2023年高考數(shù)學(xué)題型預(yù)測(cè)卷（上海） 猜題16 第17-18題 數(shù)列（上海歸納）

猜題16第17-18題數(shù)列(上海精選歸納)

一、解答題

2

1.(2023春?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習(xí))設(shè)Sn為數(shù)列的前〃項(xiàng)和，已知5?=-^n+^n+na?.

(1)證明：｛4｝是等差數(shù)列；

⑵若明,%，%成等比數(shù)列，求5“的最小值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)-78

,[S.,n=1

【分析】⑴由題意可得2S“+/=2”+〃，根據(jù)。、.，作差即可得到從而

得證；

(2)由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出外,即可得到｛4｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算

可得.

【解析】(1)證明：因?yàn)镾“+Bp25?+n2=2na?+n①，

當(dāng)2時(shí)，2S,i+(〃-1)~=2(〃-+(〃-1)②

_

①-②得，2Sn+n~-2SZ1_1—(n—l)=2nan+n—2(n—V)an_i—(/?—1),

即2an+2〃-1=2nan-2(7?-l)aw_,+1,

即2(n-\)atl-2(〃-1)%=2(〃-1),

所以見(jiàn)—an-\=1,〃22且〃￡N*,

所以｛〃“｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得4=4+3,%=4+6,。=%+8,

又小,%,“9成等比數(shù)列，所以W=”八4,

即(4+6)2=(4+3>(4+8),解得q=T2,

所以4,=T2+(〃一=

25Y625

所以，=T2〃+竽=吳一爭(zhēng)號(hào)n--------------

2)8

所以當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)，S“取得最小值，=兀=兀=，j喂一78.

2.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)已知｛%｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，且4=3,4=9,…，％4=瓦.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)C”=4+(-1)"bn(〃eN*),求數(shù)歹￡c.｝的前2〃項(xiàng)和.

【答案】⑴=2〃-1

a"1

(2)4n2+-------

44

【分析】(1)運(yùn)用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

(2)運(yùn)用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，

則4=3=3,%="=旦=1,a”=ba=b、q=27,

b2q

又44=q+13d=l+13d=27,可得d=2,

所以a“=4+(〃一l)d=l+2(w-l)=2/i-l.

(2)由(1)可得b,=3"T,

故(_1)/,=_(_3廣，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，

所以%=(2〃-1)一(一3嚴(yán)，

所以數(shù)列｛c,,｝的前2〃項(xiàng)和為：

(4+%+L+%“)-[1+(-3)+L+(—3廣]=冽I；”1)_I；；[]=4*+?-.

即：數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和為

3.(2022.上海長(zhǎng)寧.統(tǒng)考一模)已知數(shù)列也｝為等差數(shù)歹U,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝的公差為2;

⑴若4=q也=生也=%,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S”,若幾=3%,q+%|=6,求”|；

【答案】(1)勿=3”’

(2)-8

【分析】(1)根據(jù)｛4,｝,也｝數(shù)列性質(zhì)及｛見(jiàn)｝的公差為2,寫出仇也也之間的關(guān)系,再用即4代替即可求出通項(xiàng)公

式;

(2)根據(jù)｛4｝為等差數(shù)列且公差為2,將幾=3%,6+。川=6兩式中均變?yōu)殛P(guān)于首項(xiàng)和女的等式，進(jìn)而解出首項(xiàng)

即可.

【解析】(1)解:由題知4=4也=%也=%,

Q色｝為等比數(shù)列,不妨設(shè)公比為4,

又?jǐn)?shù)列｛4｝的公差為2,

/.b2—bx=2,Z>3-b2=6,

如-4=2

即

.加2_刎=6,

解得a=i，q=3,

故"=3"T,〃eN*；

(2)由題知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，且公差為2,

$=3%，4+%=6,

12a,+12x11=3(?(+2(^-1))

q+4+2%=6

4=-8

解得:

Z=ll

故4=-8.

4.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列｛《,｝為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)久。、c依次成

調(diào)和數(shù)列，則稱b是。和。的調(diào)和中項(xiàng).

（1）求g和1的調(diào)和中項(xiàng)；

（2）已知調(diào)和數(shù)列｛可｝,4=6,4=2,求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴/

【分析】（1）根據(jù)題意得到3、1、1成等差數(shù)列，從而得到方程，求出b=（，得到答案;

b2

f1112n+l

（2）根據(jù)題意得到一是等差數(shù)列，設(shè)出公差，由通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公差，從而求出一=y,

4,18

得到的通項(xiàng)公式.

