2022年高二數(shù)學(xué)人教A必修5練習(xí)：第一章 解三角形 含解析試題（試卷）

第一章

解三角形

§1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理（一）

1課時(shí)目標(biāo)】

1.熟記正弦定理的內(nèi)容；

2.能夠初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形.

知識(shí)梳理?

1.在△A8C中，A+B+C=n,7+7+^—

~2222

2.在RtZ\ABC中，C='，那么：=sinA,，=sinB.

3.一般地，把三角形的三個(gè)角A,B,。和它們的對(duì)邊〃，。，c叫做三角形的元素.三

角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

nhc

4.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即號(hào)=;]^=三不，

Siri/1sinDsinL

這個(gè)比值是三角形外接圓的直徑2R.

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,假設(shè)A：8：C=1：2：3,那么

a'bc等于（）

A.1：2：3B.2：3：4

C.3：4：5D.I：?。?

答案D

2.假設(shè)AABC中，a=4,A=45。，8=60。，那么邊〃的值為（）

A."^3+1B.273+1

C.2乖D.2+2小

答案C

ah

解析由正弦定理?

sinAsinB9

得sin45°=sin600'

3.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C,那么△48。為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形

答案A

解析sinM=sin2B+sin2C*>（2/?）2sin2A=（27?）2sin2/?+（27?）2sin2C,即。2=墳+02,由勾股

定理的逆定理得△ABC為直角三角形.

4.在△ABC中，假設(shè)sin4>sinB,那么角4與角B的大小關(guān)系為（）

A.A>BB.A<B

C.A》BD.A,8的大小關(guān)系不能確定

答案A

解析由sinA>sinBQ2RsinA>27?sinB^>a>b^>A>B.

5.在△ABC中，A=60。，a=事,b="那么3等于（）

A.45。或135°B.60°

C.45°D.135°

答案c

解析由焉=焉得而"竽

也sin60。也

=V3=2-

'：a>b,：.A>B,B<60°

：.B=45°.

6.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,如果c=，5a,8=30。，那么

角C等于()

A.120°B.105°C.90°D.75°

答案A

解析；c=木a,.?.sinC=V^sinA=Wsin(180°—30°-。

=木$皿30。+。=木(亭sinC+^cosC),

即sinC——45cosC.

tanC=—y[3.

又CG(0°,180°),：.C=120°.

二'填空題

7.在△ABC中，AC=y[6,BC=2,8=60。，那么C=.

答案75。

解析由正弦定理得離，?入訪人二坐

?：BC=2<AC=#,，A為銳角.：.A=45°.

：.C=15°.

8.在△ABC中，假設(shè)tanA=§,C=150。，BC=1,那么AB=.

答案千

解析VtanA=1,AW(0°,180°),.,.sinA=^^.

由正弦定理知第=黑，

.gCsinCIXsin150°VTo

??A8=^T=迎=2.

10

9.在△ABC中，b=l,c=<5,C=用，那么a=.

答案1

后

解析由正弦定理，得

S_i

.2TI-sinB9

sin-j-

/.sin3=/.為鈍角，

TT

二?N必為銳角，，3=不

：?a=b=l.

10.在AABC中，a,b,。分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，假設(shè)b=2m8=4+60。，那

么A=.

答案30°

解析?.?b=2a「.sin8=2sinA,又?.?B=A+60。，

sin(A+60°)=2sinA

即sinAcos60°+cosAsin60°=2sinA,

化簡(jiǎn)得：sinA=^cosA,tanA=^9/.A=30°.

三、解答題

11.在△ABC中，Q=2，LA=30。，B=45。，解三角形.

冊(cè),sinAsinBsinC'

,、歷乂勺2

.「sinB2啦sin45°、2

?比丁7=sin30°=—7—=4

2

VC=18Oo-0+B)=18Oo-(3Oo+45o)=lO5°,

.“sinC2VLdn10502msin75°二：°r-

"c=sinA=sin30°=j_=2+2Q3.

