最大熵原理在氣象學(xué)中的應(yīng)用

PAGEPAGE176熵氣象學(xué)—第六章最大熵原理在氣象學(xué)中的應(yīng)用最大熵原理在氣象學(xué)中的應(yīng)用上一章我們把熵原理作了簡要介紹，并附帶提及了它在一些領(lǐng)域的應(yīng)用。由于熵原理的普遍的適用性，因而認(rèn)真分析它在氣象上的應(yīng)用潛力是十分值得的。很顯然，用熵原理說明的氣象學(xué)中的問題越多，不僅越加顯示熵原理的重要性，顯示宇宙真理的統(tǒng)一性，而且也為氣象學(xué)找到了新的理論武器，而這勢必也提高了氣象學(xué)的科學(xué)性和實(shí)用性。在這一章我們就重點(diǎn)討論最大熵原理怎樣應(yīng)用于各種氣象問題之中，以及由此得出的結(jié)果。把最大熵原理用于說明氣象現(xiàn)象大致包含如下步驟：首先把氣象問題歸結(jié)為某種分布函數(shù)(這在第二章已列出約30個(gè)分布函數(shù)的個(gè)例)。找出形成上述分布函數(shù)的物理(氣象)過程中有哪些重要的約束條件。從物理(氣象)過程含有隨機(jī)性引出對應(yīng)的熵達(dá)到極大值(即隨機(jī)性導(dǎo)致最混亂)。進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，從熵理論導(dǎo)出分布函數(shù)。用實(shí)際資料驗(yàn)證理論結(jié)果(如不符，可再重復(fù)上述過程)。后邊的介紹就是把上述步驟分別用于各個(gè)具體的氣象分布問題中，并從中逐步加深對最大熵原理的認(rèn)識。另外，從70年代以來Paltridge[1]等人從熱力學(xué)熵平衡角度研究地球緯圈上的氣溫分布的工作，也應(yīng)屬于試著用熵原理的一種事例。這個(gè)工作中盡管在原理上尚有不清楚之處，但其結(jié)果與實(shí)況的一致性和引用極值原理都是很有意義的。鑒于湯懋蒼[2]近年對此已有介紹，我們這里就不再評述了。順便指出，早在上世紀(jì)，從力學(xué)中發(fā)展起來的最小作用原理就從力學(xué)領(lǐng)域體現(xiàn)了自然界遵守某種極值原理的精神。在氣象界，羅倫茨[3]在60年代就設(shè)想大氣也應(yīng)當(dāng)遵守某種極值原理。而我們指出有一些氣象分布函數(shù)可以從熵達(dá)極大的角度推導(dǎo)出來，這可以看成是羅倫茨思想從統(tǒng)計(jì)角度(非決定論角度)的具體體現(xiàn)。所以，最大熵原理在氣象學(xué)中的應(yīng)用不僅應(yīng)看作是隨機(jī)論(非決定論)的勝利，也應(yīng)當(dāng)看成廣義的極值原理的勝利?！?大氣的溫度場和氣壓場從最大熵原理出發(fā)，很容易說明大氣中的溫度場和氣壓場的分布。在第二章第4節(jié)我們已經(jīng)論證了大氣的溫度場和氣壓場的分布。對氣壓場，我們從簡單的分析得出它應(yīng)是均勻分布，對溫度場則從平均圖上得出其分布也是均勻分布。這就是說，如果從大氣中純隨機(jī)地抽取一個(gè)空氣樣品，則其氣壓(氣溫)為各種可能值的出現(xiàn)概率都是相等的，或者說各種可能的氣壓(溫度)占有的大氣質(zhì)量是一樣的。圖2．5就是其代表。大氣溫度為什么恰為均勻分布(它竟然遵守如此簡單的分布，確實(shí)有些出人意料?。?形成現(xiàn)今溫度分布的原因當(dāng)然是太陽輻射和大氣的對外輻射，這使我們想到如圖6．1的極簡單的模型。圖的左側(cè)有一高溫的恒定熱源，其溫度為T1，左側(cè)有一低溫的恒定熱匯，其溫度為T0。介質(zhì)處于T1和T0兩個(gè)溫度之間，它的溫度在各處不會(huì)都是T1或T0，從而構(gòu)成了一個(gè)溫度場。如果介質(zhì)僅能從左右兩端吞吐熱量而其他界面與外界絕緣，那么介質(zhì)中的溫度場理應(yīng)會(huì)形成如圖所示的等溫線呈均勻分布之形狀。此時(shí)介質(zhì)上的溫度分布函數(shù)應(yīng)為均勻分布，對此我們也可以從解熱傳導(dǎo)方程中得出來。圖6．1恒溫?zé)嵩?T1)熱匯(To)之間的介質(zhì)中的溫度場從熵原理角度可以這么想：約束介質(zhì)的溫度場的條件十分簡單，它不能高于T1，，不能低于T0，此外再找不出其他約束，而依最大熵原理，溫度在介質(zhì)中隨機(jī)性最大的分布(熵極大)此時(shí)應(yīng)為均勻分布(參見第五章第2節(jié))。