【解析】（1）設(shè)《和1的調(diào)和中項(xiàng)為匕，依題意得：3、1、1成等差數(shù)列,

3b

所以『二三1二？，解得：b=工,

b22

故:和1的調(diào)和中項(xiàng)為y;

3/

（2）依題意，,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

11/八」11/八2〃+1

所以—=一+(〃-1)1=一+一(〃-1)=-----,

加以a”q''69、'18'

5.（2022?上海寶山?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=1,/=3%T+4（〃N2）.

⑴求證：數(shù)歹式4+2｝是等比數(shù)歹小

⑵求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑶寫出￡〃2一的具體展開(kāi)式，并求其值.

/=!

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;

⑵4=3"-2；

⑶長(zhǎng)

【分析】（1）利用構(gòu)造法，得到%+2=3（4-+2）,可證明｛%+2｝是等比數(shù)列；

（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出。“+2=3”,進(jìn)而可求｛/｝的通項(xiàng)公式；

55

（3）直接寫出一的具體展開(kāi)式，根據(jù)見(jiàn)，利用等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式，直接計(jì)算2%一可得答案?

/=!/=!

【解析】（1）a“=3a,i+4（〃N2）,等式兩邊同時(shí)加上2,

得4+2=3（a“_1+2）,又-q=l,q+2=3

則｛《,+2｝為首項(xiàng)是3,公比4=3的等比數(shù)列

（2）由（1）得，｛4+2｝為首項(xiàng)是3,公比4=3的等比數(shù)列，

二.〃〃+2=3〃，故?！?3"-2.

5

+<2+3579

（3）=<2|+<23+<257?9=3+3+3+3+3-2X5

/=1

=止步一10=3x（95一1）7。=豈上

1-9888

6.（2022秋?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）公差不為零的等差數(shù)列｛《,｝滿足

%=4%，4=-2.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記｛《,｝的前”項(xiàng)和為S,,求使5?<an成立的最大正整數(shù)〃.

19

【答案】（1）?！?3〃-5或〃

44

19

（2）當(dāng)/=3〃-5時(shí)，〃=3；當(dāng)時(shí)，幾=17.

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式，代入計(jì)算得到答案.

（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式，考慮兩種情況，代入數(shù)據(jù)得到不等式，解得答案.

【解析】（1）%=生火，B[J-2+14J=（-2+2J）（-2+4J）,解得d=3或d=；.

1Q

故〃“=3〃-5或《丁方

(3n—5-2)-n_3n2—In

(2)當(dāng)4,=3〃-5時(shí)，S?=

22

SS'即寧<3〃一5,解得1<〃<￥，故最大正整數(shù)〃=3；

19

19—n----2卜〃

當(dāng)時(shí),s『44J="上〃

288

1171Q

…,即/一針（嚴(yán)"解得故最大正整數(shù)〃”

綜上所述:

19

當(dāng)?=3〃-5時(shí)，〃=3；當(dāng)鳳丁一1時(shí)，〃=17.

7.（2022秋?上海靜安?高三?？茧A段練習(xí)）已知｛為｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且

a「瓦=a3-b3=b4-a4.

(1)證明:%=a；

⑵求集合卜也=am+q/W4500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析:

(2)9.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為"，根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得機(jī)=2=,即可解出.

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛叫的公差為d,所以，，+._花=8；_（〃+3；）'即可解得，瓦=a=；,所以原

命題得證.

⑵由（1）知，。=4=|■，所以仇=4“+4<=>4x2"T=4+（6-1）"+4，即2"T=2”?,^BPm=2A_2e[l,500],

解得24人410,所以滿足等式的解％=2,3,4,,10,故集合｛幻仇=。,“+4,14機(jī)4500｝中的元素個(gè)數(shù)為

10-2+1=9.

8.（2022秋?上海靜安?高三上海市市西中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列｛《,｝中，5,,為其前〃項(xiàng)和（”《川）.若

6Z2=3,S4=16.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=一—，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

【答案】(1)4=2〃-l(〃€N*)；(2)T=-^—(neN,).

n2n+i

【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程組，可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)；

(2)求得2=:(不二一丁二],再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和.

