007-小波分析(第二講)-多分辨率分析與正交小波變換

多分辨率分析與正交離散小波變換北京科技大學(xué)陽建宏2023/12/11連續(xù)小波與離散小波多分辨率分析與離散正交小波主要內(nèi)容連續(xù)小波變換(CWT)：尺度a及時(shí)間τ的取值連續(xù)變化計(jì)算量很大不丟失原信號(hào)的信息減小計(jì)算量對尺度因子和平移因子進(jìn)行適當(dāng)?shù)碾x散連續(xù)的時(shí)間-位移相平面變成離散的點(diǎn)連續(xù)小波變換的不足小波母函數(shù)光滑性好對稱性好緊支性好連續(xù)小波離散小波二進(jìn)小波只對尺度離散

位移仍然連續(xù)尺度和位移都離散非正交離散小波正交離散小波小波基函數(shù)非正交小波基函數(shù)正交離散小波變換計(jì)算量相對非正交小波更小小波變換系數(shù)無冗余框架

設(shè)H為希爾伯特空間，為H中的一個(gè)函數(shù)序列，若對于任意，存在，使得下述不等式成立：則稱為一個(gè)框架，A、B分別為框架的上下界緊框架

若，則稱此框架為一緊框架，若，并且，則此時(shí)構(gòu)成一組正交基框架與信號(hào)的分解、重構(gòu)密切相關(guān)可以簡單理解為：一組基，正交的或非正交的120°120°緊框架非正交緊框架正交小波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)---框架將“框架”具體應(yīng)用到小波領(lǐng)域構(gòu)成“小波框架”

基本小波經(jīng)伸縮和平移引出的函數(shù)族，滿足，則稱為小波框架小波進(jìn)行重構(gòu)的基本條件小波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)---框架離散小波變換的逆變換連續(xù)小波變換的逆變換不是所有的小波基函數(shù)經(jīng)任意的離散方式后都能保證可以由小波變換系數(shù)重構(gòu)回原函數(shù)逆變換的條件當(dāng)小波基函數(shù)滿足此不等式時(shí)，小波系數(shù)可重構(gòu)回原函數(shù)，此時(shí)稱為小波框架只要滿足“可容許條件”，即可進(jìn)行逆變換滿足了框架條件必然滿足了可容許條件信號(hào)的重構(gòu)---如何進(jìn)行離散小波逆變換？若離散小波序列構(gòu)成一個(gè)框架，其上、下界分別為A和B，則當(dāng)A=B時(shí)(緊框架)，由框架概念可知離散小波變換的逆變換為當(dāng)A≠B，而A、B比較接近時(shí)，重建公式近似為A與B愈接近，重建誤差就愈小信號(hào)的重構(gòu)---如何進(jìn)行離散小波逆變換？用基底表示函數(shù)的展開回顧三維矢量空間R3中，任何一個(gè)非零矢量M可表示為將此概念推廣到泛函分析中

框架、Riesz基、正交基如果基底滿足

此時(shí)基底為標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基，此時(shí)有：

這時(shí)才有Parseval等式不為正交基，不相等，其它關(guān)系？框架、Riesz基、正交基框架、緊框架

A、B為正常數(shù)，稱為H中的一個(gè)框架若A=B，稱為緊框架，此時(shí)，轉(zhuǎn)換前后能量固定為一放大倍數(shù)若A=B=1，則為正交基，即為Parseval等式無冗余框架

H中的框架，如果去掉其中任一元素不再構(gòu)成框架，則為無冗余框架，即為Riesz基正交基雖然優(yōu)越，但有時(shí)難以得到，且對誤差敏感，現(xiàn)實(shí)中常用Riesz基，例如二維平面中任意不平行的二個(gè)向量構(gòu)成Riesz基，垂直則為正交基

框架、Riesz基、正交基定義令H是Hilbert空間，H中的一個(gè)序列{gj}jZ是Riesz基，如果它滿足以下的條件：規(guī)范正交基是A=B=1的Riesz基對于Riesz基，計(jì)算是數(shù)值穩(wěn)定的

Riesz基是僅次于一個(gè)正交基的最好的基Riesz基框架、Riesz基、正交基三者的關(guān)系

H空間框架Riesz基正交基框架、Riesz基、正交基需要說明的幾個(gè)問題

1、

2、n維歐氏空間中任何n個(gè)線性無關(guān)的向量都可以成為一組基，也可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正交基3、在H中，Riesz基就相當(dāng)于基4、無冗余的緊框架一定為正交基不為框架不能表示，如平面中的一個(gè)向量不是框架框架、Riesz基、正交基小波框架小波母函數(shù)，經(jīng)過平移和伸縮后構(gòu)成一系列小波函數(shù)，實(shí)際中都要將平移和伸縮因子離散化。

