，故選：D．4．（2022·山東·淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí)）下列各組不等式正確的是（

）A．2.30.7>0.8C．1.90.3>1.9【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較B,C,D,由中間值法可求解A.【詳解】對(duì)于A,由于2.30.7>2.30對(duì)于B,由于y=0.7x對(duì)于C，由于y=1.9x對(duì)于D，由于y=2.7x故選：A5．（2021·天津·高一期末）設(shè)x∈R，則“|x-2|<1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分別先解出絕對(duì)值不等式，指數(shù)不等式后進(jìn)行判斷即可.【詳解】由|x-2|<1可知，-1<x-2<1，即1<x<3，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，y=3x是R上遞增的指數(shù)函數(shù)，3x<27即3故選：A6．（2022·江蘇·連云港市海濱中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1）在[?1,2]上的最大值為4，最小值為m，實(shí)數(shù)m的值為（A．12 B．1142 C．116 D．【答案】D【分析】分a>1和0<a<1兩種情況，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的最大值為4，求出a的值，從而可求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求出函數(shù)的最小值.【詳解】a>1時(shí)，f(x)=ax在則f(x)max=f(2)=此時(shí)f(x)=2x，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)=ax在所以f(x)max=f(?1)=此時(shí)f(x)=14x綜上，m的值為12或1故選：D.7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax+1，（a>0且a≠1）在區(qū)間2，3上的最大值比最小值大aA．12 B．2 C．32 【答案】AC【分析】分0<a<1、a>1討論，利用f(x)的單調(diào)性求出最大值、最小值再做差可得答案.【詳解】當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在區(qū)間2，3上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)max=f(2)=a2+1，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間2，3上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)min=f(2)=a2+1，f(x)故選：AC．8．（2022·四川·南江中學(xué)高三階段練習(xí)（文））不等式9x【答案】[1,2]【分析】根據(jù)二次不等式的解法可得3≤3【詳解】不等式9x-4×3即3x解得3≤3所以1≤x所以不等式9x-4×3故答案為：[1,2]．9．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)【答案】2【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有a0【詳解】由y=ax(a>0,a≠1)所以a=2.故答案為：210．（2020·山東省青島第十九中學(xué)高一期中）若函數(shù)fx=ax,x>14?a2x+2,x≤1【答案】4,8【分析】根據(jù)題中條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)列出相應(yīng)的不等式組，即可求得答案.【詳解】若函數(shù)fx=ax,x>1不等式x1則函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，則a>1解得：4≤a<8，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,8,故答案為：4,8．11．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足函數(shù)gx=2x+1【答案】1（答案不唯一）【分析】分段討論函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出y=2x+1?【詳解】解：因?yàn)間x當(dāng)x>a時(shí)當(dāng)x≤a時(shí)畫(huà)出y=2x要使函數(shù)gx在-∞,+∞由圖可知當(dāng)a≤1時(shí)均可滿(mǎn)足函數(shù)gx在故答案為：1（答案不唯一）12．（河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)指導(dǎo)卷（二）數(shù)學(xué)（文）試題）已知p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足22x?3a<116，q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足2x2+3x?20≤0【答案】a>3【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出命題q，根據(jù)一元二次不等式的解法解出命題q，結(jié)合必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】命題p:2又函數(shù)y=2所以2x?3a<?4，解得x<3命題q:2x2+3x?20≤0因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的真子集，有32a?2>5故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>3.13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=a(1)求a的值；(2)證明：函數(shù)F(x)=f(x)?f(?x)是R上的增函數(shù)．【答案】(1)a=2；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)fx（2）根據(jù)定義法證明函數(shù)為增函數(shù)即可.（1）因?yàn)閒x=a所以函數(shù)fx=ax+1(a>1)所以a2+1+a又因?yàn)閍＞1，所以（2）由（1）知，F(xiàn)(x)=f(x)?f(?x)=2任取x1,xF===2因?yàn)閤1<x2，所以所以Fx1?F所以Fx=fx14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值與最小值之和為20，記(1)求a的值；(2)求證：fx(3)求f1【答案】(1)a=4；(2)證明見(jiàn)解析；(3)100【分析】（1）函數(shù)y=ax在1,2上單調(diào)，得到a2（2）fx=4（3）根據(jù)fx（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值與最小值之和為20，且函數(shù)y=ax（a>0且所以當(dāng)x=1和x=2時(shí)，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在1,2上取得最值，即解得a=4或a=?5（舍去），所以a=4．（2）解：由（1）知，a=4，所以fx故fx（3）解：由（2）知，fx因?yàn)?201+200201=1，2所以f=f1201【考點(diǎn)5：指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用】1．（2022·北京房山·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系為y=atA．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)50mB．浮萍每月增加的面積都相等C．浮萍面積每月的增長(zhǎng)率都相等（注：浮萍面積每月增長(zhǎng)率=下月浮萍面積?D．若浮萍面積為2m2,3m2,6m【答案】C【分析】由函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1,2)，可得y=2【詳解】由圖可知，y=at過(guò)點(diǎn)(1,2)，則2=a所以池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系為y=當(dāng)t=5時(shí)，y=2當(dāng)t=1時(shí)，y=2，當(dāng)t=2時(shí)，y=22=4，當(dāng)t=3所以第一個(gè)月浮萍增加的面積為2m2，第二個(gè)月浮萍增加的面積為4?2=2m浮萍面積每月增長(zhǎng)率為2t+1因?yàn)?t所以2t1?故選：C.2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過(guò)凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過(guò)程中污染物含量P（單位：mgL）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為P=P0e?kt（其中PA．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由t=0，得污染物含量的初始值為P0，根據(jù)t=10得e?k=0.81【詳解】當(dāng)t=0時(shí)，P=P0；當(dāng)t=10時(shí)，即e?10k=0.8，得e?k當(dāng)t=20時(shí)，P=0.8故選：C3．（2022·云南師大附中高一期中）愛(ài)護(hù)環(huán)境人人有責(zé)，如今大氣污染成為全球比較嚴(yán)重的問(wèn)題.企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過(guò)凈化過(guò)濾后才可排放，某企業(yè)在凈化過(guò)濾廢氣的過(guò)程中污染物含量P（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為P=P0e?kt（其中【答案】25%【分析】由題可得e?5k【詳解】由題，得當(dāng)t=0時(shí)，P=P當(dāng)t=5時(shí)，1?50%P0解得e?k所以P=P所以當(dāng)t=10時(shí)，P=0.5即廢氣凈化用時(shí)10h，廢氣中污染物含量占未過(guò)濾前污染物含量的百分比為25%.故答案為：25%.4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為_(kāi)_______元.(精確到個(gè)位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)【答案】4500【分析】根據(jù)題意，逐年歸納，總結(jié)規(guī)律建立關(guān)于年份的指數(shù)型函數(shù)模型，即可得到答案；【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，依題意有y＝3000×1.06x，因?yàn)?014年年底到2021年年底經(jīng)過(guò)了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.故答案為：45005．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一種專(zhuān)門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，能在短時(shí)間內(nèi)感染大量文件，使每個(gè)文件都不同程度地加長(zhǎng)，造成磁盤(pán)空間的嚴(yán)重浪費(fèi)．這種病毒開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍．記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為yKB．（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_(kāi)_____；（2）如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過(guò)1GB(1GB【答案】