在第二章第4節(jié)已經(jīng)從資料中證實(shí)全球大氣的溫度為均勻分布，這里又從熵原理對此作了說明，而6．1圖進(jìn)一步啟示我們可以把大氣看成圖中的介質(zhì)。換言之，盡管天文上告訴人們大氣受的日光有日變化、盡管太陽對地球是不均勻加熱、盡管大氣無時(shí)不在流動(dòng)、盡管熱量除了從赤道傳向兩極之外還有垂直傳送……，可是這些復(fù)雜因素作用下形成的溫度場竟然簡單到與圖6．1的物理過程相似，從而形成了溫度的均勻分布，這確實(shí)出人意料——誰能想到結(jié)局會(huì)如此簡單！那么如何理解氣壓也遵守均勻分布呢?均勻分布中要求有限定的上下限。就氣壓而言，它不可能出現(xiàn)負(fù)值，因而≥0，可以看成是對氣壓下限值的約束。另外，如果也像動(dòng)力氣象中那樣，承認(rèn)空氣給地面的壓力與大氣質(zhì)量受的地心引力基本相等，這就又決定了(一級近似)大氣壓力的上限。除上述約束外，承認(rèn)大氣中每個(gè)空氣微團(tuán)的壓力有最大的隨機(jī)性(熵最大)，就會(huì)導(dǎo)出大氣壓力應(yīng)在0-1013hPa之間呈均勻分布的結(jié)論，這樣就沿著熵原理引出了氣壓的均勻分布。§2雨量在面積上的分布用熵原理分析降水現(xiàn)象，在筆者看來是十分方便又富有成效的。這里十分重要的一個(gè)步驟就是設(shè)法把問題首先轉(zhuǎn)化成分布函數(shù)問題，再依本章開頭介紹的思路往下分析。降水在面積上的分布就是一個(gè)很有說服力的事例。在過去，氣象、水文工作者分析過大量的降水量在地域上的分布圖--在地圖上分析一場(或6小時(shí)，一天、…)雨的雨量等值線，而有了分布函數(shù)概念后，就可以從每一張雨量圖上歸納出一個(gè)不同雨量各占有多少面積的關(guān)系來。這實(shí)際上把一個(gè)二元函數(shù)(地理經(jīng)緯度兩個(gè)自變量和雨深這個(gè)函數(shù)值)簡化成一個(gè)一元函數(shù)了(雨深是自變量，占的面積為函數(shù)值)。這種簡化使我們喪失了一些信息(不知道每個(gè)幾何位置下了多少雨了)，但是正如第二章第7節(jié)揭示的：在統(tǒng)計(jì)的近100場大暴雨中(其位置、雨量、成因都差別很大)，其相對分布函數(shù)的形狀竟然都是相同的。為什么從地理分布各異的雨量圖簡化出來的分布函數(shù)竟然都相同?其物理背景是什么?在上一章介紹統(tǒng)計(jì)力學(xué)思路時(shí)我們舉的正是這個(gè)例子，所以可以說在那里已經(jīng)從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的狀態(tài)數(shù)W達(dá)最大出現(xiàn)機(jī)會(huì)最大的角度引出了降水量在面積上呈負(fù)指數(shù)分布的結(jié)論。這已經(jīng)對現(xiàn)象作了物理說明，如果改用熵的原理來說明此事可能更易于講明白。對于降水在面積上的分布中的約束條件是易找出來的。首先可以想到在降水區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)位置上，其雨量r的值僅能大于零（有時(shí)在雨量圖上人們僅關(guān)心雨量比零還大一些的降水量的分布)；再一點(diǎn)就是認(rèn)為在當(dāng)時(shí)的天氣學(xué)、動(dòng)力學(xué)條件下，天氣系統(tǒng)能降下來的總雨量V和總面積A都是給定值。而V和A的給定意味著這場降水的平均雨量V／A是給定值(不是無限大)。．如果約束僅只是這些，并認(rèn)為這些雨水以最任意(隨機(jī)、混亂)的方式灑向地面，則雨量在面積上的分布函數(shù)就應(yīng)當(dāng)是在這些約束下恰使熵達(dá)到極大。從第五章已作的推證看，這恰好對應(yīng)于負(fù)指數(shù)型的分布函數(shù)，這個(gè)分析過程可以從表6.1中看的更清楚些。在第二章第7節(jié)業(yè)已指出，從中國各地的86場暴雨的雨量面積數(shù)據(jù)的分析中證實(shí)，雨量r與其占有的面積的對數(shù)值有良好的線性關(guān)系。86場降水中有85場的線性相關(guān)系數(shù)通過了信度為0．