【解析】解：(1)設(shè)數(shù)列｛”,』的首項(xiàng)為4，公差為d,

[a,=a,+d=3

由題意得；；…

⑸=4“+6”=16

解得｛3,

故數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式=1+25-1)=2〃-1伽€”)；

,、…11(11)

(2)由⑴得不~~o—7-y—Th

2=(2〃-1)(2〃+1)212〃-12〃+1J

即有前”項(xiàng)和小小+…

335572n-l2n+lJ

=-[I------]=---(〃￡“).

212/z+lJ2n+l

9.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足q=l,S“=(；"+，〃(r為常數(shù)).

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=(-D"lg(a“?4+1),求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為T”.

【答案】(1)an=n.(2)7；,=(-l)?lg(n+l).

【分析】⑴令〃=1,解得:f=；,再由4=S“』，即可求出勺，

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，再利用并項(xiàng)求和，即可求解.

【解析】解：(1)令〃=1,￡=q=6+，，可得f=g,所以*=(；〃+￡]〃

〃22時(shí)，S“_I=(n-1),可得a“=g[〃2_(〃T)2]+g="

所以““=〃(n>2),又因?yàn)?=1滿足上式，所以““=〃

（2）因?yàn)?=（-D"lg（aj，）=（T）"（lg%+lg%）

Tn=一（1goi+lgo2）+）g%+lgo3）-）gu+lga4）++（-l）"（lga?+lga?+1）

=（-irig??+1-ig?,=（-irig（n+i）

所以ig（〃+i）

10.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝中，《=1,4=4.

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)勿=log?%,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和S“.

【答案】⑴％=2~；（2）S“=W二

"2

【分析】（1）根據(jù)條件求出q即可；

n

（2）fo?=log22-'=n-l,然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.

【解析】（1）?&=/=4,且4>0,.14=2,

q

.?.a.=M=2”'

,,_|

（2）bn=log22-n-\

「（0+n-l）nrr-n

/.3”=---------------=---------

"22

11.（2014秋.上海徐匯.高三位育中學(xué)校考期中）已知〃eN*數(shù)列｛4｝滿足4=匕盧；數(shù)列｛《,｝滿足

%=4+4+&+-,+&“；數(shù)列也,｝為公比大于1的等比數(shù)列，且打，>4為方程V-20x+64=0的兩個(gè)不相

等的實(shí)根.

（1）求數(shù)列｛%｝和數(shù)列也“｝的通項(xiàng)公式；

（2）將數(shù)列｛2｝中的第q項(xiàng)，第的項(xiàng)，第%項(xiàng)，....第a“項(xiàng)......刪去后剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排

成新數(shù)列匕,｝，求數(shù)列｛g｝的前2013項(xiàng)和.

【答案】⑴4=3"；（2）b,=T-（2）20X8；6

【分析】（1）根據(jù)｛4｝的通項(xiàng)公式計(jì)算得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合

已知可以求出&&的值，最后寫出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)題意可以知道數(shù)列他,｝刪去哪些項(xiàng)，剩下哪些項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列可知：剩下組成新的數(shù)列的奇數(shù)

項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別也是等比數(shù)列，這樣利用分組求和，利用等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式求和即可.

【解析】（1）-：d=3+（T）”,

“2

.,,,,3x2n

..q,=4+d2+d3+---+d2n=—^—=3n.

；九,久為方程》2一20》+64=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，

：,b2+b4=20,仇?2=64,又公比大于1,設(shè)公比為4,所以4>1

2

解得仇=4,勿=16=>q2=4q>\:.q=2,bn=b2-q"=2".

（2）由題意將數(shù)列｛〃,｝中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列｛%｝中的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列與偶數(shù)

項(xiàng)數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別是伉=2,“=4,公比均是8,

（013=（C|+C3+C5+---+C2O|3）+（C2+C4+C6+---+C2O|2）

2X（1-81007）4X（1-81006）20X8I,X,6-6

=----------------H------------------=------------------

1-81-87

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

12.（2014秋.上海徐匯.高三位育中學(xué)校考期中）己知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,%=2,且

an+2=（2+cos〃乃）（q-l）+3,〃eN*.

（1）求數(shù)列（??｝前20項(xiàng)的和4；

（2）求通項(xiàng)公式

（3）設(shè)｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,問(wèn)：是否存在正整數(shù)〃?、n,使得邑“=〃62,1?若存在，請(qǐng)求出所有符合條

件的正整數(shù)對(duì)（，4〃），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

n,〃為奇數(shù)，

【答案】（1）卻+99;（2）%="I；（3）所有的符號(hào)條件的正整數(shù)對(duì)（〃?,〃），有且僅有（3,1）

2x32,〃為偶數(shù).

