排列與組合最全最詳細(xì)最經(jīng)典練習(xí)題

71/71排列與組合

(一)排列

學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

（2）了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；

（3）掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列數(shù)；

（4）會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；

（5）通過對排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

例題分析

例1、用0到9這十個數(shù)字．可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

分析：

這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶數(shù)，個位數(shù)是2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）．由此解法一與二．

如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三．

如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四．

解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有個當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有（個）．

∴沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

解法2：

當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，同解一有個；當(dāng)個位數(shù)上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：個

∴沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

個．

解法3：

千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有個

干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有個

∴沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個．

解法4：

將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)．

沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個．

其中四位奇數(shù)有

∴沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個

說明；

這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認(rèn)真體會每種解法的實(shí)質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用．

例2、三個女生和五個男生排成一排

（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解：

（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有對種不同的排法，因此共有種不同的排法

（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔．這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法．

（3）解法1：（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬荒芘排詢啥酥荒芴暨x5個男生中的2個，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法．

解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法．

解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有種不同的排法，所以共有種不同的排法，（4）解法1：因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法．因此共有種不同的排法．

解法2：3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．

因此共有種不同的排法．

說明：

解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件．

若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素．

間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快．

捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用．

例3、排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解：

（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：＝43200.

（2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：＝2880種方法。

說明：

對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有，再排舞蹈節(jié)目有，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。

例4、某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法．

分析與解法1：

6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：（種）．

分析與解法2：

根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：

（1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有種；

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法種；

（3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法種；

（4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：（種）．

分析與解法3：

根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況：

（1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)，有種排法；

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法；

（3）體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法；

（4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法．

上述21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數(shù)為（種）．

下面再提出一個問題，請予解答．

問題：有6個人排隊(duì)，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法．

請讀者完成此題．

說明：

解答排列、組合問題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗(yàn)所解答問題正確與否的行之有效的方法

檢測題

1．6人站一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有_________種不同的排法．

2．5名男生和4名女生排成一隊(duì)，其中女生必須排在一起，一共有________種不同的排法．

3．a(chǎn),b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有_______種．

4．0，1，2，3，4，5這六個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，將這些四位數(shù)從小到大排列起來，第71個數(shù)是．

5．下列各式中與排列數(shù)相等的是（

）．

A．

B．

C．

D．

6．，且，則等于（

）．

A．B．C．D．

7．若，則的個位數(shù)字是（

）．

A．8B．5

C．3D．0

8．7名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（

）．

A．720種B．360種C．1440種D．120種

9．求和.

10．5名男生、2名女生站成一排照像：

（1）兩名女生要在兩端，有多少種不同的站法？

（2）兩名女生都不站在兩端，有多少不同的站法？

（3）兩名女生要相鄰，有多少種不同的站法？

（4）兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？

（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？

（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少種不同的站法？

參考答案:

1．504

2．17280

3．9

4．3140

5．D

6.D

7．C

8．C

9．∵，.

∴

10．

（1）兩端的兩個位置，女生任意排，中間的五個位置男生任意排；（種）；

（2）中間的五個位置任選兩個排女生，其余五個位置任意排男生；（種）；

（3）把兩名女生當(dāng)作一個元素，于是對六個元素任意排，然后解決兩個女生的任意排列；

（種）；

（4）把男生任意全排列，然后在六個空中（包括兩端）有順序地插入兩名女生；

（種）；

（5）七個位置中任選五個排男生問題就已解決，因?yàn)榱粝聝蓚€位置女生排法是既定的；

（種）；

（6）采用排除法，在七個人的全排列中，去掉女生甲在左端的個，再去掉女生乙在右端的個，但女生甲在左端同時女生乙在右端的種排除了兩次，要找回來一次．（種）．（二）組合

學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；

（2）掌握組合數(shù)的計(jì)算公式、組合數(shù)的性質(zhì)以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系，并能運(yùn)用這些知識解決一些簡單的組合應(yīng)用題；

（3）通過對排列、組合綜合問題的求解與剖析，培養(yǎng)按事件發(fā)生的過程進(jìn)行熟練地分類與分步，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的思維習(xí)慣．培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．

（4）通過對比排列學(xué)習(xí)組合知識，掌握類比的學(xué)習(xí)方法，提高分析問題和解決問題的能力，并培養(yǎng)用對立統(tǒng)一規(guī)律和辯證唯物主義思想解決實(shí)際問題．

例題分析第一階梯

例1、計(jì)算：（1）；

（2）．

分析：

本題如果直接計(jì)算組合數(shù)，運(yùn)算比較繁．本題應(yīng)努力在式子中創(chuàng)造條件使用組合數(shù)的性質(zhì)，第（1）題中，，經(jīng)此變形后，可繼續(xù)使用組合數(shù)性質(zhì)．第（2）題有兩個考慮途徑，一方面可以抓住項(xiàng)的變形，求和；另一方面，變形，接著，…，反復(fù)使用公式．

解：

（1）原式．

（2）原式．

另一方法是：

原式．

說明：

利用第（2）小題的手段，我們可以得到組合數(shù)的一個常用的結(jié)論：

．

左邊右邊．

例2、從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種？

（1）A、B必須當(dāng)選；

（2）A、B都不當(dāng)選；

（3）A、B不全當(dāng)選；

（4）至少有2名女生當(dāng)選；

（5）選出5名同學(xué)，讓他們分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任．

分析：

本題是組合應(yīng)用題中典型的選代表問題，通過一些明確的條件對結(jié)果進(jìn)行限制．問題（1）A、B必須當(dāng)選，它們就不必再考慮，只要再選出余下的代表．問題（2）A、B必須不當(dāng)選，實(shí)際上就是去掉這幾個元素不予考慮．問題（3）A、B不全當(dāng)選可以從正反兩方面考慮．從正面考慮可以按A、B全不選和A、B選一個分類，從反面考慮可用間接法，去掉A、B全選的情況．問題（4）可以按女生選2人、3人…進(jìn)行分類，當(dāng)然也可以從反面考慮用間接法．問題（5）可以先處理特殊位置的體育班委與文娛班委．

解：

（1）除A、B選出外，從其它10個人中再選3人，共有的選法種數(shù)為（種）．

（2）去掉A、B，從其它10人中任選5人，共有的選法種數(shù)為：（種）．

（3）按A、B的選取情況進(jìn)行分類：A、B全不選的方法數(shù)為，A、B選1人的方法數(shù)為，共有選法（種）．

本小題的另一解法：從12人中選5人的選法中去掉A、B全選的情況，所有選法只有（種）．

方法一：按女同學(xué)的選取情況分類：

選2名女同學(xué)、3名男同學(xué)；選3名女同學(xué)2名男同學(xué)；選4名女同學(xué)1名男同學(xué)；選5名女同學(xué)．所有選法數(shù)為：