2

12.在△ABC中，a=2小，h=6,A=30°,解三角形.

解a=2小，b=6,a<b,A=30°<90°.

又因?yàn)閆>sinA=6sin300=3,a>加inA,

所以此題有兩解，由正弦定理得：

Z>sinA6sin300,\[3,,?“八

sinB=~~=■一彳小~~—2>故8=60?；?20。.

當(dāng)B=60。時(shí)，C=90°,°=.*+==4審；

當(dāng)8=120。時(shí)，C=30。，c=a=25.

所以B=60。，C=90°,c=4g或8=120。，C=30。，c=2y[3.

【能力提升】

13.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c假設(shè)a="L6=2,sin8+cos

B=市,那么角A的大小為.

答案I

解析sinB+cosB=y/2sin(^+B)=y/2.

兀

sinq+B)=l.

又0<8<兀，

.也x半

由正弦定理，得sinA=%卜=―廣=亍

兀

又a<b,.\A<Bf

14.在銳角三角形ABC中，A=2B,a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,求彳的取值范

圍.

解在銳角三角形ABC中，A,B,C<90°,

B<90°,

即<2B<90°,.\30o<B<45°.

J80°-3B<90°,

由正弦定理知：>^=^=2cosBe(也，小),

故彳的取值范圍是（艱，?。?

⑥反思感悟

1.利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：

（1）兩角和任一邊，求其它兩邊和一角.

（2）兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角.

2.兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比擬復(fù)雜,

可能無(wú)解，可能一解或兩解.例如：a、6和A,用正弦定理求3時(shí)的各種情況.

bsinA

a<bsinAa=bsinAa2b

<a<h

A為銳角兩解（一銳角，

無(wú)解一解（直角）一解（銳角）

一鈍角）

A為直角aWba>b

或鈍角無(wú)解一解（銳角）

正弦定理（二）

峰時(shí)目標(biāo)】

1.熟記正弦定理的有關(guān)變形公式；

2.能夠運(yùn)用正弦定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理與證明.

知識(shí)梳理.

1?正弦定理：焉=磊=.=27?的常見(jiàn)變形:

(l)sinA：sin8：sinC=a：「：c；

_____h_____c________〃+?+-______

(入in4sinBsinCsinA+sinB+sinC

(3)〃=2/?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

abc

(4)sinA=旅，sinB=旅，sin。=正.

2.三角形面積公式：S=^ahsinC=^hcs\nA=^casinB.

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.在△ABC中，sinA=sinB,那么△48（7是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

答案D

nhc

2.在AABC中，假設(shè)羨夏=右下=右7,那么△48。是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

答案B

sinAsinBsinC

解析由正弦定理知:

cosA-cosB-cosC'

tanA=tantanC,.,.A=B—C.

3.在△ABC中，sinA=t，a=10,那么邊長(zhǎng)c的取值范圍是()

C.(0,10)D(0,y]

答案D

解析,,-----------—；

廨航,sinC-sinA-3,,,^c—-—3s81n0cC

0<cW岸.

4.在△ABC中，4=2床osC,那么這個(gè)三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案A

解析由d=2/?cosC得,sinA=2sinBcosC,

/.sin(B+C)=2sinBcosC,

sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

Asin(B-C)=0,：.B=C.

5.在△ABC中,5+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,那么sinA:sin3：sinC等于()

A.6：5：4B.7：5：3

C.3：5：7D.4：5：6

答案B

解析：S+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,

.c+aa+b

b+cc+aa+Z7

令=A(fc>0),

a=^k

h+c=4k

解得<b=^k

那么，c+a=5k

a+b=6k

.".sinA：sinB：sinC=a:b：c=7：5：3.

6.三角形面積為：，外接圓面積為兀，那么這個(gè)三角形的三邊之積為（）

A.1B.2

C.1D.4

答案A

解析設(shè)三角形外接圓半徑為R,那么由兀7?2=兀，

，日人?上c1,?一abcahc1.,.