和(2,2)兩對(duì)，理由見(jiàn)解析.

【分析】(D根據(jù)遞推公式直接代入求出的，%出。各項(xiàng)，再分類求和即可.

(2)對(duì)4+2=(2+cos町)(a,-l)+3,"wM根據(jù)"的奇偶性進(jìn)行分類討論，判斷出數(shù)列的性質(zhì)，最后求出數(shù)

列｛q｝的通項(xiàng)公式.

(3)根據(jù)分組求和法求出邑”的表達(dá)式，然后根據(jù)52”7=52“-’“可以求出邑,1的表達(dá)式，最后根據(jù)題意

52“="邑,1，得到加的表達(dá)式，可以確定，〃的取值范圍，然后根據(jù)加的取值范圍，逐一取正整數(shù)進(jìn)行判斷

即可.

29

【解析】(1)S20=(1+3+5+---19)+(2+2X3+2X3+---+2X3)=31°+99

(2)當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，cos，vr=-l：當(dāng)”是偶數(shù)時(shí)，cos〃;r=l.所以，當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，4+2=4+2；當(dāng)〃是

偶數(shù)時(shí)，%+2=3%.

又4=1,02=2,所以?！?馮，…，。2"-1，…是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；…，%)，…是首項(xiàng)為2,

公比為3的等比數(shù)列.

”,〃為奇數(shù)，

因此，

2x3二〃為偶數(shù).

(3)S2n=(?]+o3+---+a2?_l)+(a2+a4+---+a2?)

=[1+3+…+(2〃-1)]+(2+6+…+2x3"i)

=3"+n2-\,

2

S2?_t=$2“一的“=3"+”2-1-2x3'i=3"T+n-l.

所以，若存在正整數(shù)加、〃,使得52“=，”邑,1，則

S?3"+n2-],2x3"i,2X3"T

m.=—=2——=----------------=1-I-----------<1H-------=3

邑一3"T+〃2-l3n-'+n2-r3"T

22

顯然，當(dāng)，”=1時(shí)，S2n=3"+n-1751x(3"-'+?-1)=S2n_t.

當(dāng)%=2時(shí),由52“=2邑,1，整理得3"T=〃2-1.顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，3'-'=1^0=12-1;當(dāng)〃=2時(shí)，

32T=3=22-1,

所以（2,2）是符合條件的一個(gè)解.

當(dāng)〃23時(shí)，3"'=（1+2）a=1+CLx2+C3x22+…

22

>l+2C,',,l+4Ct1=2n-l>n-l.

當(dāng)〃?=3時(shí)，由邑,,=352,1，整理得〃=1，所以（3,1）是符合條件的另一個(gè)解.

綜上所述，所有的符號(hào)條件的正整數(shù)對(duì)（加,〃），有且僅有（3,1）和（2,2）兩對(duì).

【點(diǎn)睛】本題考查了分組求數(shù)列的和，考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，考查了分類討論思想，考

查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

13.（2015秋?上海長(zhǎng)寧?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，公差""0,4r0,（〃€^）,且

2N

akx+24+］X+=°（%6,）

（1）求證：當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，此方程有公共根；

（2）若方程不同的根依次為4,%，…，x“，…，求證：數(shù)列為等差數(shù)列.

【答案】（D見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）依題意，2ak+i=ak+aM,于是原方程可轉(zhuǎn)化為（ax+a-）（x+D=。，從而

可證結(jié)論；（2）原方程另一根為x“，利用韋達(dá)定理，可求得怎=-1-跑，然后可得甘一=-黑；根據(jù)

4tI十xn乙a

等差數(shù)列的定義，證明即可.

試題解析：（1）,｛《,｝是等差數(shù)列，，24+|=4+4+2，；?+24+|X+%2=0,；（&/+4+2）（x+D=0,

.?.當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，原方程有一個(gè)公共根-1.

（2）原方程另一根為當(dāng)，則-4=-=幺必=1+3，

44at

.r_I2d2d1_ak.11_ak+iak,_ak-ak+l_-d_1

9

.〃ak"ak\+xn2d'1+七用\+xn2d2d2d2d2

.??數(shù)列［］）一］是以為公差的等差數(shù)列.

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式.

14.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記S“，為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知S,=￡+/+l,neN\

⑴求q+生，并證明出+.｝是等差數(shù)列;

(2)求S“.