（種）．

方法二：從反面考慮，用間接方法，去掉女同學(xué)不選或選1人的情況，所有方法總數(shù)為

（種）．

（5）選出一個男生擔(dān)任體育班委，再選出1名女生擔(dān)任文娛班委，剩下的10人中任取3人擔(dān)任其它3個班委．用分步計(jì)數(shù)原理可得到所有方法總數(shù)為：（種）．

說明：

對于本題第（4）小題，“至少有2名女生當(dāng)選”，我們可能還有另外一種考慮，先從5名女生中選出2人，然后在剩下的10人中任選3人，得到的方法數(shù)為（種），與上述答案比較，結(jié)果明顯增多了，為什么會出現(xiàn)以上情況？上述步驟得到的選取結(jié)果雖然符合了有2名女生的要求，但在計(jì)數(shù)時出現(xiàn)了重復(fù)，比如先選兩女生為a、b，剩下的10人中如果又選出了女生c，與先選兩名女生為a、c后又選出了女生b，出現(xiàn)了同樣的結(jié)果，因?yàn)檫x取問題僅考慮選出了哪些元素，至于先選后選并不考慮．這里需要我們引起注意的是以后遇到“至少”類型的問題，一般采用分類法或間接法解決，在選取問題中盡可能避免出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)，我們還可以進(jìn)一步從下一個例子加深理解．

例3、空間10個點(diǎn)，其中有5點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，其余無三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，問以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成多少個四面體？

分析：

本題如果從正面考慮可以按5個共面的點(diǎn)的選用情況進(jìn)行分類．如果從反面考慮用間接法，只要去掉從5個共面的點(diǎn)中任取四個點(diǎn)的情況，因?yàn)楣裁娴乃膫€點(diǎn)不能構(gòu)成四面體的四個頂點(diǎn)．

解：方法一：可以按共面的點(diǎn)取0個、1個、2個、3個進(jìn)行分類，得到所有的取法總數(shù)為：

個．

方法二：從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4個點(diǎn)全部取自共面的5個點(diǎn)的情況，得到所有構(gòu)成四面體的方法數(shù)為：（個）．

說明：

以幾何為背景的此類應(yīng)用題中，間接方法用得比較多，在考慮去掉不符合要求的選法時，既不能多去，也不能少去，此外有時還需去掉一些重復(fù)計(jì)數(shù)的情況．比如：四面體的頂點(diǎn)和各條棱的中點(diǎn)共10個點(diǎn)，任取其中的4個點(diǎn)，其中不共面的取法有多少種？我們可以從10個點(diǎn)中任取4點(diǎn)．共有種取法，然后去掉下面幾種情況，4個點(diǎn)取在四面體的同一個面上，有種取法；四個中點(diǎn)連成平行四邊形的情形，有3種取法，還有3點(diǎn)在四面體的一條棱上，另一點(diǎn)是其它點(diǎn)，不考慮已計(jì)算的四點(diǎn)在四面體同一面上的情況，共有6種取法．用間接法可得不同的取法共有：（種）．

例4、在1，3，5，7，9中任取3個數(shù)字，在0，2，4，6，8中任取兩個數(shù)字，可組成多少個不同的五位偶數(shù)．

分析：

因?yàn)榱悴荒茏魇孜粩?shù)，所以是特殊元素，因此可以根據(jù)選零不選零為分類標(biāo)準(zhǔn)。

解：第一類：五位數(shù)中不含數(shù)字零。

第一步：選出5個數(shù)字，共有種選法．

第二步：排成偶數(shù)—先排末位數(shù)，有種排法，再排其它四位數(shù)字，有種排法．

∴（個）

第二類：五位數(shù)中含有數(shù)字零．

第一步：選出5個數(shù)字，共有種選法。

第二步：排順序又可分為兩小類；

（1）末位排零，有種排列方法；

（2）末位不排零．這時本位數(shù)有種選法，而因?yàn)榱悴荒芘旁谑孜?，所以首位有種排法，其余3個數(shù)字則有種排法．

∴

∴符合條件的偶數(shù)個數(shù)為

（個）

說明：

本題也可以用間接法（即排除法）來解．請讀者自行完成．

例5、有12名劃船運(yùn)動員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，其余5人既會劃左舷也會劃右舷?，F(xiàn)在要從這12名運(yùn)動員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，有多少種不同的選法？

分析：

設(shè)集合A={只會劃左舷的3個人}，B={只會劃右舷的4個人}，C={既會劃左舷又會劃右舷的5個人}先分類，以集合A為基準(zhǔn)，劃左舷的3個人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。第①類，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在中選3人，即有種選法。因是分步問題，所以有種選法。第②類，劃左舷的人在A中選2人，有種選法，在C中選1人，有種選法，劃右舷的在中剩下的8個人中選3人，有種選法。因是分步問題，所以有種選法。類似地，第③類，有種選法。第④類有種選法。因?yàn)槭欠诸?，所以一共有種選法。

解：

種

答：一共有2174種不同選法．

說明：

這種比較復(fù)雜的在若干個集合中選取元素的問題，只要能運(yùn)用分類思想正確對所求選法分類，又能正確地根據(jù)題目要求合理地考察步驟，就可以順利地求得解．在分類時，要注意做到既不重復(fù)也不遺漏．

這里是以集合A為基準(zhǔn)進(jìn)行分類，也可以集合B或集合C為基準(zhǔn)進(jìn)行分類，其結(jié)果是相同的，但一般都選擇元素個數(shù)較少的集合作為基準(zhǔn)來分類，這樣可以減少分類，方便運(yùn)算．

例6、甲、乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方由1號隊(duì)員出賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊(duì)員比賽，…，直到一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程，試求所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種類．

分析與解：

若甲隊(duì)取勝，比賽結(jié)果可能是，，，，，，．

7：0只有一個過程；

7：1共8場，乙隊(duì)在前7場中勝一場，有種不同的過程；

7：2共9場，乙隊(duì)在前8場中勝二場，有種不同的過程；

7：3共10場，乙隊(duì)在前9場中勝三場，有種不同的過程；

………………

∴甲隊(duì)取勝的過程種數(shù)是：

類似乙隊(duì)取勝也有同樣的過程種數(shù)

∴共有種不同的比賽過程．

小結(jié)：

一個排列與另一個排列的區(qū)別有兩點(diǎn)，一點(diǎn)是元素不同，另一點(diǎn)是順序不同（在元素相同時）；而一個組合與另一個組合不同點(diǎn)僅是元素不同，由此可知，排列是有順序問題，組合是無順序問題．本題是一應(yīng)用問題，根據(jù)實(shí)際確定是組合問題．

