第十一章反常積分

PAGEPAGE10第十一章反常積分一、單選題（每題2分）1、廣義積分=（）A、B、C、D、發(fā)散2、廣義積分=（）A、B、C、D、發(fā)散3、廣義積分=（）A、B、C、D、發(fā)散4、下列廣義積分收斂的是（）A、B、C、D、5、下列廣義積分發(fā)散的是（）A、B、C、D、6、下列積分中（）是收斂的A、B、C、D、7、下列廣義積分發(fā)散的是（）A、B、C、D、8、（）A、B、C、D、9、已知，則（）A、B、C、D、10、廣義積分（）A、B、C、D、11、下列積分中絕對(duì)收斂的是（）A、B、C、D、12、已知廣義積分，則下列答案中正確的是（）A、因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù)，所以B、=C、=D、發(fā)散13、設(shè)廣義積分收斂，則（）A、B、C、D、答案：BCDCBDAABDADB二、判斷題（每題2分）當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分條件收斂；（）2、當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分絕對(duì)收斂；（）3、若無(wú)窮積分收斂，而函數(shù)在單調(diào)有界，則無(wú)窮積分收斂；（）4、若收斂，則；（）5、若在無(wú)界，則發(fā)散；（）6、若不存在，則發(fā)散；（）7、若單調(diào)，收斂，則；（）8、若收斂，則收斂；（）9、若，收斂，則收斂；（）10、如果收斂，在上有界，則收斂；（）11、若收斂，，則收斂；（）12、如果絕對(duì)收斂，，則收斂；（）答案：×××××××三、填空題（每題2分）1、若無(wú)窮積分收斂，則；2、若無(wú)窮積分收斂，則時(shí)，無(wú)窮積分；3、設(shè)，函數(shù)，是其瑕點(diǎn)，且極限，若，則瑕積分；4、設(shè)，函數(shù)，，且極限，若，則無(wú)窮積分；5、若收斂，則無(wú)窮積分；6、當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分；7、當(dāng)時(shí)，瑕積分；8、若收斂，且存在極限，則；9、；；10、設(shè)，則常數(shù)；11、如果廣義積分收斂，則；12、如果廣義積分發(fā)散，則；答案：1、2、收斂3、發(fā)散4、收斂5、絕對(duì)收斂6、絕對(duì)收斂7、發(fā)散8、9、；10、11、12、四、計(jì)算題（每題5分）1、解：==2、解：設(shè)，則，有=3、解：==4、解：=5、解：===6、解：因?yàn)樗?=7、解：由得=8、解：時(shí)，時(shí)，=故當(dāng)時(shí)，=時(shí)，發(fā)散；9、解：====由此求得10、解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，=則五、證明題（每題5分）證明證：令，則=則有證明收斂，且證：==又，而收斂，所以收斂收斂而證明：若在上連續(xù)，且收斂，則對(duì)任何，有證：由條件，都存在；再由連續(xù)可得4、 設(shè)收斂，證明：（1）若極限存在，則（2）若在上為單調(diào)函數(shù)，則證：（1）設(shè)。若，則由極限保號(hào)性，，當(dāng)時(shí)滿足于是有而這與收斂相矛盾，故。（2）若在上單調(diào)而無(wú)界（設(shè)為遞增而無(wú)上界），則，，當(dāng)時(shí)，使。類似于（1）的證明，推知，矛盾。所以在上單調(diào)而有界，則存在極限。依據(jù)已證得的命題（1），5、證明：若收斂，且在上一致連續(xù)，則必有。證：由在上一致連續(xù)，則（設(shè)），當(dāng)且時(shí)，總有，又因收斂，故對(duì)上述，，當(dāng)時(shí)，有現(xiàn)對(duì)任何，取，且使。此時(shí)有便有，這就證得6、證明：若絕對(duì)收斂，存在，則必定絕對(duì)收斂又若把該為條件收斂，試舉出反例說(shuō)明不一定收斂。證：由可知當(dāng)充分大時(shí)有從而又有再由收斂，根據(jù)比較法則便證得收斂。例如對(duì)于條件收斂的=和得到=由于收斂。而顯然是發(fā)散的，所以也是發(fā)散的無(wú)窮積分。7、證明當(dāng)時(shí)，和是等價(jià)無(wú)窮小量。證：，又因，所以收斂，又收斂定義又知這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，它們是無(wú)窮小量；下面再來(lái)證明它們是等價(jià)無(wú)窮小量故結(jié)論成立。8、證明：若收斂，則也必收斂.證：由于=，，而收斂，在上單調(diào)有界，故由判別法證得收斂.9、證明：若收斂，為單調(diào)函數(shù)，則.證：不妨設(shè)單調(diào)減少。先證當(dāng)時(shí)，。否則點(diǎn)，使，而時(shí)，，從而得出發(fā)散，與收斂矛盾，故為非負(fù)的單調(diào)函數(shù).由收斂，則，使得當(dāng)時(shí)，恒有