y=2x3【分析】（1）根據(jù)題意分析前面幾分鐘的情況可得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)題意，換算病毒占據(jù)的最大內(nèi)存1GB【詳解】因?yàn)檫@種病毒開(kāi)機(jī)時(shí)據(jù)內(nèi)存2KB所以，一個(gè)三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為2×2=2兩個(gè)三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為2×2×2=2三個(gè)三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為23所以x分鐘后的病每所占內(nèi)存為2×2所以y=2x3（2）由題意，病毒占據(jù)內(nèi)存不超過(guò)1GB時(shí)，計(jì)覚機(jī)能夠正常化用，又1故有2x3+1所以本次開(kāi)機(jī)計(jì)算機(jī)能正常使用的時(shí)長(zhǎng)為57分鐘．故答案為：y=2x36．（2022·全國(guó)·高一學(xué)業(yè)考試）某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量yμg與時(shí)間th之間近似滿(mǎn)足如圖所示的圖象，則y關(guān)于t【答案】

y=4t,0≤t<11【分析】由圖象可直接寫(xiě)出0≤t<1對(duì)于的解析式，將(1,4)代入y=12t?a求得a【詳解】解：由題意知，當(dāng)0≤t<1時(shí)，函數(shù)圖象是一條線(xiàn)段，易得解析式為y=4t；當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)的解析式為y=12t?a，將(1,4)代入函數(shù)解析式，得4=故解析式為y=1所以y=4t,0≤t<1令y≥0.25，則當(dāng)0≤t<1時(shí)，4t≥0.25，解得116當(dāng)t≥1時(shí)，12t?3≥0.25，解得1≤t≤5故服藥