例7、從1到9的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)，試問：

（1）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？

（2）上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個？

（3）（1）中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個？

（4）（1）中任意兩偶然都不相鄰的七位數(shù)有幾個？

分析與解：

（l）分步完成：第一步在4個偶數(shù)中取3個，可有種情況；第二步在5個奇數(shù)中取4個，可有種情況；第三步3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進(jìn)行排列，可有種情況，所以符合題意的七位數(shù)有個．

（2）上述七位數(shù)中，三個偶數(shù)排在一起的有個．

（3）上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在一起的有個．

（4）上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個奇數(shù)排好，再將3個偶數(shù)分別插入5個空檔，共有

個．

說明；

對于有限制條件的排列問題，?？煞植竭M(jìn)行，先組合再排列，這是乘法原理的典型應(yīng)用．

例8、6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

（1）一堆一本，一堆兩本，一堆三本；

（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；

（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；

（4）平均分給甲、乙、丙三人；

（5）平均分成三堆．

分析與解：

（1）先在6本書中任取一本．作為一本一堆，有種取法，再從余下的五本書中任取兩本，作為兩本一堆，有種取法，再后從余下三本取三本作為一堆，有種取法，故共有分法種．

（2）由（1）知．分成三堆的方法有種，而每種分組方法僅對應(yīng)一種分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦為種．

（3）由（1）知，分成三堆的方法有種，但每一種分組方法又有不同的分配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有（種）．

（4）3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書本中任取出2本的方法有種，甲不論用哪一種方法取得2本書后，已再從余下的4本書中取書有種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有種方法，所以一共有種方法．

（5）把6本不同的書分成三堆，每推二本與把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人二本的區(qū)別在于，后者相當(dāng)于把六本不同的書，平均分成三難后，再把每次分得的三堆書分給甲、乙、丙三個人．因此，設(shè)把六本不同的書，平均分成三堆的方法有種，那么把六本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)種，由（4）知，把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有種．所以，則（種）

說明：

本問題中的每一個小題都提出了一種類型問題，搞清類型的歸屬對今后解題大有補(bǔ)益，其中

（1）屬非均勻分組問題．（2）屬非均勻定向分配問題．

（3）屬非均勻不定向分配問題．（4）屬均勻不定向分配問題．

（5）屬均勻分組問題．

例9、有6本不同的書，分給甲、乙、丙三個人．

（1）如果每人得兩本，有多少種不同的分法；

（2）如果一個人得一本，一個人得2本，一個人得3本有多少種不同的分法；

（3）如果把這6本書分成三堆，每堆兩本有多少種不同分法．

分析與解：

（1）假設(shè)甲先拿，則甲從6本不同的書中選取2本有種方法，不論甲取走的是哪兩本書，乙再去取書時只能有種，此時剩下的兩本書自然給丙，就只有種方法，由乘法原理得一共有種不同分法．

（2）先假設(shè)甲得1本，乙得2本，丙得3本則有種法，一共有種不同的分法．

（3）把6本書分成三堆，每堆2本，與次序無關(guān)．

所以一共有種不同分法．

說明：

本題的三個問題要注意區(qū)別和聯(lián)系，不要混淆．

6本書分給甲、乙、丙三人每人兩本和分成3堆每堆兩本是有區(qū)別的，前者雖然也屬均分問題，但要甲、乙、丙三個人一個人一個人的去拿，而后者屬均分問題又是無序問題，所以必須除以．一般地，個元素中有個元素（）均分成m堆一定要除以．

例如：有17個桃，分成8堆，其中一堆一個，一堆4個，另外6堆每堆都是2個，有多少種不同的分法．

一共有種不同分法．

檢測題

選擇題

1．?dāng)S下4枚編了號的硬幣，至少有2枚正面朝上的情況有（

）．

A．種B．種

C．種D．不同于A、B、C的結(jié)論

2．從A、B、C、D、E五名學(xué)生中選出四名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語競賽，其中A不參加物理、化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（

）．

A．24B．48C．121D．72

3．?dāng)?shù)字不重復(fù)，且個位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于2的四位數(shù)的個數(shù)為（

）．

A．672B．784C．840D．896

4．…，為100條共面且不同的直線，若其中編號為的直線互相平行，編號為4k-3的直線都過某定點(diǎn)A．則這100條直線的交點(diǎn)個數(shù)最多為（

）．

A．4350B．4351C．4900D．4901

填空題

1．在數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中，任取3個不同的數(shù)字為系數(shù)a,b,c，組成二次函數(shù)y=ax2+bx+c，則一共可以組成__________個不同的解析式？

2．甲、乙、丙、丁四個公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包一項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，則共有_________種承包方式．

3．四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰好有一個空盒的放法共有______種．

4．某校乒乓球隊(duì)有男運(yùn)動員10人和女運(yùn)動員9人，選出男、女運(yùn)動員各3名參加三場混合雙打比賽（每名運(yùn)動員只限參加一場比賽），共有＿＿＿種不同的選賽方法．

解答題

1．有7本不同的書：（1）全部分給6個人，每人至少一本；（2）全部分給5個人，每人至少一本，求各有多少種不同的分法．

2．九張卡片分別寫著數(shù)字0，l，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果寫著6的卡片還能當(dāng)9用，問共可以組成多少個三位數(shù)？

參考答案：

選擇題：

1．A

2．D

3．C

4．B

填空題：

1．180

2．1680

3．144

4．3628800

解答題：

1．

（l）先取兩本書作為一份，其余每本書為一份，將這六份書分給6個人，有種分法

（2）有兩類辦法：一人得3本，其余4人各得一本，方法數(shù)為；兩人各得2本，其余3人各得一本，方法數(shù)為，所以所求方法種數(shù)為.

2．以是否取卡片6分成兩類，每類中再注意三位數(shù)中0不能在首位．

（l）不取卡片6，組成三位數(shù)的個數(shù)為；

（2）取卡片6，又分成兩類，

（i）當(dāng)6用時組成的三位數(shù)的個數(shù)為；

（ii）當(dāng)9用時同樣有個．

根據(jù)加法原理得所求三位數(shù)的個數(shù)為：.排列與組合一、教材分析:

1．基本概念:排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號表示.

2．基本公式:

=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=(規(guī)定0!=1).

=(規(guī)定=1)

.

3．排列組合的解題原則:

（1）深入弄清問題的情景

要深入弄清問題的情景，切實(shí)把握各因素之間的相互關(guān)系，不可分析不透，就用或亂套一氣.具體地說:首先要弄清有無“順序”的要求，如果有“順序”的要求，用，如果無“順序”要求，就用；其次，要弄清目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，是分步達(dá)到的，還是分類完成的，前者用分步計(jì)數(shù)原理，后者用分類計(jì)數(shù)原理.事實(shí)上，一個復(fù)雜的問題，往往是分類和分步交織在一起的，這就要準(zhǔn)確分清，哪一步用分步計(jì)數(shù)原理，哪一步用分類計(jì)數(shù)原理.