05的顯著性檢驗(yàn)。表6.1從熵原理分析降水的面積與深度的關(guān)系(函數(shù))通用提法在本問題中的含義問題變量x的概率密度分布函數(shù)f(x)雨量r在面積上的相對分布函數(shù)f(r)是什么約束條件變量x有大于零的下限x0（x0≥0）雨量r有大于零的下限r(nóng)0（r0≥0）變量x平均值我有限值雨區(qū)內(nèi)的平均雨量為有限值=V/A熵極大在約束條件下使H極大雨滴以最混亂的方式灑向地面意味著分布函數(shù)f(r)對應(yīng)的熵達(dá)到了給定約束下的極大值結(jié)果f(x)應(yīng)為負(fù)指數(shù)分布分布函數(shù)是實(shí)際上，依相對分布函數(shù)的含義，總降水面積為A時(shí)，降水為ri→ri+Δr占有的面積應(yīng)當(dāng)是Af(ri)Δr。把f(r)的負(fù)指數(shù)分布代入可得 令A(yù)i代表ri→ri+Δr占有的面積Af(ri)Δr，則對上式取對數(shù)后會(huì)有 (6.1)上式中真正的變量是降水ri和其占有的面積Ai，其他的量對于每場降水而言都是常數(shù)(Δr是由人選定的參數(shù))。所以(6.1)式表明面積Ai的對數(shù)值(1nAi)與降水值ri是線性關(guān)系。這就是說，分布函數(shù)為指數(shù)型，那么InAi與(ri)應(yīng)為直線關(guān)系。如果實(shí)測資料證實(shí)它們?yōu)榫€性關(guān)系，也就證實(shí)了分布函數(shù)確實(shí)屬于負(fù)指數(shù)分布了。第二章第7節(jié)已講過，對不同天氣類型的降水過程的總雨量，上述線性關(guān)系都很好，這樣從理論與實(shí)踐兩方面得到的結(jié)論就互相印證了(統(tǒng)計(jì)力學(xué)思路也得出同一結(jié)論)。圖6.2是面積的對數(shù)值lnAi與其對應(yīng)的雨量ri的線性關(guān)系的示例。圖6．2雨量r與其占有的面積A的對數(shù)為線性關(guān)系的示例(河南1975年8月5—7日暴雨)以上討論的雨量與面積的關(guān)系，都是針對著同一場降水過程而言的。驗(yàn)證時(shí)哪些降水才屬于同一場降水不是我們定的，而是由有關(guān)總結(jié)、分析人員分別選定的。那么幾個(gè)降水過程合計(jì)起來的總降水量的面積分布是否也遵守這個(gè)關(guān)系呢?我們初步認(rèn)為此時(shí)的約束條件會(huì)復(fù)雜化，從而不宜用此分布函數(shù)?？磥磉@是值得進(jìn)一步研究的問題。反之，如果不是幾個(gè)降水過程的雨量而僅是某一瞬時(shí)的降水量(如一小時(shí)、六小時(shí)、一天)的分布，它是否也應(yīng)符合這種關(guān)系(也是負(fù)指數(shù)分布)呢?對此我們曾經(jīng)用詹道江譯成中文的世界氣象組織出版的《ManualforEstimationofProbableMaximumPrecipitation，1973》一書中提供的資料，計(jì)算了美國實(shí)測的大暴雨過程中的6、12、…、72小時(shí)的雨量與面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們也服從負(fù)指數(shù)關(guān)系。看來一場降水過程內(nèi)部的給定時(shí)段的雨量，面積關(guān)系也能用負(fù)指數(shù)關(guān)系來描述。在上節(jié)討論大氣溫度場、氣壓場時(shí)，我們是把地球大氣總體視為一個(gè)閉合系統(tǒng)。大氣運(yùn)動(dòng)的任意性導(dǎo)致與溫度場、氣壓場對應(yīng)的熵達(dá)到極大值，針對著對應(yīng)的約束我們求得了均勻分布。而在本節(jié)我們面對的不是地球大氣總體了，這里面對的系統(tǒng)實(shí)際上是地球上的一個(gè)移動(dòng)著的降水天氣系統(tǒng)所形成的降水，這里的熵實(shí)際上僅只表示著雨量在地域分配上的混亂程度。以上對比使我們看到，熵原理可以適用于大小不等的特定系統(tǒng)?？磥砬‘?dāng)?shù)剡x定適宜的系統(tǒng)，進(jìn)而分析其熵是很重要的。