付R=1,由加inC=4R-4=q??abc=1.

二、填空題

7.在△ABC中，〃=3啦，cosC=yS.ABC=44,那么b=.

答案2小

解析VcosC=1,/.sin

JbsinC=4小,:.b=2小.

8.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=60。，a=小，b=\,那么c

答案2

解析由正弦定理」7=工，得二^=工,

丁sinAsinBsin60°sinB

sinB=2，故8=30?；?50。.由a>b,

得4>5,.\B=30°,故C=90。，

由勾股定理得c=2.

9.在單位圓上有三點(diǎn)A,B,C,設(shè)AABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,那么舟+把方+

sin/IzsinD

2c_

sinC~------------,

答案7

解析:△ABC的外接圓直徑為2R=2,

-」-J-=4=2R=2

?'sinAsinBsinC,八z,

,'一+——+^—=2+1+4=7

sinA2sinBsinC

10.在△ABC中，A=60°,ci=6\[3fb—12,S^ABC=1SA/S,那么-;7~r~~?.=

YYsinA+sinB+smC

,c=.

答案126

解析____a±b±￡____=_^_=6^3=

sinA+sinB+sinCsinA近

2

S/M8c=%bsinC=3X6小X12sinC=185,

.0.sinC=21?>?^7C=^M=12'，C=6.

三'解答題

a-ccosBsin8

11.在△ABC中，求證:

h-ccosAsinA'

證明因?yàn)樵凇鰽BC中,

sin村―sinsin<7一

2RsinA—2/?sinCeosB

所以左邊=

2/?sin8—2RsinCeosA

sin(8+C)—sinCeos8sinBcosCsinB,,,

sin(A+Q—sinCeosA一sinAcosC-sinA-

〃一ccosBsinB

所以等式成立，即

b-ccosAsinA'

*22

12.在△ABC中，atanB=btanAf試判斷△A8C的形狀.

解設(shè)三角形外接圓半徑為R,那么〃2(anB=/?2tanA

2

c-a--s-i-n---B-=-/-s--i-n---A-

cosBcosA

47?2sin2AsinB4/?2sin2BsinA

<=>-----------------=-------------------

cosBcosA

<=>sinAcosA=sinBcosB

<=>sin2/4=sin28

02A=2B或24+28=兀

jr

<^>A=B或A+B=5.

.二△ABC為等腰三角形或直角三角形.

【能力提升】

13.在△4BC中，8=60。，最大邊與最小邊之比為(6+1)：2,那么最大角為()

A.45°B.60°C.75°D.90°

答案C

解析設(shè)C為最大角，那么A為最小角，那么A+C=120。，

.sinCsin(120。-4)

??sinA-sinA

sin1200cosA-cos1200sinA

sin4

小.小+1小]

=2tan4+，=2=2十2'

.'.tanA=l,A=45°,C=75°.

TT

14.在△48。中，a,b,c?分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，假設(shè)。=2,C=『

cos?=邛^，求△ABC的面積S.

B3

解cosB=2cos2萬(wàn)一1=亍

4

故B為銳角，sin3=亍

所以sinA=sin(兀-8一C)=sin(^—3)=

-rn、也Tffl/日?sinC10

由正弦定理得c=MTU，

所以S^ABC=^acsinB=^X2X-y

⑥反思感悟

1.在△ABC中，有以下結(jié)論：

(1)A+B+C=n；

(2)sin(A+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC;

(3)弊+■!=.

A+BCA+BCA+B1

(4)sin-2=cosy,cos--=siny,tan-3-=

——一一一tan2

2.借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三

角恒等式的證明.

1.1.2余弦定理(一)

1課時(shí)目標(biāo)］

1.熟記余弦定理及其推論；

2.能夠初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形.

知識(shí)梳理?

1.余弦定理

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的

積的兩倍.即。2=62+/-2〃ccosA,32=^2+42—2cacosB,c1=a2+b2-2abcosC.