（2）兩個方向的解題途徑

對于較復(fù)雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是正面直接解，一個是反面排除法.前者是指按要求，一點(diǎn)一點(diǎn)選出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.

這兩個途徑的優(yōu)劣因題而異.一般地，一道題目“正面解”很繁瑣時，“反面排除”往往簡單，反之亦然.

（3）分析問題的兩個方向

分析問題時，我們往往從元素和位置兩個方向插手，一般情況，從算理上說，從特殊元素和特殊位置兩個方向都能解決問題.但具體問題從特元與特位上作對比，則可能大相徑庭，差距很大。因此平常做題時，這兩種訓(xùn)練都要進(jìn)行.

（4）特別強(qiáng)調(diào)一題多解

一題多解，可以從不同角度分析同一問題，加深對分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的深刻認(rèn)識與體會，同時，一題多解也是解排列組合問題最有效，最主要的檢驗(yàn)方法.

4．對常見問題分類總結(jié)

關(guān)于數(shù)字問題，要注意“0”這個特元，關(guān)于人或物的排列問題，要注意元素相鄰，往往采取“捆綁法”看成一個整體，元素不相鄰，則往往采取“插空”的方法.

二、例題分析

例1．

（1）用0，1，2，3，4組合多少無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

（2）這四位數(shù)中能被3整除的數(shù)有多少個？

解:（1）直接分類法:

①特元法:

②特位法:先考慮首位，可以從1，2，3，4四個數(shù)字中任取一個，共種方法，再考慮其它三個位置，可以從剩下的四個數(shù)字中任取3個.即種方法，則共有=96種方法，即96個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

間接排除法:先從五個數(shù)字中任取四個排成四位數(shù):，再排除不符合要求的四位數(shù)即0在首位的四位數(shù):.則共有=96個.

（2）能被3整除的四位數(shù)應(yīng)該是四位數(shù)字之和為3的倍數(shù).

分析:因?yàn)椴缓?時，1+2+3+4=10.10不是3的倍數(shù)，所以組成的四位數(shù)必須有0，即0，1，2，3或0，2，3，4，共有2()=36個.

例2．用0，1，2，3，4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)從小到大依次排列.（1）第49個數(shù)是多少？

（2）23140是第幾個數(shù)？

解:

（1）首位是1，2，3，4組成的五位數(shù)各24個.所以第49個數(shù)是首位為3的最小的一個自然數(shù)，即30124.

（2）首位為1組成=24個數(shù)；

首位為2，第二位為0，1共組成=12個數(shù).

首位為2，第二位為3，第三位為0的數(shù)共=2個；首位為2，第二位為3，第三位為1，第四位為0的數(shù)有1個，為23104.

由分類計(jì)數(shù)原理:+++1=39.

按照從小到大的順序排列23104后面的五位數(shù)就是23140，所以23140是第40個數(shù).

例3．5男6女排成一列，問

（1）5男排在一起有多少種不同排法？

（2）5男都不排在一起有多少種排法？

（3）5男每兩個不排在一起有多少種排法？

（4）男女相互間隔有多少種不同的排法？

解:

（1）先把5男看成一個整體，得，5男之間排列有順序問題，得，共種.

（2）全排列除去5男排在一起即為所求，得.

（3）因?yàn)槟猩藬?shù)少于女生人數(shù)，利用男生插女生空的方法解決問題，得.

（4）分析利用男生插女生空的方法，但要保證兩女生不能挨在一起，得.

例4．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3個單位為職工體檢，每單位分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方案有多少種？

解:3名醫(yī)生分到3個單位有種方案，6名護(hù)士分到3個單位，每個單位2名有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有=540種方案.

例5．四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個點(diǎn)，可以組成多少個不同的三棱錐？

解:組成三棱錐，只需4個點(diǎn)不共面，考慮到直接法有困難，故采用間接排除法.

從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)有中，其中4個點(diǎn)共面有三類情況:①4個點(diǎn)位于四面體的同一面中，有4種；②取任一條棱上的3個點(diǎn)，及該棱對棱的中點(diǎn)，這四點(diǎn)共面共有6種；③由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個頂點(diǎn)共面有3種，所以不同的取法共有-4-6-3=141種.

例6．求證（1）；（2）

證明:

（1）

另一種解釋:對于含某元素a的(n+1)個元素中取m個元素的排列可分為兩類，一類是不含元素a的，有個；另一類是含元素a的，有m個，因此共有(+m)個，即+m=.

（2）

∴.

另一種解釋:對于含有某元素a的(n+1)個元素中取m個元素的組合可分為兩類，一類是不含元素a的，有個；另一類是含元素a的有個，因此共有(+)個，即.

三、課外練習(xí):

1．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）.

A、24個B、30個C、40個D、60個

2．5男2女排成一排，若女生不能排在兩端，且又要相鄰，不同的排法有（）.

A、480種B、960種C、720種D、1440種

3．某天課表中6節(jié)課需從4門文科，4門理科中選出6門課程排出，其中文科交叉排，且一、二節(jié)必須排語文、數(shù)學(xué)，則不同的排法共有_________種.

4．在50件產(chǎn)品中有4件是次品，其余均合格，從中任意取出5種，至少3件是次品的取法共有________種.

5.正方體的8個頂點(diǎn)可確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為________，以這些頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有__________個.

參考答案:

1．A2.B

3.72.先選出另兩門文科，理科有種，又因?yàn)槲目平徊媲乙弧⒍?jié)必須排語文，數(shù)學(xué)有種，所以有=72種.

4．=4186.

5．①+12=20②-2×6=58測試選擇題

1．不等式>3的解集是（）

A、{x|x>3}B、{x|x>4,x∈N}C、{x|3<x<4,x∈N}D、{x|x>3,x∈N}2．?dāng)?shù)（）

A、一定是奇數(shù)B、一定是偶數(shù)

C、奇偶性由n的奇偶性來決定D、以上結(jié)論都不對3．用0，1，2，3，這四個數(shù)字組成個位數(shù)不是1的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有（）個

A、16B、14C、12D、104．要排一個有5個獨(dú)唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排頭，并且任何2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同的排法種數(shù)是（）

A、B、C、D、5．若直線方程Ax+By=0的系數(shù)A、B可以從0，1，2，3，6，7等六個數(shù)字中取不同的數(shù)值，則這些方程所表示的直線條數(shù)是（）

A、-2B、C、+2D、6．不同的5種商品在貨架上排成一排，其中a、b兩種必須排在一起，而c、d兩種不能排在一起，則不同的排法共有（）

A、12種B、20種C、24種D、48種7．有5列火車停在某車站并行的5條軌道上，若快車A不能停在第3道上，貨車B不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有（）