顯然，當(dāng)離散相差很近時(shí)，分解存在極大冗余（但帶來的好處是顯微鏡特點(diǎn)和相似性檢測能力），此時(shí)就不再屬于傳統(tǒng)的正交分解，而涉及到框架。定量描述上述冗余性和相關(guān)性——再生核（重建核）

小波分析中的框架小波變換前后能量變化（穩(wěn)定性）尺度和位移離散化后，若使則此時(shí)構(gòu)成小波框架，這是穩(wěn)定性前提。若前后能量相等，即A=B=1,則為標(biāo)準(zhǔn)離散正交小波基

A、B相差很大，則為非緊框架，反變換不能直接應(yīng)用

A、B比較接近，則為幾乎緊框架，實(shí)際中常用120°120°平面空間中的三個(gè)互成120度的基構(gòu)成二維空間中的緊框架證明小波分析中的框架

對平面中的任意向量都有：

即A=B=3/2120°120°xy小波分析中的框架多分辨率分析方法(MRA)可以構(gòu)造出正交的小波母函數(shù)在MRA出現(xiàn)之前人們已經(jīng)構(gòu)造出了幾種正交小波CWTDWT尺度位移離散化冗余ψm,n構(gòu)成一個(gè)框架ψm,n構(gòu)成一個(gè)正交基non-orthogonalDWTorthogonalDWT冗余無冗余小波變換Haar小波構(gòu)成了L2(R)上的完備正交基時(shí)域上不連續(xù)頻域上局部性差常應(yīng)用于理論研究中Haar小波Littlewood小波構(gòu)成了L2(R)上的完備正交基時(shí)域上局部性差頻域上局部性好Littlewood-Paley能否構(gòu)造一個(gè)時(shí)、頻域都具有好的局部性的小波基？Meyer小波Meyer小波在多分辨率理論出現(xiàn)以前，還構(gòu)造出了其他的正交小波Strombery小波Battle-Lemarie小波1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架統(tǒng)一了在此之前的小波構(gòu)造提供了構(gòu)造新的小波基方便的工具Battle-Lemarie其他正交小波連續(xù)小波離散小波的關(guān)鍵問題：離散的方式尺度因子、平移因子離散后構(gòu)成框架、Reisz基或正交基信號(hào)的重構(gòu)母小波的構(gòu)造小結(jié)連續(xù)小波與離散小波多分辨率分析與離散正交小波主要內(nèi)容把尺度理解為照相機(jī)的鏡頭，當(dāng)尺度由小到大變化時(shí)，相當(dāng)于將鏡頭由近及遠(yuǎn)地遠(yuǎn)離目標(biāo)。在小尺度空間里，可觀測到目標(biāo)的細(xì)微部分；在大尺度空間里，可觀測到目標(biāo)大致的概貌。多分辨率分析是指滿足下述性質(zhì)的一系列閉子空間一致單調(diào)性漸近完全性伸縮規(guī)則性平移不變性正交基存在性

ψ

V0

使得{ψ(t

n):n

Z}是V0的

正交基。可放寬為Reisz基，因?yàn)橛蒖eisz基可構(gòu)造出一組正交基來多分辨率分析的定義

V3

V2

V1

V0

V

1

V

2

V

3一致單調(diào)性不同尺度的分辨率denseinL2

(R)漸進(jìn)完全性與伸縮規(guī)則性Ψ(x-k)如果{g(t-k)}kZ是V0的Riesz基，可通過正交化得到V0空間的函數(shù)

(t)V0，使得{

(t-k)}kZ

構(gòu)成V0空間的規(guī)范正交基。由伸縮性和平移不變性可知，{

j,k(t)}j,kZ構(gòu)成Vj空間的一個(gè)規(guī)范正交基多分辨率分析的一系列尺度空間是由同一尺度函數(shù)在不同尺度下張成的，也即一個(gè)多分辨率分析{Vj}jZ對應(yīng)一個(gè)尺度函數(shù)由于空間{Vj}jZ相互包含，不具有正交性，因此他們的基在不同尺度間不具有正交性，也即{

j,k(t)}j,kZ不能作為L2(R)空間的正交基尺度函數(shù)尺度函數(shù)為了尋找一組L2(R)空間的正交基，我們定義{Vj}jZ的補(bǔ)空間如下：小波空間

V2

V1

V0小波空間小波空間尺度函數(shù)小波函數(shù)函數(shù)向尺度空間投影函數(shù)向小波空間投影離散正交小波變換與多分辨率分析的思想是一致的信號(hào)的多分辨率分析