2.余弦定理的推論

抉+/一//+屏一匕2屏+加一^2

cosA=--------------；cosB=--------------；cosC=--------------.

3.在△ABC中：

(1)假設(shè)次+尻一/=0,那么C=90。；

(2)假設(shè)02=4+/；2-,活，那么C=§￡；

(3)假設(shè)c2=a2+b2+y12ab,那么C=135°.

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.在△43C中，a=l,b=2,C=60。，那么c等于()

A小B.3

市

CD.5

答案A

2.在aABC中，a=7,b=4小,c=小，那么△ABC的最小角為(）

_71一兀

C-4D12

答案B

解析二.C為最小角，

屋+房一/

由余弦定理cosC=與

_72+（4?。?—（VT5）2_V5.7t

2X7X44-2…-6,

3.在△ABC中，a=2,那么bcosC+ccosB等于（）

A.1B.y/2C.2D.4

答案C

5工序+按―//+〃2—2”

解析Z?cosC+ccosB=b,-------------+（,?-----不,----=N=Q=2.

4.在△A8C中，82=〃c且c=2m那么cos3等于（）

A.B.1C.乎D.#

答案B

解析?“2=〃c,c=2a,:,R=2m,h=y/2a9

,〃2+。2一〃2+442—2423

..cosB=-五一=-202a—=1

5.在△ABC中，sin21=-5—{a,h,。分別為角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊)，那么△ABC的

形狀為()

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

答案B

銳??--01—COS71C—b

解析?sin-2=-2—=W'

bZ??+C2-Q2

.?.cosA=4=；hc=標(biāo)+從二十,符合勾股定理.

故aABC為直角三角形.

6.在aABC中，面積5=/〃+〃—c、2),那么角c的度數(shù)為()

A.135°B.45°C.60°D.120°

答案B

解析..,S=w(a2+82—/)=：必sinC,

a2+h2-c2=2ahsinC,c2=6Z2+Z?2-2ahsinC.

由余弦定理得：c2=a2+Z?2—2abcosC,

/.sinC=cosC,

AC=45°.

二、填空題

7.在△ABC中，假設(shè)/一按一那么A=.

答案120°

8.△ABC中，。=2,b=4,C=60。，那么A=.

答案30°

解析c2=a2+b2-2abcosC

=22+42-2X2X4Xcos60°

=12

：.c=2y[3.

由正弦定理：卷=蕭?得而人耳

V6z<c,.\A<60o,A=30°.

9.三角形三邊長(zhǎng)為mb,yja2+ah+h23>0,Z?>0),那么最大角為

答案120°

解析易知：yja2+ab+b2>a,\la2+ab+b2>b,設(shè)最大角為仇

1

那么

cosd"正絲：+"+外21

.?.6=120°.

10.在△ABC*,BC=\,8=去當(dāng)?shù)拿娣e等于小時(shí)，tanC=.

答案一2仍

解析SAABC=gacsin8=小，；.c=4.由余弦定理得，按=標(biāo)+/—2accos8=13,

.cr+b--c~1.V12

??cos。-2ab一而smCy

tanC=-y[V2=—2y[3.

三、解答題

11.在△ABC中，CB=7,AC=8,A8=9,試求AC邊上的中線長(zhǎng).

Ao2_|_0/^2O2_1_Q2_727

解由條件知：=號(hào)」=系設(shè)中線長(zhǎng)為由余弦定理知：

cosA=；Z會(huì)-/1O.-/1「CZAyAOJX,

x2=^^)2+AB2-2-^-/!BcosA=42+92—2X4X9X-=49

=x=7.

所以，所求中線長(zhǎng)為7.

12.在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程/一2S工+2=0的兩根，2cos(A+

8)=1.

(1)求角C的度數(shù)；

⑵求AB的長(zhǎng)；

(3)求AABC的面積.

解(l)cosC=COS[TT—3+8)]

,1

=—cos(y4+B)=-2，

又?.?CW(0°,180°),.,.C=120°.