A、78種B、72種C、120種D、96種8．用0，1,2，3，4，5，六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)的個數(shù)是（）

A、B、C、D、9．由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）

A、210個B、300個C、464個D、600個10．從全班50名學(xué)生中，選出6名三好學(xué)生，其中地區(qū)級1名，縣級2名，校級3名，求不同選法的種數(shù).對于這道題，甲列式子，乙列式子，丙列式子，其中所列式子（）

A、全正確B、僅甲、乙正確C、僅乙、丙正確D、僅甲、丙正確答案與解析答案：1、D2、B3、B4、C5、B6、C7、A8、A9、B10、A

解析：

1．選D．

2．選B．

3．選B．=14個．

4．選C．5個獨(dú)唱節(jié)目的排法是，舞蹈不需排在頭一個節(jié)目，又需任何兩個舞蹈節(jié)目不連排，只要把舞蹈節(jié)目插入獨(dú)唱節(jié)目構(gòu)成的5個空隙中即可，即舞蹈的排法是，故選擇C．

5．選B．先考慮非零的5個數(shù)字，它們可以組成不同的直線是-2條，再加入A、B中恰有一個不為零時所表示的兩條直線，故選B．

6．2·(4!-2·3!)=24，故本題應(yīng)選C．

7．不考慮不能?？康能嚨?，5輛車共有5！=120種停法．A停在3道上的停法：4！=24種；

B停在1道上的停法：4！=24種；AB分別停在3道、1道上的停法：3！=6種．

故符合題意的停法：120-24-24+6=78種．故本題應(yīng)選A．

8．末位只能取1，3，5，只有3種可能，首位又不能取0，只有4種可能，共有3·4·種可能，故本題應(yīng)選A．

9．由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)共有個，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字與十位數(shù)字小于個位數(shù)字的個數(shù)是一樣的．因此滿足條件的六位數(shù)共有：=300個，故本題應(yīng)選B．

10．解法1：種．解法2：種．解法3：種．故本題應(yīng)選A．

課外拓展

排列、排列數(shù)公式·疑難問題解析1．理解排列的概念，必須注意以下幾點(diǎn)：

(1)定義中規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不能再取了，否則就變成了取出兩個相同的元素．

(2)在定義中，包含兩方面的內(nèi)容：

第一是選元素．“從n個不同元素中任取m個不同元素”，要注意被取的元素是什么？取出的元素又是什么？即明確問題中的n和m各是什么.

第二是排順序．“將取出的m個元素按照一定的順序排成一列．”有排順序的要求是排列問題中的本質(zhì)屬性．

(3)由于是從n個不同元素中取出m個不同元素，因此必有m≤n，當(dāng)m=n時，即所有元素都取出的排列，這種特殊的排列叫做全排列．

(4)定義中的“一定順序”，是與位置有關(guān)的問題．對有些具體情況，如取出數(shù)字1，2，3組成三位數(shù)，就與位置有關(guān)．因123和132是不同的三位數(shù)．但如取出數(shù)字1，2，3考慮它們的和，則與位置無關(guān)．

2．寫出所有排列的方法

排列是指具體的排法．如一個排列ABC，是指A排在左端，B排在中間，C排在右端這一具體排法，在寫具體的排列時，必須按一定規(guī)律寫，否則容易造成重復(fù)或遺漏．我們常用畫樹形圖的方法逐一寫出所有排列．

如：寫出A，B，C，D四個元素中任取兩個元素的所有排列．

所有排列為AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共有12種不同的排列．

3．相同排列

從排列定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同．例如，AB和BA，雖然元素相同，但由于順序不同，所以就不是兩個相同的排列，而是兩個不同的排列．

4．排列問題的判斷

如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就看從n個不同元素中取出的m個元素是有序還是無序，有序是排列，無序就不是排列．例如，從2，3，7，21四個數(shù)中任取兩個數(shù)相加，可得到多少個不同的和．這四個數(shù)中任取兩個數(shù)出來以后做加法，因?yàn)榧臃M足交換律，2+3=3+2，它們的和與順序無關(guān)，因此就不是排列問題．

如果從上面這四個數(shù)中任取兩個相減，一共有多少個不同的差．因?yàn)?-2≠2-3，這里有被減數(shù)和減數(shù)的區(qū)別，取出的兩個數(shù)2與3就與順序有關(guān)了，這就屬排列問題．

5．排列與排列數(shù)

要分清“排列”和“排列數(shù)”這兩個不同的概念，一個排列是指從n個不同元素中，任取m個元素，按照一定順序排成一列的一種具體排法，它不是數(shù)．而排列數(shù)是指從n個不同元素中取m個不同元素的所有排列的個數(shù)，它是一個數(shù)．如從a，b，c中任取兩個元素的排列可以有以下6種：ab、ac、ba、bc、ca、cb，每一種都是一個排列，而數(shù)字6就是排列數(shù)．

6．關(guān)于排列數(shù)公式

(1)排列數(shù)公式Anm=n(n-1)…(n-m+1)，其特點(diǎn)是：從自然數(shù)n開始，后一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1，最后一個因數(shù)是n-m+1，共m個因數(shù)相乘．

(2)當(dāng)m=n時，排列數(shù)公式為Ann=n！，相應(yīng)地從n個不同元素中將元素全部取出的一個排列是全排列．

7．關(guān)于排列的應(yīng)用題

在解關(guān)于排列的應(yīng)用題時，要特別注意如下幾點(diǎn)：

(1)弄清題意．要明確題目中的事件是什么，可以通過怎樣的程序來完成這個事件，進(jìn)而是采用相應(yīng)的計(jì)算方法，不能亂套公式，盲目地計(jì)算．

(2)弄清問題的限制條件．注意特殊元素和特殊的位置，必要時可畫出圖形幫助思考．

(3)合理的分類(分類計(jì)數(shù)原理)和分步(分步計(jì)數(shù)原理)，即通過討論來解決問題．

在排列問題中，常分如下兩類基本的方法：

(1)直接法．從條件出發(fā)，直接考慮符合條件的排列數(shù)；

(2)間接法．先不考慮限制條件，求出所有排列數(shù)，然后再從中減去不符合條件的排列數(shù)(排除法)．組合、組合數(shù)公式·疑難問題解析1．組合與排列的聯(lián)系和區(qū)別

相同點(diǎn)：排列和組合都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素．

不同點(diǎn)：排列與組合的區(qū)別在于元素取出以后，是“排成一排”，還是“組成一組”，其實(shí)質(zhì)就是取出的元素是不是存在順序上的差異．因此，區(qū)分排列問題和組合問題的主要標(biāo)志是：是否與元素的排列順序有關(guān)．有順序的是排列問題，無順序的則是組合問題．例如123和321，132是不同的排列，但它們都是相同的組合．再如兩人互通一次信是排列問題，互握一次手則是組合問題．