以上兩節(jié)的討論中我們都沒有具體計(jì)算熵極大時(shí)的熵值究竟是多少，這并不是因?yàn)楹茈y計(jì)算，而是由于我們的目的不是求熵是多少，而是找出熵極大時(shí)對應(yīng)的分布函數(shù)是什么。而一旦找出分布函數(shù)，也就認(rèn)為達(dá)到了目的?！?降水現(xiàn)象中的指數(shù)簇我們把降水問題中的很多分布函數(shù)都呈負(fù)指數(shù)分布的現(xiàn)象簡稱為降水現(xiàn)象中的指數(shù)簇。在上一節(jié)曾就降水的面積分布作了較深入的討論，而現(xiàn)在我們要擴(kuò)大如上思路進(jìn)而分析降水過程的其他分布函數(shù)。這就使人們看到降水問題中的負(fù)指數(shù)關(guān)系確實(shí)很多，它們構(gòu)成了一個(gè)指數(shù)簇。3.1降水元的線徑分布大氣中凝結(jié)的水汽變成降水而降下來時(shí)，它們都是以顆粒為單元一個(gè)個(gè)地掉下的，最常見的是雨滴，還有一片片的雪花、一粒粒的霰和一個(gè)個(gè)的冰雹……。我們不妨把這些可以清楚地區(qū)分成一個(gè)個(gè)的降水元量統(tǒng)稱為降水元。觀測表明，盡管降水元的變化十分復(fù)雜，但是在一級近似下，可以認(rèn)為各種降水過程的各種降水元的線徑大小都服從指數(shù)分布。所謂線徑，指的就是雨滴的半徑(或直徑)，而降水元為雪花、霰粒、冰雹……時(shí)，指的是它們?nèi)诔伤院笳酆铣傻那蝮w半徑(直徑)。線徑分布指的是在某次降水過程中，在降水元組成的總體(集合)中線徑大小不等的降水元各占多少，它們都是分布函數(shù)的特例。在第二章第1節(jié)，實(shí)際上已經(jīng)指出上述分布(不含云滴)都以指數(shù)分布為主要特征，因而可以在一級近似下說它們都服從指數(shù)分布律。3.2降水強(qiáng)度的時(shí)間分布分布函數(shù)除了可以描述某變量取不同數(shù)值時(shí)各占有多少個(gè)數(shù)、面積、質(zhì)量而外，也可用以描述變量取不同數(shù)值時(shí)各占了多少時(shí)間。在第二章就討論過在一場降水過程中各時(shí)段的降水強(qiáng)度并不相等，這就引出了不同的降水強(qiáng)度各占用了總歷時(shí)的百分比問題。這個(gè)百分比的數(shù)值與降水強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系，就是雨強(qiáng)在時(shí)間上的分布函數(shù)。第二章第7節(jié)的討論表明，雨強(qiáng)的時(shí)間分布也是負(fù)指數(shù)分布。3.3過程雨量、持續(xù)時(shí)間和無雨期長度的分布任何一個(gè)地理位置上，其發(fā)生的一次次的降水過程的過程雨量是不盡相等的，因而就應(yīng)當(dāng)有一個(gè)過程雨量的概率分布函數(shù)以反映不同雨量出現(xiàn)機(jī)會(huì)的多少。對于確定的地點(diǎn)、確定的季節(jié)來說，如承認(rèn)在近數(shù)百年內(nèi)氣候的變化可以忽略(一級近似)，那么可以認(rèn)為其過程雨量的平均值不變。這時(shí)依最大熵原理，易于證明過程雨量也服從負(fù)指數(shù)的概率分布。馬淑紅曾用全國40站的4季資料對此作了驗(yàn)證。她為工作之便，把日降水量視為過程雨量而進(jìn)行統(tǒng)計(jì)驗(yàn)證[4]。統(tǒng)計(jì)顯示，日降水都較好地服從負(fù)指數(shù)分布，即大降水出現(xiàn)概率很小，而小降水很易發(fā)生(圖6.3)。這又是一個(gè)指數(shù)律。其實(shí)日降水量遵守負(fù)指數(shù)分布早已有不少人作了論證。圖6．3日雨量的概率分布示例(北京)固定地點(diǎn)、固定季節(jié)的氣候如基本不變，也可推出每次降水的總歷時(shí)的概率分布也服從負(fù)指數(shù)律。文獻(xiàn)[5]用日本資料對此作了論證，圖6.4就是從文中引出的一個(gè)例子。圖6．4不同降水歷時(shí)的出現(xiàn)次數(shù)(東京，1957年-1960年，7—10日)降水持續(xù)的時(shí)間遵守負(fù)指數(shù)型的概率分布，余下的不下雨的一段段時(shí)間不可能都是一樣的長，因而這些不降水的“干期”的歷時(shí)長度必然也存在一個(gè)概率分布函數(shù)。