【答案】（1）q+%=6,證明見(jiàn)解析

_1/+&當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)

（）"/+〃+2,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)

【分析】⑴利用4,與前〃項(xiàng)和5“的關(guān)系，由S“吟+"+1可得4,%的值，即可求得4+%的值；根據(jù)

相減法求得（4川+4-2）-（4,+。向）為常數(shù)，證明其為等差數(shù)列；

（2）由（1）中數(shù)列｛q+。向｝為等差數(shù)列，對(duì)〃進(jìn)行奇偶討論，即可求得S“.

【解析】⑴解：已知5“=會(huì)+1+1,〃eN*

當(dāng)〃=1時(shí)，at=-y+2,4=4；當(dāng)”=2時(shí)，4+42=/+5,%=2,所以。1+%=6.

因?yàn)镾”吟+1+1①，所以5,用=智+（〃+1）2+應(yīng)

②一①得,。,用=智-號(hào)+（,+1）2-〃2,整理得%+j=4〃+2,?eN\

所以+a”+2）-（a”+。“+|）=[4（〃+1）+2]-（4及+2）=4（常數(shù)），neN,,

所以｛q+4+J是首項(xiàng)為6,公差為4的等差數(shù)列.

+

(2)解：由(1)知，cin_x+an=4(/z—1)+2=4n—2,neN,n>2.

vj

-(6+4/1-2)2

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),5”=(4+/)+(4+%)++(?,.-(+?,.)=2----4--------=n+n'

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，SL4+3+6m+%)++(……此4I)=〃"+2.

“2+〃，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)

綜上所述,

〃2+〃+2,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)

15.（2022春.上海閔行.高三閔行中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛〃“｝,%=1，伍"｝的前”項(xiàng)和為S”.

（1）若｛4｝為等差數(shù)列，57=21,求公差d的值及通項(xiàng)句的表達(dá)式；

（2）若｛《｝為等比數(shù)列，公比”0,且對(duì)任意〃eN*,均滿足S,,<9,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

q

【答案］(l)d=2,4=2〃_5,〃€N*

C、r3-G3+A/31

6，6

【分析】（1）由題意列出方程組解得4/,即可得解；

（2）由題意見(jiàn)=廣3,數(shù)列｛5,,｝為遞增數(shù)列，對(duì)任意“eN"均滿足只需場(chǎng)言解

不等式即可.

%=q+2d=1

4=-3

【解析】（1）由題意得。r7x6J?，解得

S7=7a｝+-^-d=21d=2

所以d=2,〃〃=2〃-5,〃wN'.

（2）因?yàn)楣揉l(xiāng)>0,%=1，所以4=/-3,〃￡N*,故數(shù)列｛S.｝為遞增數(shù)列.

均滿足2,只需場(chǎng)巴=言4=小豕5=容廠以解得

對(duì)任意/ZEN'

0<^<1

3-回v3+V3

十q，6

綜上，實(shí)數(shù)q的取值范圍是p鏟,，叵］.

16.（2021秋?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)的和為S,,,且

2

2Sn=s-atl+t-n-n.

⑴當(dāng)s=3,f=。時(shí)，求證數(shù)列1%+:1為等比數(shù)列，并求｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)$=0/=3時(shí),不等式。,川+一之之對(duì)于任意n>2,neN*都成立，求A,的取值范圍.

%

【答案】⑴a,,=gx3"-g

【分析】（1）退〃相減，得出遞推式，再用構(gòu)造法證明，最后求通項(xiàng)公式

（2）恒成立問(wèn)題，通過(guò)分離〃與幾轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解

【解析】（1）當(dāng)5=3/=0時(shí),25,,=3?！?〃

當(dāng)〃=1,2S]=3q-1，則4=1

2s“=3%-〃

當(dāng)〃22,

2S,i=3a,i-("-l)

兩式相減得24=3%-3%-—1,即a“=3a,-+1

所以4+g=3(a,i+；

13

4+二

2

所以］見(jiàn)+；］是首項(xiàng)為|■，公比為3的等比數(shù)列

所以1所3以4=于13"最1

(2)當(dāng)s=0,r=3時(shí),2S“=31-”,即邑=尹—(〃

當(dāng)”22時(shí),4,=S“-S"_|=3"-2>1

由+4*/I,得a?+la?+A>利,,即A<也］對(duì)于任意n>2,neN-都成立數(shù)*=⑶二2）（3：+1），令

t=3n—3>3

則空但=（-）=3+5

'a“Ttt

4

因?yàn)閥=f+—在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+00）上單調(diào)遞增

t

所以當(dāng)r=3時(shí),“+：+5］=今所以人學(xué)

XZ/minJ3

17.（2022秋?上海黃浦?高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知數(shù)列｛4｝,｛b?｝,匕,｝滿足4=伉=。=1,

e

%=an，Cz=}c”5N*).