2．組合與組合數(shù)

和排列與排列數(shù)之間的區(qū)別一樣，“組合”和“組合數(shù)”是兩個不同的概念．一個組合是指“從n不同元素中，任取m(m≤n)個元素，并成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)，例如，從3個元素a、b、c每次取出2個元素的組合為：ab，ac，bc，其中每一種都叫一個組合，共3種，而數(shù)字3就是組合數(shù)．

3．組合應(yīng)用題

(1)眾所周知，有順序要求的是排列問題，無順序要求的是組合問題．重要的是對“順序”的理解．什么叫做有順序，這需要通過解題來加深理解．

(2)設(shè)計(jì)好完成事件的程序，并靈活應(yīng)用分類處理的方法來處理復(fù)雜的問題．在分類時要注意做到不重復(fù)、不遺漏．組合數(shù)的兩個性質(zhì)·疑難問題解析1．對組合數(shù)的兩個性質(zhì)的理解.

(1)要能利用組合數(shù)的意義來理解上述兩項(xiàng)性質(zhì).

因?yàn)閺膎個不同的元素中取出m元素后，就剩下n-m個，因此從n個不同元素中取出m個元素的方法，與從n個元素中取出n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的，這就是性質(zhì)1揭示的意義.

在確定從n+1個元素中取m個元素的方法時，對于某一個元素，只存在取與不取的兩種可能.如果取這一個元素，則需從剩下的n個元素中取出m-1個元素，所以共有種。如果不取這一個元素，則需從剩下的n個元素中取出m個元素，所以共有種。

由分類計(jì)數(shù)原理，得：

上述推理過程中可以看成是對組合數(shù)兩個性質(zhì)的構(gòu)造性證明.這種方法不僅可以加深我們對公式的理解，而且也是證明組合恒等式等問題的一種重要思路.

(2)利用組合數(shù)及組合數(shù)的性質(zhì)可推出如下兩個常用結(jié)論.

(3)組合數(shù)的兩個性質(zhì)，(n≥m)

在有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算、化簡、證明等方面有著廣泛的應(yīng)用.

2．排列、組合的應(yīng)用問題

(1)排列應(yīng)用題

①無限制條件的簡單排列應(yīng)用題解法步驟

一轉(zhuǎn)化二求值，三作答。

②有附加條件的排列應(yīng)用題解法

(2)組合應(yīng)用題

①無限制條件的組合應(yīng)用題：解法步驟：一判斷二轉(zhuǎn)化三求值四作答.

②有限條件的組合應(yīng)用題.

a．類型：“含”與“不含”的問題；

b．解法：直接法、間接法、可將條件視為特殊元素與特殊位置，一般來講，特殊者優(yōu)先滿足，其余則“一視同仁”；

c．分類的依據(jù)：“至多”、“至少”.

(3)排列、組合綜合題

一般解法：先選元素后排列，同時注意按元素的性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分步.類型：分組、分配、群排列等.

3．解排列組合問題的基本思路：

(1)對帶有限制條件的排列問題，要掌握基本的解題思想方法.

①有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊的元素或特殊位置；

②元素必須相鄰的排列，可以先將相鄰的元素看作一個整體；

③元素不相鄰的排列，可以制造空檔插進(jìn)去；

④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序，排列后再利用規(guī)定順序的實(shí)情求結(jié)果.

(2)處理幾何中的計(jì)算問題，注意“對應(yīng)關(guān)系”，如不共線三點(diǎn)對一個三角形，不共面四點(diǎn)可以確定一個四面體等等，可借助圖形來幫助思考，并善于利用幾何性質(zhì)于解題中.

(3)對于有多個約束條件的問題，可以通過分析每個約束條件，然后再綜合考慮是分類或分步，或交替使用兩個原理，也可以先不考慮約束條件，然后扣除不符合條件的情況獲得結(jié)果.

(4)要注意正確理解“有且僅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等詞語的確切含意.

專題輔導(dǎo)

解排列組合問題的策略要正確解答排列組合問題，第一要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題還是組合問題、還是排列與組合混合問題；第二要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?，做到不重不漏；第三要?jì)算正確．下面將通過對若干例題的分析，探討解答排列組合問題的一些常見策略，供大家參考．

一、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略

對于帶有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素、特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，也就是解題過程中的一種主元思想．

例1：用0，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

A．24個B．30個C．40個D．60個

解：因組成的三位數(shù)為偶數(shù)，末尾的數(shù)字必須是偶數(shù)，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分為兩類：①當(dāng)0排在末尾時，有個；②當(dāng)0不排在末尾時，三位偶數(shù)有個，據(jù)加法原理，其中偶數(shù)共有+＝30個，選B．

若含有兩個或兩個以上的特殊位置或特殊元素，則應(yīng)使用集合的思想來考慮．這里僅舉以下幾例．

(1)無關(guān)型(兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集)

例2：用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?

解：由題意可知，兩個特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A＝{1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B＝{0}，A∩B＝．如圖1所示．末位上有種排法，首位上有種不同排法，其余位置有種不同排法．所以，組成的符合題意的六位數(shù)是＝120(個)．

說明：這個類型的題目，兩個特殊位置上所取的元素是無關(guān)的．先分別求出兩個特殊位置上的排列數(shù)(不需考慮順序)，再求出其余位置上的排列數(shù)，最后利用乘法原理，問題即可得到解決．

(2)包合型(兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系)

例3：用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)?

解：由題意可知，首位、末位是兩個特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合A＝{1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B＝{5}，BA，用圖2表示。末位上只能取5，有種取法，首位上雖然有五個元素可取但元素5已經(jīng)排在末位了，故只有種不同取法，其余四個位置上有種不同排法，所以組成的符合題意的六位數(shù)有＝96(個)．

說明：這個類型的題目，兩個特殊位置上所取的元素組成的集合具有包含關(guān)系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列數(shù)，再求另一個位置上的排列數(shù)，次求其它位置上排列數(shù)，最后利用乘法原理，問題就可解決．

(3)影響型(兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的．這類題型在高考中比較常見．)

例4：用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個?