(2)'.'a,6是方程x2—2、8x+2=0的兩根,

[〃+6=2,yf3,

\ab=2.

AB2—b2-\-a2—2abcos\20°—(a+b)2—ab—\0,

，AB=e.

(3)SAABC=/a6sinC—2"

【能力提升】

13.(2022?濰坊一模)在△ABC中，AB=2,AC=乖,BC=1+小,AO為邊BC上的高,

那么AD的長(zhǎng)是.

答案小

?2垢??一BC+AC2-A"0

解析.cosC-2XBCXAC_2'

..「正

??sinC—2?

：.AD=ACsinC=小.

14.在△ABC中，acosA+hcosB=ccosC,試判斷三角形的形狀.

解由余弦定理知

從+/一〃2^+^2—Z?2

c°s4=2/"、'cos"2一,

tz2+Z?2—c2

cosC=2ab，

代入條件得

一+十一〃2q2+c2一—C2一〃2一—

a'-—+b'~~近一十°-2ah—=0,

通分得〃2s2+Q-6f2)+Z?2(^Z2+C2-Z?2)4-C2(C2一/一〃2)=0,

展開(kāi)整理得32—62)2=8.

a1-b2=±C1y即〃2=82+修或左=。2+^2.

根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.

?反思感悟

1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：

(1)兩邊和夾角，解三角形.

(2)三邊求三角形的任意一角.

2.余弦定理與勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.

1.1.2余弦定理(二)

峰時(shí)目標(biāo)】

1.熟練掌握正弦定理、余弦定理；

2.會(huì)用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問(wèn)題.

知識(shí)梳理.

1.正弦定理及其變形

⑴焉=嘉=康=空

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c—27?sinC.

八..a.b.八c

(3)sinA=詬，sin8r=礪，sinC=/.

(4)sin4：sin8：sinC=a?b'c.

2.余弦定理及其推論‘

(1)屋=從+/-24ccosA.

h^+c^—a2

(2)cosA=—^―.

(3)在△ABC中，理=42+820。為直角;a＞層+。20c為鈍角;《＜〃2+〃2。。為銳角.

3.在△ABC中，邊4、b、。所對(duì)的角分別為A、B、C,那么有：

A-\~B7iC

(1)4+8+。=匹,：

222,

(2)sin(A+8)=血cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC.

A+BCA+B.C

(3)sin-2-=cos3,cos-2-=sin

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，假設(shè)滿足(a+6—c)(〃+〃+c)=ab,那么ZC的大小為()

A.60°B,90°

C.120°D.150°

答案C

解析(a+h—c)(a+h+c)=ah,

/.6t2+/?2—<?=~ab,

cosC=-3，:.ZC=120°.

2.在△ABC中，假設(shè)2cosBsinA=sinC,那么△ABC的形狀一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案C

解析；2cosBsinA=sinC=sin(4+8),

sinAcoscosAsinB=0,

即sin(A—8)=0,.\A=B.

3.在△ABC中，sinA:sinB：sinC=3：5：7,那么這個(gè)三角形的最小外角為()

A.30°B.60°

C.90°D.120°

答案B

解析,:a:b:c=sinAIsinBIsinC=315*7,

不妨設(shè)。=3,b=5,c=7,C為最大內(nèi)角，

32+52—721

那么cos

2-

；.C=120°.

二最小外角為60°.

4.△48C的三邊分別為a,b,c且滿足〃=ac,26=a+c,那么此三角形是(

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

答案D

解析,；2Z?=a+c,；.462=(a+c)2,即(a—c)2—0.

??u=c,??2b=a+c=2a...6=a,即u=b=c.

5.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,假設(shè)C=120。，

c—y/2a,那么()

A.a>bB.a<b

C.a=bD.a與b的大小關(guān)系不能確定

答案A

解析在△ABC中，由余弦定理得，

c2=a2+Z>2—2ahcos120°

—c^+^+ab.

c=-^2a,2a2=a2+fe2+a^.

a2—b2=ab>0,cr>b2,a>b.