L．L．Weiss[6]曾從Markov鏈的角度研究過此類問題，指出過存在指數(shù)關(guān)系。最近馬淑紅用新疆春季50個(gè)測站的逐日降水資料分析了無雨期長度的概率分布，結(jié)果50個(gè)站的資料全都可以認(rèn)為符合負(fù)指數(shù)分布。圖6.5就是其一個(gè)例子。這樣我們又看到涉及降水(含不降水的時(shí)間長度)的三種概率分布也是服從負(fù)指數(shù)分布。如果把先前討論的降水在面積上的負(fù)指數(shù)也并在一起，我們至少可以從降水現(xiàn)象中歸結(jié)出10個(gè)含義不同的分布函數(shù)都遵守負(fù)指數(shù)分布。表6.2就把這些作了概括。圖6．5不同無雨期的長度的出現(xiàn)次數(shù)(新疆阿勒泰)有這么多的含義不同的分布竟然都遵守同一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)系式，難道不值得我們認(rèn)真思考一下更深一層次的物理背景嗎?表6.2降水現(xiàn)象中服從負(fù)指數(shù)分布各個(gè)項(xiàng)目變量名稱分布問題從熵原理導(dǎo)出它需要的假設(shè)1過程降水量占有的地域的大小在面積上的平均雨量為固定量2瞬時(shí)降水量占有的地域的大小在面積上的平均雨量為固定量3雨滴半徑占有的個(gè)數(shù)的多少?4雪花的線徑占有的個(gè)數(shù)的多少?5霰的線徑占有的個(gè)數(shù)的多少?6冰雹的線徑占有的個(gè)數(shù)的多少7測站的一次降水中的降水強(qiáng)度占有的歷時(shí)的多少平均降水強(qiáng)度為固定值8測站的一次降水過程的降水量不同雨量的出觀概率平均過程雨量為固定值9測站的一次降水的持續(xù)時(shí)間不同的持續(xù)時(shí)間的出現(xiàn)概率平均持續(xù)時(shí)間為固定值10測站的無降水的時(shí)間的長度不同的無降水時(shí)段的長度的出現(xiàn)概率平均無降水時(shí)段長度為固定值從動(dòng)力學(xué)角度尋找這種數(shù)學(xué)上同構(gòu)的原因可能是困難的，但是從熵原理角度看則易于找出答案。從指數(shù)分布的公式看，公式中的主要參數(shù)僅有變量的數(shù)學(xué)期望這一個(gè)值(公式中的變量下限僅是個(gè)輔助性的參數(shù))，而在最大熵原理推求分布時(shí)，假設(shè)條件越少，求出來的分布函數(shù)中的參數(shù)也越少。指數(shù)分布中僅有一個(gè)參數(shù)這件事本身就告訴我們約束條件僅有一個(gè)是主要的，即我們找不出更為重要的約束值補(bǔ)入求解分布函數(shù)的方程中。氣象學(xué)中，人們對降水現(xiàn)象的任意性留有深刻印象，降水幾乎是最難作預(yù)告的氣象要素。這種定性的認(rèn)識，實(shí)際上從一個(gè)側(cè)面顯示出約束降水的條件是很少的。而最大熵原理告訴我們約束條件越少，分布函數(shù)越簡單(參數(shù)少)，這樣看來任意性大(約束條件少)的降水現(xiàn)象遵守參數(shù)極少的，外形簡單的分布函數(shù)就是意料中的事了。表6．2中列出了服從指數(shù)分布的10個(gè)降水現(xiàn)象中的具體項(xiàng)目。從熵原理看，只要認(rèn)為僅有該變量的平均值為固定值這一個(gè)約束，而無其他明顯的約束，它就應(yīng)當(dāng)是服從指數(shù)分布律。表6.2中的10個(gè)項(xiàng)目，我們認(rèn)為有6個(gè)可以假設(shè)其對應(yīng)的平均值為固定值，另外4個(gè)關(guān)于降水元的線徑分布問題，我們在假設(shè)欄內(nèi)僅打了個(gè)問號，原因是我們不敢作這種假設(shè)。實(shí)際上，當(dāng)假設(shè)某平均值為固定值時(shí)，也就自然蘊(yùn)含了該系統(tǒng)中與平均值對應(yīng)的總量是固定值的含義。例如在降水的平面分布問題中，設(shè)“平均雨量為固定值”實(shí)際上是說天氣系統(tǒng)在給定面積上降落的總雨量(水體總質(zhì)量)為常數(shù)。在統(tǒng)計(jì)物理中，這類約束條件與分析的系統(tǒng)中的總能量或總粒子數(shù)不變是一個(gè)含義。