昌都市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

昌都市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為BB、CC的中點(diǎn),那么異面直線AE與DF所成角的余弦值為A. B.C. D.2．4×100米接力賽是田徑運(yùn)動(dòng)中的集體項(xiàng)目.一根小小的木棒，要四個(gè)人共同打造一個(gè)信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)4×100米接力賽，教練組根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，A.p1pC.1-p13．設(shè)a為實(shí)數(shù)，“”是“對(duì)任意的正數(shù)x，”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件4．的值是A. B.C. D.5．當(dāng)時(shí)，函數(shù)（，），取得最小值，則關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱(chēng)C.是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.是偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)6．某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫(xiě)上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，則在①、②、③處應(yīng)依次寫(xiě)上A.快、新、樂(lè) B.樂(lè)、新、快C.新、樂(lè)、快 D.樂(lè)、快、新7．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8．已知弧長(zhǎng)為cm的弧所對(duì)的圓心角為，則這條弧所在的扇形面積為（）cm2A. B.C. D.9．下列函數(shù)既是定義域上的減函數(shù)又是奇函數(shù)的是A. B.C. D.10．設(shè)，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在的圖象.x0y12．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.13．表示一位騎自行車(chē)和一位騎摩托車(chē)的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息：①騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早出發(fā)3h，晚到1h；②騎自行車(chē)者是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車(chē)者是勻速運(yùn)動(dòng)；③騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車(chē)者；④騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后與騎自行車(chē)者速度一樣其中，正確信息的序號(hào)是________14．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有________.①的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到②在上單調(diào)遞增③在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)④在上的最大值為15．若函數(shù)y=是函數(shù)的反函數(shù)，則_________________16．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，，使得成立，則稱(chēng)是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱(chēng)是函數(shù)的1個(gè)“躍點(diǎn)”（1）求證：函數(shù)在上是“1躍點(diǎn)”函數(shù)；（2）若函數(shù)在上存在2個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)使得函數(shù)在上有2022個(gè)“躍點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出和滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．已知向量m＝(cos，sin)，n＝(2＋sinx，2－cos)，函數(shù)＝m·n，x∈R.(1)求函數(shù)的最大值；(2)若且＝1，求值.19．在△中，已知，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ⅰ)若直線:與線段交于點(diǎn)，且為△外心，求△的外接圓的方程；(Ⅱ)若直線方程為，且△的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)20．已知函數(shù)（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；21．已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）若函數(shù)，且對(duì)任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】連接DF,因?yàn)镈F與AE平行,所以∠DFD即為異面直線AE與DF所成角的平面角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.2、C【解析】根據(jù)對(duì)立事件和獨(dú)立事件求概率的方法即可求得答案.【詳解】由題意，三次交接棒不失誤的概率分別為：1-p1,1-故選：C.3、A【解析】根據(jù)題意利用基本不等式分別判斷充分性和必要性即可.【詳解】若，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以充分性成立；取，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，對(duì)任意的正數(shù)x，，但，所以必要性不成立，綜上，“”是“對(duì)任意的正數(shù)x，”的充分非必要條件.故選：A.4、B【解析】由余弦函數(shù)的二倍角公式把等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再由誘導(dǎo)公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為，由此能求出結(jié)果詳解】，故選B【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的二倍角公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，因?yàn)?，所以令，即，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因此選項(xiàng)B、D不正確；因?yàn)椋?，所以，因此函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此選項(xiàng)A不正確，故選：C6、A【解析】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗郏纯傻贸鼋Y(jié)論【詳解】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗郏蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】先利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)定義得，再判斷，和的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，即得結(jié)果.【詳解】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.，故，而，，即，故，由單調(diào)性知，即.故選：D.8、C【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算出半徑，再利用面積公式得到答案.