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2024屆周口市重點(diǎn)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(本大題共10小題;在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意,請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)1.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)的零點(diǎn)為,函數(shù)的零點(diǎn)為,則下列不等式中成立的是A. B.C. D.2.給定下列四個(gè)命題:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中,為真命題的是A①和② B.②和③C.③和④ D.②和④3.若函數(shù)是冪函數(shù),且其圖象過(guò)點(diǎn),則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A. B.C. D.4.已知直線:與直線:,則()A.,平行 B.,垂直C.,關(guān)于軸對(duì)稱 D.,關(guān)于軸對(duì)稱5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.(0,2] B.[0,2]C.[0,2) D.(0,2)6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.7.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A. B.C. D.8.下列函數(shù)在上是增函數(shù)的是A. B.C. D.9.函數(shù)(,且)的圖象必過(guò)定點(diǎn)A. B.C. D.10.已知,則的值為A. B.C. D.二、填空題(本大題共5小題,請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)11.若,則____________.12.已知,若,則的最小值是___________.13.下列命題中正確的是__________.(填上所有正確命題的序號(hào))①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,,,則14.給出下列四種說(shuō)法:(1)函數(shù)與函數(shù)的定義域相同;(2)函數(shù)與的值域相同;(3)若函數(shù)式定義在R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù)對(duì)于銳角則;(4)若函數(shù)且,則;其中正確說(shuō)法序號(hào)是________.15.如圖,已知圓柱的軸截面是矩形,,是圓柱下底面弧的中點(diǎn),是圓柱上底面弧的中點(diǎn),那么異面直線與所成角的正切值為_(kāi)_________三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.)16.某校高一(1)班共有學(xué)生50人,據(jù)統(tǒng)計(jì)原來(lái)每人每年用于購(gòu)買飲料的平均支出是元,經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查,若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水,則年總費(fèi)用由兩部分組成:一部分是購(gòu)買純凈水的費(fèi)用,另一部分是其他費(fèi)用780元,其中純凈水的銷售價(jià)(元/桶)與年購(gòu)買總量(桶)之間滿足如圖所示的關(guān)系.(Ⅰ)求與的函數(shù)關(guān)系;(Ⅱ)當(dāng)為120時(shí),若該班每年需要純凈水380桶,請(qǐng)你根據(jù)提供的信息分析一下:該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個(gè)人買飲料相比,哪一種花錢更少?17.已知兩條直線(1)若,求實(shí)數(shù)的值;(2)若,求實(shí)數(shù)的值18.已知函數(shù),若函數(shù)的定義域?yàn)榧?,則當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.19.觀察下列各等式:,,.(1)請(qǐng)選擇其中的一個(gè)式子,求出a的值;(2)分析上述各式的特點(diǎn),寫出能反映一般規(guī)律的等式,并進(jìn)行證明.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)的和21.計(jì)算下列各式:(1)(式中字母均為正數(shù));(2).
參考答案一、選擇題(本大題共10小題;在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意,請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)1、A【解析】解:由f(x)=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x,由g(x)=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x,作出函數(shù)y=ex,y=lnx,y=2﹣x的圖象如圖:∵函數(shù)f(x)=ex+x﹣2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=lnx+x﹣2的零點(diǎn)為b,∴y=ex與y=2﹣x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,y=lnx與y=2﹣x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b,由圖象知a<1<b,故選A考點(diǎn):函數(shù)的零點(diǎn)2、D【解析】利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面,故①錯(cuò)誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面垂直,只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,是中檔題3、B【解析】分別求出m,a的值,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可【詳解】解:由題意得:,解得:,故,將代入函數(shù)的解析式得:,解得:,故,令,解得:,故在遞增,故選B【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題4、D【解析】根據(jù)題意,可知兩條直線都經(jīng)過(guò)軸上的同一點(diǎn),且兩條直線的斜率互為相反數(shù),即可得兩條直線的對(duì)稱關(guān)系.【詳解】因?yàn)?都經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn),且斜率互為相反數(shù),所以,關(guān)于軸對(duì)稱.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線的位置關(guān)系,關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程特征,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知:,故選:A6、D【解析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù),不符合題意;當(dāng)時(shí),二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:,由題意有解得故選:D7、B【解析】通過(guò)計(jì)算,判斷出零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】由于,,,故零點(diǎn)在區(qū)間,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)的存在性定理的應(yīng)用,考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性,綜合即可得答案【詳解】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,符合題意;對(duì)于B,,為指數(shù)函數(shù),在區(qū)間上單調(diào)遞減,不符合題意;對(duì)于C,,為對(duì)數(