哈根說“熱力學(xué)中合適的約束就是守恒定律[7]”，而在我們的各種氣象問題中，這種約束也都有著對應(yīng)的深刻含義。假如我們看到各種降水元(雨滴、冰雹…)的線徑服從負(fù)指數(shù)分布，就希望用“降水元的平均值為固定值”的假設(shè)輔以熵最大而證明它(這實(shí)際上是假設(shè)雨滴等降水元的線徑的合計(jì)值為守恒量)，這顯然與易于想到的質(zhì)量守恒是矛盾的。因?yàn)槲覀兛梢哉f，各個(gè)雨滴(姑且以此代表各類降水元)的質(zhì)量的合計(jì)值與這次降水的降下來的總水體質(zhì)量的值相等，但是我們不能說各個(gè)雨滴的半徑(即線徑)的合計(jì)值與總降水水體對應(yīng)的大水球的半徑相等8個(gè)半徑為l的球僅能合并成體積與之相等的一個(gè)半徑為2的球。故體積累加時(shí)，半徑就不會(huì)累加(兩者不是線性關(guān)系)。8個(gè)半徑為l的球僅能合并成體積與之相等的一個(gè)半徑為2的球。故體積累加時(shí)，半徑就不會(huì)累加(兩者不是線性關(guān)系)。正是由于顧及“降水元的線徑的平均值為固定值”的假設(shè)與質(zhì)量(降水物總體積)守恒的合理想法有矛盾，在表6.2中我們打了4個(gè)問號，我們猜想將來可能沿其他思路——還是要用熵原理，得以說明降水元的線徑為什么竟都是負(fù)指數(shù)分布。最大熵原理在實(shí)用時(shí)經(jīng)常受到的批評就是“假設(shè)的任意性太大”，我們希望如上分析會(huì)幫助大家慎重地引用假設(shè)[最好與統(tǒng)計(jì)力學(xué)思路聯(lián)合(平行)起來分析]。有了降水現(xiàn)象的指數(shù)簇的知識，當(dāng)然對于天氣預(yù)告、氣候分析、水利工程設(shè)計(jì)等眾多實(shí)用業(yè)務(wù)有很大好處。限于篇幅這里不便再具體討論了(我們引的一些文獻(xiàn)曾有不少討論)?！?穩(wěn)定層云的云滴譜云都是由水滴或冰晶組成的。當(dāng)我們從云中采集一批個(gè)數(shù)充分多的云滴樣品后，就可以分析出半徑不同的云滴各占多少。云體中云滴的半徑(直徑)與占有個(gè)數(shù)的函數(shù)關(guān)系就是云滴譜。云滴變大就成了雨而降落，這種變大當(dāng)然對應(yīng)云滴譜的變化?？梢韵胍姡诋a(chǎn)生降水的云中，云滴譜的形態(tài)可能隨著時(shí)間而有很大的變化。但是云物理觀測證實(shí)，云滴譜自有其偏愛的形態(tài)，有一種呈偏態(tài)單峰(見圖2.1)分布的譜最易被觀測到。人們自然要想，為什么這種譜型那么容易出現(xiàn)?形成這種譜的物理原因是什么?偏態(tài)單峰的云滴譜既然經(jīng)常被觀測到，就說明它并不是僅存在于某一瞬間的不穩(wěn)定的譜，而是在較長時(shí)間內(nèi)始終存在的譜，即它對應(yīng)于云體處于某種平衡態(tài)下，其滴譜型具有穩(wěn)定性。這樣分析起來，把偏態(tài)單峰譜看成穩(wěn)定層云的譜是妥當(dāng)?shù)?。在文獻(xiàn)[8]中，把云滴的表面自由能考慮為變量，從最大熵原理的角度論證了云滴應(yīng)當(dāng)呈現(xiàn)單峰偏態(tài)分布。云體中的云滴有的大有的小，這種大小不一就是混亂不一的表現(xiàn)。熵是混亂程度的測度，云體穩(wěn)定、云滴譜穩(wěn)定則是混亂程度已經(jīng)達(dá)到極值的標(biāo)志。換言之，偏態(tài)單峰的譜是與某種熵達(dá)到極值對應(yīng)的。熵是與分布函數(shù)相聯(lián)系的。在云滴問題中我們指出過，云滴譜是關(guān)于云滴半徑的分布函數(shù)，可是云滴問題中還存在著關(guān)于云滴的表面積的分布函數(shù)和云滴的質(zhì)量的分布函數(shù)，因而在談到熵達(dá)極值時(shí)應(yīng)當(dāng)講明是與那個(gè)變量[半徑、面積、體積(即質(zhì)量)]的分布函數(shù)所對的熵達(dá)到了極大值。文獻(xiàn)[8]的貢獻(xiàn)在于它指出是云滴面積(不是半徑或體積)的分布函數(shù)對應(yīng)的熵達(dá)到了極大值，由此可以推證出云摘半徑應(yīng)當(dāng)遵守偏態(tài)單峰分布，這又與表面自由能守恒的假設(shè)直接聯(lián)系起來。