【詳解】弧長(zhǎng)為cm的弧所對(duì)的圓心角為，則故選【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積，求出半徑是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行判斷即可【詳解】對(duì)于A，f（x）＝|x|，是定義域R上的偶函數(shù)，∴不滿足條件；對(duì)于B，f（x），在定義域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函數(shù)，且在每一個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，不能說(shuō)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，∴不滿足條件；對(duì)于C，f（x）＝﹣x3，在定義域R上是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，∴滿足題意；對(duì)于D，f（x）＝x|x|，在定義域R上是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，∴不滿足條件故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】先計(jì)算得到，，再利用展開(kāi)得到答案.詳解】，，；，；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，變換是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時(shí)的x的集合,(2)由五點(diǎn)法作圖,列出表格,并畫(huà)圖即可.【小問(wèn)1詳解】令，函數(shù)取得最大值，解得，所以此時(shí)x的集合為.【小問(wèn)2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，12、或【解析】令，分析出函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】令，對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，則，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由于函數(shù)和在上均為減函數(shù)，故函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，則在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案為：或.13、①②③【解析】看時(shí)間軸易知①正確；騎摩托車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運(yùn)動(dòng)，而騎自行車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運(yùn)動(dòng)，因此②正確；兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5，故③正確，④錯(cuò)誤故答案為①②③.點(diǎn)睛：研究函數(shù)問(wèn)題離不開(kāi)函數(shù)圖象，函數(shù)圖象反映了函數(shù)的所有性質(zhì)，在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到函數(shù)的圖象，學(xué)會(huì)從函數(shù)圖象上去分析問(wèn)題、尋找解決問(wèn)題的方法14、②③【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，可判定①不正確；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)的方法，可判定②正確；令，求得，可判定③正確；由，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定④正確.【詳解】由函數(shù)，對(duì)于①中，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，所以①不正確；對(duì)于②中，令，解得，當(dāng)時(shí)，可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以②正確；對(duì)于③中，令，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；對(duì)于④中，由，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以④不正確.故答案為：②③.15、0【解析】可得，再代值求解的值即可【詳解】的反函數(shù)為，則，則，則.故答案為：016、【解析】到原點(diǎn)的距離.考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)詳解（2）（3）存在，或或【解析】（1）將要證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證；（2）原問(wèn)題等價(jià)于方程在由兩個(gè)根，然后構(gòu)造二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)分布問(wèn)題可解；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有2022個(gè)實(shí)數(shù)根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檎淼茫?，因?yàn)椋栽趨^(qū)間有零點(diǎn)，即存在，使得，即存在，使得，所以，函數(shù)在上是“1躍點(diǎn)”函數(shù)【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上存在2個(gè)“1躍點(diǎn)”方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則解得或，所以的取值范圍是【小問(wèn)3詳解】由，得，即因?yàn)楹瘮?shù)在上有2022個(gè)“躍點(diǎn)”，所以方程在上有2022個(gè)解，即函數(shù)與的圖象有2022個(gè)交點(diǎn).所以或或即或或18、(1)f(x)的最大值是4(2)－【解析】（1）先由向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得到函數(shù)的三角函數(shù)解析式，再將其化簡(jiǎn)得到f（x）=4sin(x∈R)，最大值易得；（2）若且＝1，，解三角方程求出符合條件的x的三角函數(shù)值，再有余弦的和角公式求的值【詳解】(1)因?yàn)閒(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)＝2(sinx＋cosx)＝4sin(x∈R)，所以f(x)的最大值是4.(2)因?yàn)閒(x)＝1，所以sin＝.又因?yàn)閤∈，即x＋∈.所以cos＝－cos＝cos.＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的綜合題19、（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）先求出直線的方程，進(jìn)而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，為直徑長(zhǎng)，從而得到△的外接圓的方程；（Ⅱ）由題意可得，，從而解得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】（Ⅰ）解法一：由已知得，直線的方程為，即，聯(lián)立方程組得：，解得，又，△的外接圓的半徑為∴△的外接圓的方程為.解法二：由已知得，,且為△的外心，∴△為直角三角形，為線段的中點(diǎn)，∴圓心，圓的半徑,∴△的外接圓的方程為.或線段即為△的外接圓的直徑，故有△的外接圓的方程為，即（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，,所在直線方程，到直線的距離，①又點(diǎn)的坐標(biāo)為滿足方程，即②聯(lián)立①②解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，直線的交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），最大值1，最小值-1；（2）在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；【解析】（1）利用兩角差余弦公式、兩角和正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，進(jìn)而求的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1），∴，且最大值、最小值分別為1，-1；（2）由題意，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用兩角和差公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式并求最小正周期、最值；根據(jù)性質(zhì)確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21、（1）.（2）（2，+∞）.【解析】（1）使對(duì)數(shù)式有意義，即得定義域；（