V0一個(gè)MRA的例子

V0

V1一個(gè)MRA的例子

V0

V1

W

1一個(gè)MRA的例子

V0

V1

W

1

V2一個(gè)MRA的例子

V0

V1

W

1

V2

W

2一個(gè)MRA的例子與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣，若存在

(t)W0，使得{(t-k)}kZ構(gòu)成空間W0的一個(gè)規(guī)范正交基，則構(gòu)成L2(R)空間的一個(gè)規(guī)范正交基。稱為小波基，

(t)稱為母小波。MRA非常抽象，但是它給出了構(gòu)造小波的一般框架。在實(shí)踐中很難通過小波空間直接構(gòu)造小波，但通過MRA可推導(dǎo)出一個(gè)非常重要的關(guān)系：雙尺度方程，通過求解該方程，使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù)。小波函數(shù)由前面的分析，我們知道雙尺度方程尺度函數(shù)小波函數(shù)雙尺度關(guān)系存在于任意相鄰兩尺度之間展開系數(shù)不隨尺度的變化而變化雙尺度方程由

(t)的正交性可得：對雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的雙尺度方程：雙尺度方程頻域雙尺度方程雙尺度方程尺度函數(shù)

(t)描述的是信號(hào)的近似部分，小波函數(shù)(t)描述的是信號(hào)的細(xì)節(jié)部分頻域雙尺度方程從信號(hào)處理的角度，h0是與

(t)對應(yīng)的低通濾波器，h1j是與(t)對應(yīng)的高通濾波器{h0，h1}既可以表示為時(shí)域上的離散序列形式{h0(k)，h1(k)}kZ，也可以表示為頻域上的2周期函數(shù){H0

()，H1()}。兩者本質(zhì)上是一樣的濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)的性質(zhì)多分辨率分析(MRA)的概念由母小波按如下方式的伸縮平移可構(gòu)成L2(R)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基如何構(gòu)造母小波呢？先構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的層層嵌套的閉子空間序列{Vj}jZ，這個(gè)閉子空間序列充滿了整個(gè)L2(R)空間在V0子空間找一個(gè)函數(shù)g(t)，其平移{g(t-k)}kZ構(gòu)成V0子空間的Riesz基對函數(shù)g(t)進(jìn)行正交化，得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù)

(t)由(t)計(jì)算出小波函數(shù)(t)多分辨率分析的基本思想由正交尺度函數(shù)構(gòu)造正交小波基的具體步驟多分辨率分析的基本思想二尺度方程描述了相鄰二尺度空間基函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而可以推導(dǎo)出相鄰二尺度間小波系數(shù)和尺度系數(shù)之間的關(guān)系離散小波變換的分解公式尺度系數(shù)小波系數(shù)

由j+1尺度的尺度系數(shù)可以很快計(jì)算出j尺度空間的尺度系數(shù)和小波系數(shù){cj,k,dj,k}，即著名的Mallat算法（j尺度空間的系數(shù)無需從原始信號(hào)開始計(jì)算）常用待分析信號(hào)作為初始的cj+1,k系數(shù)分解的快速算法對分解公式的證明分解重構(gòu)重構(gòu)方程小波分解和重構(gòu)的示意圖f4610128655f利用Haar小波，進(jìn)行小波分解，對應(yīng)的濾波器系數(shù)信號(hào)的小波分解實(shí)例f信號(hào)的近似部分（取平均）信號(hào)的細(xì)節(jié)部分（取差值）4610128655f信號(hào)的細(xì)節(jié)部分和近似部分46101286554610128655fa1fd1近似系數(shù)細(xì)節(jié)系數(shù)小波分解細(xì)節(jié)部分近似部分46101286554610128655ffa1d1f小波分解細(xì)節(jié)部分近似部分46101286554610128655ffa1d1f能量較小小波分解4610128655ffThedetailThescale-downversion對近似信號(hào)進(jìn)行同樣的步驟小波分解4610128655ff1612

62小波分解4610128655ff1612

62

62小波分解46101286554610128655f=a0fa1d1近似部分細(xì)節(jié)部分信號(hào)的小波重構(gòu)f=a04610128655a1d1近似部分細(xì)節(jié)部分信號(hào)的小波重構(gòu)f

62

621612f=a04610128655信號(hào)的小波重構(gòu)目的：在同等通信容量下，圖像經(jīng)壓縮后再傳遞，可以增加通信能力，實(shí)現(xiàn)快速傳輸和存儲(chǔ)分類：根據(jù)解壓縮后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)是否完