解：由題意可知，首位和百位是兩個特殊位置，“3”是特殊元素．首位上可取元素的集合A＝{2，3，4，5}，百位上可取元素的集合B＝{1，2，4，5}．用圖3表示．從圖中可以看出，影響型可分成無關(guān)型和包含型．①首先考慮首位是3的五位數(shù)共有：個；②再考慮首位上不是3的五位數(shù)，由于要比20000大，∴首位上應(yīng)該是2、4、5中的任一個，種選擇；其次3應(yīng)排在千位、十位與個位三個位置中的某一個上，種選擇，最后還有三個數(shù)、三個位置，有種排法，于是首位上不是3的大于20000的五位數(shù)共有個．

綜上①②，知滿足題設(shè)條件的五位數(shù)共有：+＝78個．

二、解含有約束條件的排列組合問題一――采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連貫過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分步層次清楚，不重不漏．

例5：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個．

簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有種取法．這樣取出的四條直線構(gòu)成一個矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有·＝60個．

例6：在正方體的8個頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個面的中心及正方體的中心共27個點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個數(shù)是多少?

解：依題意，共線的三點(diǎn)組可分為三類：兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有＝28(個)；兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組共有＝3(個)；兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有＝18(個)．

所以總共有28+3+18＝49個．

例7：某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品(每只產(chǎn)品均可區(qū)分)．每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止．求第4只次品在第五次被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種?

解：先考慮第五次測試的產(chǎn)品有4種情況，在前四次測試中包含其余的3只次品和1只正品，它們排列的方法數(shù)是6。依據(jù)乘法原理得所求的不同情形有4×6＝576種．

有些排列組合問題元素多，取出的情況也有多種，對于這類問題常用的處理方法是：可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后計(jì)算總和．

例8：由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)的6位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）

A、210個B、300個C、464個D、600個

分析：按題意個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，符合題的分別有，，，，個．

合并總計(jì)，共有++++＝300(個)．

故選B．

說明：此題也可用定序問題縮位法求解，先考慮所有6位數(shù)：個，因個位數(shù)字須小于個位數(shù)字，故所求6位數(shù)有()/＝300(個)．

處理此類問題應(yīng)做到不重不漏．即每兩類的交集為空集，所有類的并集為合集．因此要求合理分類．

例9：已知集合A和集合B各含12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面的兩個條件的集合C的個數(shù)：

(1)CA∪B，且C中含有3個元素；

(2)C∩A≠（表示空集)。

分析：由題意知，屬于集合B而不屬于集合A元素個數(shù)為12-4＝8，因此滿足條件(1)、(2)的集合C可分為三類：第一類：含A中一個元素的集C有個；第二類：含A中二個元素的集C有個；第三類：含A中三個元素的集C有個。故所求集C的個數(shù)是++＝1084．

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，分別分配到不同的位置上，對于這類問題的常用解法，是先將元素逐一分組，然后再進(jìn)行全排列、但在分組時要注意是否為均勻分組．

例10：3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)土，不同的分配方法共有()．

A．90種B．180種C．270種D．540種

分析：(一)先分組、后分配：

第一步：將3名醫(yī)生分成3組，每組一人只有一種分法．第二步：將6名護(hù)士分成3組，每組2人有：()/種分法．第三步：將醫(yī)生3組及護(hù)士3組進(jìn)行搭配，使每組有一名醫(yī)生、2名護(hù)士，有種搭配方法．第四步：將所得的3組分配到3所不同的學(xué)校有種分配法．

故共有不同的分配方法：·＝540(種)．故選(D)．

分析：(二)第一步：先將6名護(hù)士分配到3所不同學(xué)校，每所學(xué)校2名，則有(種)分法．

第二步：再將3名醫(yī)生分配到3所不同的學(xué)校，每所學(xué)校1人，有種分法．

故共有=540(種)故選(D)．

說明：處理此類問題應(yīng)注意準(zhǔn)確分步．

三、解排列組臺混合問題——采用先選后排策略

對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略．

例11：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有_________種．

簡析：這是一個排列與組合的混合問題．因恰有一個空盒，所以必有一個盒子要放2個球，故可分兩步進(jìn)行：第一步選，從4個球中任選2個球，有種選法。從4個盒子中選出3個，有種選法；第二步排列，把選出的2個球視為一個元素，與其余的2個球共3個元素對選出的3個盒子作全排列，有種排法．所以滿足條件的放法共有=144種．

四、正難則反、等價轉(zhuǎn)化策略

對某些排列組合問題，當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時，可考慮從反面入手，將其等價轉(zhuǎn)化為一個較簡單的問題來處理．即采用先求總的排列數(shù)(或組合數(shù))，再減去不符合要求的排列數(shù)(或組合數(shù))，從而使問題獲得解決的方法．其實(shí)它就是補(bǔ)集思想．

例12：馬路上有編號為1、2、3、…、9的9只路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有_______種．

簡析：關(guān)掉一只燈的方法有7種，關(guān)第二只、第三只燈時要分類討論，情況較為復(fù)雜，換一個角度，從反面入手考慮．因每一種關(guān)燈的方法唯一對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與暗燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為在6只亮燈中插入3只暗燈，且任何兩只暗燈不相鄰、且暗燈不在兩端，即從6只亮燈所形成的5個間隙中選3個插入3只暗燈，其方法有＝10種。故滿足條件的關(guān)燈的方法共有10種．

例13：甲、乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊(duì)員比賽，……直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲勝，形成—種比賽過程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程共有多少種?

解：設(shè)甲隊(duì)隊(duì)員為al，a2,…a7，乙隊(duì)隊(duì)員為b1，b2,……，b7，下標(biāo)表示事先安排好的出場順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序，比賽過程可類比為這14個字母互相穿插的一個排列，最后是勝隊(duì)中獲勝隊(duì)員和可能未參賽的隊(duì)員．如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7.所表示為14個位置中取7個位置安排甲隊(duì)隊(duì)員，其余位置安排乙隊(duì)隊(duì)員，故比賽過程的總數(shù)為＝3432.

例14：有2個a，3個b，4個c共九個字母排成一排，有多少種排法?

分析：若將字母作為元素，1—9號位置作為位子，那么這是一個“不盡相異元素的全排列”問題，若轉(zhuǎn)換角色，將1—9號位置作為元素，字母作為位子，那么問題便轉(zhuǎn)化成一個相異元素不許重復(fù)的組合問題．

即共有＝1260(種)不同的排法．

有些問題反面的情況為數(shù)不多，容易討論，則可用剔除法．

對有限制條件的問題，先以總體考慮，再把不符合條件的所有情況剔除．這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題策略．

例15：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有()

A．150種B．147種C．14種D．141種

分析：在這10個點(diǎn)中，不共面的不易尋找，而共面的容易找．因此，采用剔除法，由10個點(diǎn)中取出4個點(diǎn)的組合數(shù)(減去4個點(diǎn)共面的個數(shù)即為所求)．4點(diǎn)共面情形可分三類：第一類：四面體每個面中的四個點(diǎn)共面，共有4×＝60種；第二類：四面體的每2組對棱的中點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則這四點(diǎn)共面，共有3種；第三類：四面體的一條棱上三點(diǎn)共線，這三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)共面，共有6種．故4點(diǎn)不共面的取法有-(4+6+3)＝141種．