模型中，實(shí)際上是認(rèn)為成云的過程(未碰并前的初始云滴形成)就是把一定量的表面自由能隨機(jī)地分配到各云滴的過程。“一定量的表面自由能”對應(yīng)于云體中云滴的表面自由能F的平均值為固定值，而隨機(jī)分配對應(yīng)的熵最大會(huì)導(dǎo)致各云滴的表面自由能F應(yīng)遵守負(fù)指數(shù)分布，即依最大熵原理有 （6.2）表面自由能就是液體表面積荷有的、可以全部用來作功的自由能，它是恰好與液體具有的表面積成正比的。如以s、分別代表云滴的表面積及它在云中的平均值，則因s與F成正比，而可以把(6.2)式改寫成 （6.3）上式給出了云滴的表面積的分布函數(shù)，它并不是云物理學(xué)中定義的云滴譜(后者是云滴半徑的分布函數(shù))。為了要從云滴表面積的分布變換或云滴半徑的分布，我們要應(yīng)用隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的求算辦法把變量變換過去[9]。仿照[8]的作法，這個(gè)變換如下：設(shè)研究的云滴總數(shù)為N。，那么(6.3)式的含義可理解為云滴的表面積為s→s+Δs的云滴有Δn個(gè)，此時(shí)(6.3)式變成 （6.4）由于球形的云滴的面積s與半徑r之間應(yīng)有 s=4πr2故Δs=8πrΔr將上式代入(6.4)得 (6.5)表面積平均值可以寫成 =∑si/N0令為均方根半徑，即 則(6.5)式可變成 而云滴譜的含義為dn/dr，故將Δr移項(xiàng)即得 上式中已經(jīng)沒有與表面自由能成正比的表面積，而變成云滴半徑r與其占有個(gè)數(shù)n的關(guān)系了。n是r的這種函數(shù)在云物理學(xué)中常以n(r)表示，所以上式也可寫成 (6.6)這正是從表面自由能守恒、熵最大導(dǎo)得的云滴譜方程。依概率論中的稱法，把上式兩側(cè)都除以N0。以后的分布應(yīng)當(dāng)稱為瑞利分布，即穩(wěn)定層云的云滴譜應(yīng)符合瑞利分布。而概率論中早已揭示瑞利分布是偏態(tài)單峰分布，在第二章第一節(jié)和文獻(xiàn)[8]中都指出觀測的結(jié)果與此理論預(yù)言的結(jié)果是吻合的。附帶指出，沿用統(tǒng)計(jì)力學(xué)思路也能得出同一結(jié)果，在1987年4月號的“新疆氣象”上就給出了有關(guān)的證明步驟。從表面上看，這種論證的過程比熵最大的思路要長一些，但是那里的物理假設(shè)、物理模型都講的更為清楚。這些殊途同歸的結(jié)果，使我們對這個(gè)物理模型更加信任。限于篇幅，這里就不進(jìn)一步闡述了。在總結(jié)云滴譜的推導(dǎo)過程時(shí)應(yīng)當(dāng)看到，除了引入“表面自由能”這一新的著眼點(diǎn)外我們還引用了求變量的函數(shù)的概率分布的思路。我們知道表面自由能服從負(fù)指數(shù)分布，這與偏態(tài)單峰的分布是不同的，可是利用表面積與半徑的非線性關(guān)系經(jīng)過變換后求得的關(guān)于云滴半徑的分布函數(shù)就成了偏態(tài)單峰分布了(參見圖2.1)。有了變量的函數(shù)的分布的思路后，就會(huì)在利用附錄C提供的分布函數(shù)時(shí)又增加了很多靈活性，也許將來關(guān)于降水元的線徑呈負(fù)指數(shù)分布問題，可以沿此思路而找到求解途徑(當(dāng)然，占首位的仍然是其物理模型)?！?其他上面已經(jīng)就最大熵原理如何引出氣象學(xué)中的若干分布函數(shù)作了不少討論，但是與第二章中我們收集(也僅是初步)的氣象學(xué)中的分布函數(shù)相比(有30多個(gè))，這僅是一小部分。這說明我們還余有不少問題至今尚未從最大熵原理角度予以理論說明。這一節(jié)我們要就另一些從最大熵原理也易于解釋的分布作簡要說明。另外，還就找出分布函數(shù)后如何擴(kuò)大成果、推廣應(yīng)用等問題作些討論。5．1其他的負(fù)指數(shù)分布在第二章和附錄B中，指出了風(fēng)速在全球大氣質(zhì)量中的分布、比濕在全球大氣質(zhì)量中的分布、位能在全球大氣質(zhì)量中的分布都是負(fù)指數(shù)分布型的。