6.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，那么新三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度確定

答案A

解析設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為“，b,C,且辟+〃=c、2,

那么(a+x)2+(6+x)2—(c+x)2

=42+人2+2X2+2(a+b)x~c2—2cx~x1=2(a+b-c)x+x2>0,

；.c+x所對(duì)的最大角變?yōu)殇J角.

二、填空題

7.在△ABC中，邊a,〃的長(zhǎng)是方程/-5x+2=0的兩個(gè)根,C=60。,那么邊c=

答案V19

解析由題意：a+b=5fab=2.

由余弦定理得：c2=a2~\-b2—2abcosC

=a2+b2—ab=(a+b)2—3ab=52—3X2=19,

.\c=y[\9.

8.設(shè)2〃+1,區(qū)2。一1為鈍角三角形的三邊，那么。的取值范圍是.

答案2<〃<8

解析V26F—1>0,最大邊為2z+L

?三角形為鈍角三角形，，a2+(2a—1)2<(2a+1)2,

化簡(jiǎn)得：0<。<8.又,)a+2a—l>2a+1,

.*.a>2,2<tz<8.

9.ZVIBC的面積為2小，BC=5,A=60°f那么△ABC的周長(zhǎng)是.

答案12

解析Sz\A8C=]ABACsinA

=^4BACsin60°=2小，

???ABAC=8,BC2=AB2+AC2-2ABACcosA

=AB2+AC2-ABAC=(AB+AC)2-3ABAC,

：.(AB-\-AC)2=BC2+3ABAC=49,

；.A8+AC=7,.1△ABC的周長(zhǎng)為12.

10.在△ABC中，A=60。，b=\,SAABC=小，那么△ABC外接圓的面積是

答案號(hào)

解析S/\48C=]bcsinAc=yj3,

.*.c=4,

由余弦定理：a2=b2+c1-2hccosA

2

=12+4-2X1X4COS60°=13,

.'.a=y/V3.

.”__?__VB2V39

??2”而X-西-3，

2

???/?=亭.’5,卜接網(wǎng)=兀/?2=137r

T-

三、解答題

解一按sin(A-8)

11.在△ABC中，求證:

-sinC*

、〒口口,sinAcosB-cosAsinBsinA八sinB

證明右邊=后W=^ccosB-^ccosA

ac^+c2—^b抉+(?—6?q2+c2-b262+/一屏〃2一〃2

c2acc2bc-2c22c2c2x2^

斫]'，/2一名sin(A—8)

所以sinC-

3

12.在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊的長(zhǎng),cosB=—

5

且AB?BC=-2\.

(1)求AABC的面積；

(2)假設(shè)。=7,求角C.

解(1)VAB?前=一21,；.BA?前=21.

BA,BC=|BA|,|BC\,cosB=accosB=21.

34

ac=35,■/cosB=—sinB=

55

114

ASAABC=一acsinB=-X35X-=14.

225

(2)ac=35,a—1,.".c—5,

由余弦定理得，b2=a2+(r—2accosB=32,

cb

.?北=4、自由正弦定理：-d=—

；.sinC寸…全?坐

*/c<b且B為銳角，二C一定是銳角.

.?.C=45°.

【能力提升】

13.△ABC中，AB=1,BC=2,那么角C的取值范圍是()

兀71

A.0<C—B.0<，

一兀一兀_71

C.7o<C<T2D.67<C^73

答案A

解析方法一（應(yīng)用正弦定理）

..ABBC.2

?sinC-sinA***sinC-sinA

sinC=gsinA,*/0<sinAW1,

0<sinCW：.

U

：AB<BC,：.C<A9???C為銳角，

.\0<C<7.

o

方法二（應(yīng)用數(shù)形結(jié)合）

如下圖，以8為圓心，以1為半徑畫(huà)圓，

那么圓上除了直線8c上的點(diǎn)外，都可作為A點(diǎn).從點(diǎn)C向圓8作切線，設(shè)切點(diǎn)為4

jr

和A2,當(dāng)A與4、A2重合時(shí)，角C最大，易知此時(shí)：BC=2,48=1,ACA.AB,：.C=^,

兀

.,.0<C^7，

o

3

14.△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,尻=祀且cos8=j.