"〃+2

⑴若｛"｝為等比數(shù)列，公比4>o,且2+。=8,求q的值及數(shù)列佃“｝的通項(xiàng)公式;

（2）若｛"｝為等差數(shù)歹I」,公差d=1,求和：q+Q++%.

【答案】⑴夕=g,??4"-'+2

3

小2〃

⑵而

【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程求得4,然后根據(jù)累加法即可得到數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）由題意可得數(shù)列也配￡,｝是一個(gè)常數(shù)列，然后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求得G+Cz++%的值.

【解析】⑴由題意可得，a=4也=",因?yàn)橐?偽=64，所以1+4=6八

整理得6q2-q-l=0,解得q=-g(舍)，或4=g

b111

所以“廣不n￡二屋《'=7￡=不《'=乜

“、I2J

所以數(shù)列｛qj是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以%=1.4"T=4"T,〃WN，

所以=%=4"T

則q=1,

4-4=1,

%~a2=4,

。「凡T=4〃-2(n>2),

1—4"一14?-i.9

各式相加，可得〃=1+1+4+4~+K+4〃*=------F1=------,

1-43

當(dāng)”=1時(shí)，4=1也符合該式，故q=土產(chǎn).

(2)依題意,由*=/-c“(〃eN*),可得b“,2.c?tl=b?-c?,

q+2

兩邊同時(shí)乘%,可得2也2%=她+￡

因?yàn)楣?仿=力2=1+〃=1+1=2

所以數(shù)列抄出.￡,｝是一個(gè)常數(shù)列，且此常數(shù)列為l+d=2

則2也向g=2,且｛2｝為等差數(shù)列，公差d=l,4=1,即a="

又因?yàn)?=l,d=l>0,所以仇>0

所以q+c?+…+%

18.（2006?上海?高考真題）設(shè)數(shù)列｛4｝的前，7項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意正整數(shù)小??+5?=4096.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)歹U｛kgan｝的前〃項(xiàng)和為T?,對(duì)數(shù)列但｝，從第幾項(xiàng)起T?<-509?

【答案】-r

（2）46.

【分析】（1）利用當(dāng)”22,5“-，1=?！暗玫?。”=；令1，即數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，然后求通項(xiàng)即可；

（2）由（1）得log?4=12-〃，然后利用等差數(shù)列求和公式得到7；=空業(yè)，最后利用二次函數(shù)單調(diào)性

2

和特殊值的思路求解即可.

【解析】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，4+3=24=4096,解得q=2048,

當(dāng)〃22時(shí)，由4+S.=4096得%+Si=4096,兩式相減可得24-%=0,即可=1“1,所以數(shù)列｛q｝為

等比數(shù)列，公比為所以q,=2048x

/八，/?、,icll…（11+12-（23-n）n

（2）由（1）得log2a“=12-〃，所以（=1--------------L=1,

當(dāng)〃W23時(shí)，T?>0,

23x45

令/（〃）=%也，則f（〃）在（23,—）上單調(diào)遞減，X/（45）=（~^）=_495>-509,

/（46）=（23-：）X46=_529<_509,

所以當(dāng)〃246時(shí)，/（〃）<—509,即從第46項(xiàng)起（,<-509.

19.（2022秋?上海虹口?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且％=10.

⑴若%=590,求｛%｝的公差;

（2）若“eZ,且凡是數(shù)列｛S,J中最大的項(xiàng)，求《所有可能的值.

【答案】（1）3

（2）18,19,20

【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得｛《,｝的公差.

（2）根據(jù)數(shù)列｛S,,｝中的最大項(xiàng)列不等式，從而求得q的所有可能取值.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d，則

a=4+3d=10

4，解得d=3.

S20=204+1901=590

（2）由（1）得（=q+3d=]0,d="3%'

由于邑是數(shù)列⑸｝中最大的項(xiàng)，〃=與4<0此>10①,

<77>04+6f/>0

所以

/4°4+7d?0

q+6x-—―=20-t/j>0

即，3

r10-a70-4j八

a.+7x----L=------L<o

I133

解得，35420,由于《是整數(shù)，所以％的可能取值是18,19,2（）.