依據(jù)前幾節(jié)的討論，只要在承認(rèn)對應(yīng)的熵達(dá)到極大值之外還承認(rèn)風(fēng)速的全球平均值為給定值、全球大氣中的水汽總質(zhì)量守恒、全球大氣的總位能守恒，就可以沿熵原理得出對應(yīng)的負(fù)指數(shù)分布。對此我們就不一一細(xì)說了。關(guān)于平均風(fēng)速為給定(固定)值的提法，我們想補(bǔ)充一句：這與平均動(dòng)能為固定值的提法是不等價(jià)的(人們似乎更樂于接受關(guān)于動(dòng)能的提法而不是風(fēng)速)。水汽總質(zhì)量守恒的提法不僅與平均比濕為固定值的假設(shè)等價(jià)，從而導(dǎo)致比濕為負(fù)指數(shù)分布，而且由于水汽的汽化熱隨溫度變化很小(可視為常數(shù))，同樣推出大氣的潛熱能也服從負(fù)指數(shù)分布。附帶指出，由于內(nèi)能與溫度(絕對溫標(biāo)下的)成正比，因而前面論證了溫度場為均勻分布也就自然地等于論證了內(nèi)能也符合均勻分布。5．2其他的引申出采的分布當(dāng)已知某變量服從某種分布后，常?？梢酝ㄟ^不同的途徑又引申出另一與它有關(guān)的變量的分布。這里介紹幾個(gè)。動(dòng)能的分布函數(shù)動(dòng)能是與風(fēng)速的平方成正比的，在第二章就已經(jīng)利用求隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的辦法，從風(fēng)速分布求出了動(dòng)能分布。如果大家認(rèn)為前面關(guān)于風(fēng)速分布的物理思路可接受，那么第二章導(dǎo)得的動(dòng)能分布也就成為說明動(dòng)能分布原因的一個(gè)組成部分了。n次降水過程的總降水的概率分布前面已經(jīng)論證了一次降水過程在某地(固定的任一地點(diǎn))造成的降水量服從負(fù)指數(shù)分布。n次降水的總量當(dāng)然是各次降水的合計(jì)值，問題是這個(gè)新變量(其合計(jì)值)的概率分布應(yīng)當(dāng)是什么。在概率論中[10]，我們知道如果n個(gè)變量互相獨(dú)立，又都遵守參數(shù)值也都相同的Gamma分布，那么n個(gè)變量的合計(jì)值仍然是Gamma分布。由于負(fù)指數(shù)分布可以視為Gamma分布的特例，所以n個(gè)具有同一參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布的降水量的合計(jì)值應(yīng)服從Gamma分布。具體地講，如降水量x遵守如下負(fù)指數(shù)型的概率密度f(x)分布 則n次降水的合計(jì)值y應(yīng)遵守如下概率密度分布f(y)這里u是一次降水的平均值，而上式正是以n和u為參數(shù)的Gamma分布。它有時(shí)也稱為皮耳遜Ⅲ型分布，并在水文學(xué)中廣為應(yīng)用。在氣象上人們常分析出旬、月的降水(對應(yīng)于幾次降水的合計(jì)值)服從Gamma分布的原因概出于此?？傊坏┪覀儚淖畲箪卦韺?dǎo)出一次降水過程的雨量服從負(fù)指數(shù)分布，那么也就必然導(dǎo)致n次降水合計(jì)值應(yīng)服從camma分布，這樣關(guān)于降水概率分布的知識就系統(tǒng)化了。1981年5月號的新疆氣象雜志上曾登載過n次降水服從Gamma分布的事例，這里不具體介紹了。Gamrna分布在n>l時(shí)為偏態(tài)單峰分布(圖略)，但是如果n很大(如>100)，則它與正態(tài)分布就十分接近，而可以用正態(tài)分布代替它[11]。由此看來，多雨地區(qū)的年降水應(yīng)當(dāng)是近于正態(tài)分布的。這樣從過程雨量的負(fù)指數(shù)分布到n次降水的Gamma分布，再到n充分大時(shí)的正態(tài)分布，就組成一個(gè)有內(nèi)在邏輯關(guān)系的分布簇。對于其他的各個(gè)具體的分布函數(shù)，只要從最大熵原理闡明應(yīng)當(dāng)服從某種特定分布，并且同時(shí)證實(shí)確實(shí)如此，那么就在氣象園地中找到了一個(gè)較為牢靠的基石。我們從這個(gè)基石出發(fā)，可以根據(jù)不同的氣象含義和不同的需要，進(jìn)而導(dǎo)出一系列