⑴求六+康的值；

3

（2）設(shè)B4?BC一,求a+c的值.

2

3=范

解（1）由cosB=z，得sinB=

—4.

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.

口11cosAcosC

^tanAtanCsinAsinC

sinCeosA+cosCsinAsin（A+C）

sinAsinC~sin2B

_sin8_1_4由

-sin2sinB~7,

―?―33

⑵由BA,BC-—得ca?cosB=—

22

3

由cosB=z，可得ca=2,即R=2.

由余弦定理：b2=cr+c1-2aC-CosB,

得a2+c1=b2+2dc-cos8=5,

（。+。）2=。2+/+2。。=5+4=9，?二。+。=3.

⑥反思感悟

1.解斜三角形的常見(jiàn)類型及解法

在三角形的6個(gè)元素中要三個(gè)（至少有一邊）才能求解，常見(jiàn)類型及其解法見(jiàn)下表:

條件應(yīng)用定理一般解法

由A+B+C=180。，求角A；

一邊和兩角由正弦定理求出b與c.在有

正弦定理

(如0B,Q

解時(shí)只有一解.

由余弦定理求第三邊C;由正

弦定理求出小邊所對(duì)的角；再

兩邊和夾角余弦定理由A+B+C=180。求出另一

(如a,b,C)正弦定理

角.在有解時(shí)只有一解.

由余弦定理求出角A、B；再

三邊

余弦定理利用A+B+C=180。，求出

3，b,c)

角C.在有一解時(shí)只有一解.

由正弦定理求出角B；由A+

兩邊和其中一邊的對(duì)角如余弦定理B+C=180。，求出角C；再

(。，b,A)正弦定理利用正弦定理或余弦定理求

c.可有兩解、一解或無(wú)解.

2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑

(1)化邊為角；

(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.

§1.2應(yīng)用舉例(一)

峰時(shí)目標(biāo)】

i.了解數(shù)學(xué)建模的思想；

2.利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離的問(wèn)題.

知識(shí)梳理.

1.基線的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線.一般來(lái)說(shuō),

基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.

2.方位角：指從正北方向線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如圖中的

A點(diǎn)的方位角為?.

3.計(jì)算不可直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應(yīng)用之一.

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一'選擇題

1.假設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)。的北偏西45。10'方向上，那么點(diǎn)。在點(diǎn)尸的（）

A.南偏西45。10'B.南偏西44。50'

C.南偏東45。10'D.南偏東44。50'

答案C

2.兩燈塔A和8與海洋觀測(cè)站C的距離都等于akm,燈塔4在觀測(cè)站C的北偏東20。

方向上，燈塔8在觀測(cè)站C的南偏東40。方向上，那么燈塔A與燈塔8的距離為（）

A.akmB.y[3akm

C.y[2akmD.2akm

答案B

解析ZACB=120°,AC=BC=a,

：.由余弦定理得AB=小a.

3.海上有A、8兩個(gè)小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60。的視角，從B島

望C島和A島成75。的視角，那么8、C間的距離是（）

A.10\/3nmilenmile

C.5A/2nmileD.5#nmile

答案D

解析在aABC中，ZC=180o-60°-75o=45°.

BCAB

由正弦定理得:

sinAsinB

?BC_10

*sin60o=sin45°

解得8C=5#.

4.如下圖，設(shè)A、8兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定

一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50m,ZACB=45°,NCAB=105。后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的

距離為（）

A.5072mB.5Mm

C.25A/2mD.25,m

答案A

ATAP

解析由題意知。。，由正弦定理;市

NABC=31k=smZACB'

50X當(dāng)

,ACsinZACB

"AB^sinZABCj=50y/2(m).

2

5.如圖，一貨輪航行到M處,測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