20.（2022秋?上海嘉定?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和5“="2-〃+C,

（1）若｛%｝為等差數(shù)列，求公差、首項(xiàng)、c的值;

（2）在（1）的條件下，求數(shù)列的前”項(xiàng)和H”.

【答案】（1）公差為2,首先為0,c=0

〃+1

[S,,n=｝.

【分析】（1）由題意，根據(jù)公式?！?\,結(jié)合等差數(shù)列的相關(guān)定義，可得答案;

（2）由（1）可知，S用表達(dá)式，根據(jù)裂項(xiàng)相消，可得答案.

2

【解析】(1)由題意，Sn=n-n+c,當(dāng)〃=1時(shí)，4=E=l-l+c=c,

當(dāng)〃22時(shí)，S“_[=(n-l)2-(n-l)4-c,

則an=_5〃_]="21)~-(/?-l)+cj=2n-2,n>2,

由4+i-?！?2(〃+1)-2-(2〃-2)=2，則%-4[=2-。=2,解得c=0,

故等差數(shù)列｛4｝，公差為2,首項(xiàng)為。，c=0.

(2)由(1)可知，S〃=〃2一八,s〃+[=(〃+1)2一(〃+1)=〃(〃+1),

1111

==-------

S“+i------+n〃+1'

11111,1n

Hrr=1---1------bT--------=1-----=----.

n223nn+ln4-1n4-1

21.(2022秋?上海寶山?高三上海交大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知+.

⑴等比數(shù)列也｝的首項(xiàng)4=4,公比4=%,求￡>的值；

i=l

(2)等差數(shù)列｛%｝首項(xiàng)公差d=4,求｛g｝通項(xiàng)公式和它的前2022項(xiàng)和邑必.

【答案】(<￡>=焉;

r=I3乙

(2)c”="H—,^20222046264.

【分析】（1）求出囚、出的值，再利用等比數(shù)列的求和公式以及數(shù)列的極限可求得結(jié)果;

（2）求出q、d的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得q,,利用等差數(shù)列的求和公式可求得Szg的值.

(1)

；+xj的展開(kāi)式通項(xiàng)為兀產(chǎn)（246,%wN*）,則對(duì)=C：］；『,

解:

13

所以，=6x—=—,q=q=C>|則。<”1,

3

叱2—v々(J/')々元3

"I-i-q\-q|_J232

-16

(2)

13i

=6x=1

解：c｝=a54”=%=1，貝！|c“=q+("_l)(/="+],

所以，S2O22=2022c,+2022X；021"=2Q22x|+10)?x2Q21=2046264.

22.(2022秋?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習(xí))記S.為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知5.=2a?-at,

且。尸0.

(1)證明：｛4｝是等比數(shù)列；

(2)若也｝是等差數(shù)列，且白=4,a+勿=18可，求集合樹(shù)6=勿+3配14機(jī)4200｝中元素的個(gè)數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)8.

【分析】(1)利用求得a“=2%i，結(jié)合已知及等比數(shù)列定義即可證結(jié)論；

(2)由(1)有4=22”,根據(jù)已知可得『=(4〃-3)4,再由集合的描述可得2*T=/W[1,200]且KmwN*,

進(jìn)而判斷對(duì)應(yīng)人的個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果.

【解析】(1)當(dāng)”22,則S“_|=2a“T-4，而S“=2a“-q,可得a“=2(4-4馬)，

所以q=2a“T，又。尸0,

所以｛4｝是首項(xiàng)為外，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(I)知：a“=2"T%,令也｝的公差為d,則4+仇=2々+44=2弓+44=18q,

所以d=4q,故2=々+("-l)d=(4--3)q,

所以4=hm+3bl=(4m-3)q+3al=4mat,故2*-q=4/nq,qH0,

所以2"3=me[1,200]且k,meN*,則34&<3+log2200,

又7<1嗚200<8,故3"vll,共有8個(gè)％值,

所以集合kk=d,+34，14，K200｝中元素的個(gè)數(shù)為8.

23.(2023春?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知公差d不為0的等差數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)

和為S“，％=6,y-=1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列=2%,cn=an+b?,求數(shù)列｛c“｝的前”項(xiàng)和善.

【答案】⑴=2〃；

c、，4向4

(2)n~+n+----.