例16：從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種．

解：從這10個數(shù)中取出3個不同的偶數(shù)的取法有種；取1個偶數(shù)和2個奇數(shù)的取法有種．另外，從這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為小于10的偶數(shù)，有9種不同取法．

因此，符合題設(shè)條件的不同取法有+-9＝51種．

五、解相鄰問題——采用“捆綁”策略

對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來看作一個元素與其他元素排列，然后再在相鄰元素之間排列．

事實(shí)上，這種方法就是將相鄰的某幾個元素，優(yōu)先考慮。讓這些特殊元素合成一個元素，與普通元素排列后，再松綁．

例17：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相鄰，且B在A右邊，那么不同排法有（）

A．24種B．60種C．90種D．120種

分析：將特殊元素A，B按B在A的右邊“捆綁”看成一個大元素，與另外三個元素全排列，由A，B不能交換，故不再“松綁”，選A．

例18：5人成一排，要求甲、乙相鄰，有幾種排法?

解：將甲、乙“捆綁”成一個元素，加上其他3元素，共4元素，全排列有種，甲、乙內(nèi)部的排列有種．故共有＝48種．

也可以這樣理解：先讓甲、丙、丁、戊，排成一列有種，再將乙插入甲的左邊或右邊，有種，共＝48種．

例19：計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中一幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有多少種?()

A、B、C、D、

分析：先把3種品種的畫各看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有種放法，再考慮油畫與國畫本身又可以全排列，故排列的方法為，故選D.

例20：5名學(xué)生和3名老師站成一排照相，3名老師必須站在一起的不同排法共有________種．

簡析：將3名老師捆綁起來看作一個元素，與5名學(xué)生排列，有種排法；而3名老師之間又有種排法，故滿足條件的排法共有＝4320種．

用“捆綁”法解題比較簡單，實(shí)質(zhì)是通過“捆綁”減少了元素，它與下面要提到的“插孔”法結(jié)合起來，威力便更大了．

六、解不相鄰問題——采用“插孔”策略

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排列好，然后再將不相鄰的元素在這些排好的元素之間及兩端的空隙中插入．

例21：7人站成一行，如果甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)是()

A．1440種B．3600種C．4320種D．4800種

簡析：先讓甲、乙之外的5人排成一行，有種排法，再讓甲、乙兩人在每兩人之間及兩端的六個間隙中插入，有種方法．故共有·＝3600種排法，選B．

例22：要排一個有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈不相鄰，問有多少種不同排法?

分析：先將6個歌唱節(jié)目排成一排有種排法，6個歌唱節(jié)目排好后包括兩端共有7個“間隔”可以插入4個舞蹈節(jié)目有種，故共·6?。?04800種不同排法．

例23：從1，2，3，…，2000這2000個自然數(shù)中，取出10個互不相鄰的自然數(shù)，有多少種方法?

解：將問題轉(zhuǎn)化成把10名女學(xué)生不相鄰地插入站成一列橫列的1990名男生之間(包括首尾兩側(cè))，有多少種方法?

因?yàn)槿我庀噜?名男學(xué)生之間最多站1名女學(xué)生，隊(duì)伍中的男學(xué)生首尾兩側(cè)最多也可各站1名女學(xué)生．于是，這就是1991個位置中任選10個位置的組合問題，故共有種方法．

利用“插孔”法，也可以減少元素，從而簡化問題．

例24：一排6張椅子上坐3人，每2人之間至少有一張空椅子，求共有多少種不同的坐法?

解：將問題轉(zhuǎn)化成把3個人坐5張椅子，然后插一把空椅子問題．

3個人若坐5張椅子，每2人之間一張空椅子．坐法是固定的有種不同的坐法，然后，將余下的那張椅子插入3個坐位的4個空隙，有4種插法．所以共有4＝24種不同的坐法．

七、解定序問題——采用除法策略

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)，這其實(shí)就是局部有序問題，利用除法來“消序”．

例25：由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)小于十位數(shù)字的共有（）

A．210個B．300個C.464個D．600個

簡析：若不考慮附加條件，組成的六位數(shù)共有個，而其中個位數(shù)字與十位數(shù)字的種排法中只有一種符合條件，故符合條件的六位數(shù)共＝300個，故選B．

例26：信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．

分析：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故共有不同的信號種數(shù)是＝10(種)．

說明：此題也可以用組合來解，只需5個位置中確定3個，即＝10．

例27：有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法?

分析：先在7個位置上任取4個位置排男生，有種排法，剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有一種排法，故共有＝840種．

在處理分堆問題時，有時幾堆中元素個數(shù)相等，這時也要用除法，

例28：不同的鋼筆12支，分3堆，一堆6支，另外兩堆各3支，有多少種分法?

解：若3堆有序號，則有·，但考慮有兩堆都是3支，無須區(qū)別，故共有/＝9240種．

例29：把12支不同的鋼筆分給3人，一人得6支，二人各得3，有幾種分法?

解：先分堆：有/種．再將這三堆分配給三人，有種。共有·/＝3.種．

本題亦可用“選位，選項(xiàng)法”，即：=3.

八、解分排問題—采用直排處理的策略

把n個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理．

例30：兩排座位，第一排3個座位，第二排5個座位，若8位學(xué)生坐(每人一個座位)。則不同的坐法種數(shù)是（）

A、B、C、D、

簡析：因8名學(xué)生可在前后兩排的8個座位中隨意入坐，再無其他條件，所以兩排座位可看作一排來處理，其不同的坐法種數(shù)是，故應(yīng)選D．

九、解“小團(tuán)體”排列問題——采用先整體后局部策略

對于“小團(tuán)體”排列問題，可先將“小團(tuán)體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列．

例31：三名男歌唱家和兩名女歌唱家聯(lián)合舉行一場音樂會，演出的出場順序要求兩名女歌唱家之間恰有一名男歌唱家，其出場方案共有()

A．36種B．18種C．12種D．6種

簡析：按要求出場順序必須有一個小團(tuán)體“女男女”，因此先在三名男歌唱家中選一名(有種選法)與兩名女歌唱家組成一個團(tuán)體，將這個小團(tuán)體視為一個元素，與其余2名男歌唱家排列有種排法。最后小團(tuán)體內(nèi)2名女歌唱家排列有種排法，所以共有＝36種出場方案，選A。

十、簡化計(jì)算繁瑣類問題——采用遞歸策略

所謂遞歸策略，就是先建立所求題目結(jié)果的一個遞推關(guān)系式，再經(jīng)簡化題目條件得出初始值，進(jìn)而遞推得到所求答案．

例32：有五位老師在同一年級的6個班級中，分教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)會考中，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，共有安排監(jiān)考的方法總數(shù)是多少？