shù)函數(shù),在區(qū)間上單調(diào)遞減,不符合題意;對(duì)于D,反比例函數(shù),在區(qū)間上單調(diào)遞減,不符合題意;故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】因?yàn)楹瘮?shù),且有(且),令,則,,所以函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)(且)恒過(guò)定點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題目.10、C【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把原式的分母“1”變?yōu)閟in2α+cos2α,然后給分子分母求除以cos2α,把原式化為關(guān)于tanα的關(guān)系式,把tanα的值代入即可求出值【詳解】因?yàn)閠anα=3,所以故選C【點(diǎn)睛】本題是一道基礎(chǔ)題,考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值的能力,做題的突破點(diǎn)是“1”的靈活變形二、填空題(本大題共5小題,請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)11、##0.6【解析】,根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】=.故答案為:.12、16【解析】乘1后借助已知展開(kāi),然后由基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?,所以?dāng)且僅當(dāng),,即時(shí),取“=”號(hào),所以的最小值為16.故答案為:1613、③【解析】對(duì)于①,若,,則與可能異面、平行,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若,,則與可能平行、相交,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,若,,則根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知,故③正確;對(duì)于④,根據(jù)面面平行的判定定理可知,還需添加相交,故④錯(cuò)誤,故答案為③.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì),屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷,常采用畫圖(尤其是畫長(zhǎng)方體)、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法(如墻角、桌面等)、排除篩選法等;另外,若原命題不太容易判斷真假,可以考慮它的逆否命題,判斷它的逆否命題真假,原命題與逆否命題等價(jià).14、(1)(3)【解析】(1)根據(jù)定義域直接判斷;(2)分別求出值域即可判斷;(3)利用偶函數(shù)圖形的對(duì)稱性得出在上的單調(diào)性及銳角,可以判斷;(4)通過(guò)對(duì)數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷.【詳解】(1)函數(shù)與函數(shù)的定義域都為.所以(1)正確.(2)函數(shù)的值域?yàn)槎闹涤驗(yàn)?,所以值域不同,?2)錯(cuò)誤.(3)函數(shù)在定義R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù),則函數(shù)在在為增函數(shù),又為銳角,則,所以,故(3)正確.(4)函數(shù)且,則,即,得,故(4)錯(cuò)誤.故答案為:(1)(3).【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的定義域與值域的求解,函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定,對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,是中檔題.15、【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD,因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB中點(diǎn),所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角,因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD,因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是矩形,AA1=2AB所以C1D=2AD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為2,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為2故答案為:2.點(diǎn)睛:求兩條異面直線所成角關(guān)鍵是作為這兩條異面直線所成角,作兩條異面直線所成角的方法是:將其中一條一條直線平移與另一條相交相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使他們相交,然后再同一平面內(nèi)求相交直線所成角,值得注意的是:平移后相交所得的角必須容易算出,因此平移時(shí)要求選擇恰當(dāng)位置.三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.)16、(Ⅰ);(Ⅱ)該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水花錢更少.【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意設(shè)出直線方程,再代入圖示數(shù)據(jù),即可得出與的函數(shù)關(guān)系;(Ⅱ)分別求出兩種情形下的年花費(fèi)費(fèi)用,進(jìn)行比較即可.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)題意,可設(shè),時(shí),;時(shí),,,解得,所以與的函數(shù)關(guān)系為:;(Ⅱ)該班學(xué)生購(gòu)買飲料的年費(fèi)用為(元),由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),,故該班學(xué)生購(gòu)買純凈水的年費(fèi)用為:(元),比購(gòu)買飲料花費(fèi)少,故該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水花錢更少.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選取及實(shí)際應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題.17、(1);(2).【解析】(1)本小題考查兩直線平行的性質(zhì),當(dāng)兩直線的斜率存在且兩直線平行時(shí),他們的斜率相等,注意截距不相等;由,得或-1,經(jīng)檢驗(yàn),均滿足;(2)本小題考查兩直線垂直的性質(zhì),當(dāng)兩直線斜率存在時(shí),兩直線的斜率之積為,注意斜率不存在的情況;由于直線的斜率存在,所以,由此即可求出結(jié)果.試題解析:(1)因?yàn)橹本€的斜率存在,又∵,∴,∴或,兩條直線在軸是的截距不相等,所以或滿足兩條直線平行;(2)因?yàn)閮蓷l直線互相垂直,且直線的斜率存在,所以,即,解得.點(diǎn)睛:設(shè)平面上兩條直線的方程分別為;
比值法:和相交;和垂直;和平行;和重合
斜率法:(條件:兩直線斜率都存在,則可化成點(diǎn)斜式)與相交;與平行;與重合;與垂直;18、【解析】先求函數(shù)的定義域集合,再求函數(shù)的值域【詳解】由,得,所以函數(shù)的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】求函數(shù)值域要先準(zhǔn)確求出函數(shù)的定義域,注意函數(shù)解析式有意義的條件,及題目對(duì)自變量的限制條件19、(1)(2)證明見(jiàn)詳解【解析】(1)利用第三個(gè)式子,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可;(2)用兩角和正弦公式展開(kāi),代入化簡(jiǎn),結(jié)合,即得解【小問(wèn)1
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