33

【分析】(1)由S9=3號(hào),應(yīng)用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和、等差中項(xiàng)公式得見(jiàn)=10,結(jié)合已知求基本量，進(jìn)而寫

出｛4“｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(I)得%=2〃+4",應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差等比前〃項(xiàng)和公式求力,.

【解析】(1)由題設(shè)$9=355,則我3=3x34受，即3%=5a3=30,

所以“5=10,而“3=6,易得d=2,則4=2,

故%=q+5-1)3=2”.

(2)由(1)知：b?=22n=4",則6=2〃+4",

所以7；=2(1+2+…+”)+(4'+42+...+4")=2*"(，詈+4；-：，')=“2+〃+?_*

24.(2022.上海普陀.統(tǒng)考二模)設(shè)5“是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)的和，且邑=3,4=4,neN,.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)在數(shù)列｛4｝的任意4與見(jiàn)八項(xiàng)之間，都插入火(我N")個(gè)相同的數(shù)(-1)廉，組成數(shù)列也｝,記數(shù)列｛〃｝的

前”項(xiàng)的和為求Z?o的值.

【答案】⑴氏=2"、weN"

(2)8152

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4>0，由已知建立方程組求解可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛"｝中在4T之前共有人+(1+2+3++幻=日產(chǎn)項(xiàng)，再分組，分別利用等差、等比求和公式可

求得答案.

(1)解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9>0,則解得4=1,夕=2則等比數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

為%=2"T,"eN*.

(2)解：數(shù)列他｝中在4M之前共有人(1+2+3++幻=號(hào)攵項(xiàng)，當(dāng)女=12時(shí)，

三絲=90<100,當(dāng)左=13時(shí)，史超=104>100,則

22

2222222

7]00=(1+2+2++2')+(-1+2-3+4-+12)-13x9

1_,13

=----+(1+2+3+4++12)-117=2"-40=8152.則所求的數(shù)歹ij｛"｝的前100項(xiàng)和為8152.

1—2

25.(2022?上海閔行?統(tǒng)考二模)已知｛《,｝是公差為d的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S,M，%,%%的平均值為明

%,處,生，小的平均值為12.

2

(1)求證：Sn=n；

(2)是否存在實(shí)數(shù)f,使得-T<1對(duì)任意“eN,恒成立，若存在，求出r的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

a”

理由.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)由等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公差為2,首項(xiàng)為1,從而得到前n項(xiàng)和：

a99

(2)假設(shè)存在f,使3T<1對(duì)任意〃eN*恒成立，變形為二?</<三三+2對(duì)任意?恒成立，結(jié)

an2n-l2n-l

2

合當(dāng)〃eN*時(shí)，0<-^-<2,求出f>2且仁2,因此符合題意得f不存在.

2n-l

【解析】(1)由題意得：4+。2甘+。4=4"=8,解得：1=2,

44

由4+。2+。3+。4=4。I+64=16,解得：4=1,

g、rCn(n-\L),22

所以S“=na.i+--2--d=n+n~-n=n~；

(2)假設(shè)存在，，使-一<1對(duì)任意恒成立，

an

12)_

則-let-1+—<1對(duì)任意〃eN*恒成立，

IaJ

27

BP——<r<-一；+2對(duì)任意“eN*恒成立，

2〃-12n-l

2

當(dāng)”eN*時(shí)，0<-~~-<2,

2n-l

所以f>2且f42,因此符合題意得f不存在，證畢.

26.(2023?上海?高三專題練習(xí))在數(shù)列｛q｝中，4=5,。e=3勺-4〃+2,其中〃eN*.

⑴設(shè)"=q-2〃，證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

⑵記數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,,試比較S“與+2022的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析：

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】(1)由已知得”“="+2〃，代入給定等式并變形，再利用等比數(shù)列定義判斷作答.

(2)利用分組求和法求出S“，作S”與/+2022的差，構(gòu)造新數(shù)列并判斷其單調(diào)性即可推理作答.

【解析】(1)neN*?由5="”-2”得：a?=bn+In,而/=3〃“-4〃+2,

則%+25+1)=3(。+2”)-4〃+2,整理得%=3%而4=q-2=3,

所以數(shù)列｛〃,｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)知，d=3x3"T=3",于是得見(jiàn)=3"+2〃，c3(l-3")+2+2nn=3^+w2+/?_3,

"1-3222

+n+1

RIL。z2“cc、3"'232“cc3+2n-4047

因止匕，S—+2022)=----Fn~+n----n~—2022=--------------,

〃