數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用(講解部分)

§６.４數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用高考數(shù)學(xué)第一頁，編輯于星期六：七點四十七分?？键c一數(shù)列求和1.公式法(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解.(2)掌握一些常見的數(shù)列的前n項和公式:1+2+3+…+n=①

;2+4+6+…+2n=②

n2+n

;1+3+5+…+(2n-1)=n2;12+22+32+…+n2=

;13+23+33+…+n3=

.考點清單第二頁，編輯于星期六：七點四十七分。如果一個數(shù)列{an},與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常

數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法.3.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)

成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求.4.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求

得其和.常見的拆項公式:(1)

=③

-

;2.倒序相加法第三頁，編輯于星期六：七點四十七分。(2)

=④

;(3)

=

-

.5.分組求和法有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可

分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,即先分別求和,再合并,形如:(1){an+bn},其中

(2)an=

第四頁，編輯于星期六：七點四十七分?？键c二數(shù)列的綜合應(yīng)用1.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意;(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問

題,弄清該數(shù)列的特征以及要求什么;(3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解;(4)還原——將所求結(jié)果還原到實際問題中.2.數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個固定值,那么該模型是等差模

型,增加(或減少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(常數(shù)).(2)等比模型:如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù),那么該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.其一般形式是

=q(q為常數(shù),且q≠０）．第五頁，編輯于星期六：七點四十七分。(3)混合模型:在一個問題中同時涉及等比數(shù)列和等差數(shù)列的模型.(4)生長模型:如果某一個量,每一期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少),同

時又以一個固定的具體量增加(或減少),稱該模型為生長模型,如分期付款

問題,樹木的生長與砍伐問題等.如設(shè)貸款總額為a,年利率為r,等額還款數(shù)

為b,分n期還完,則b=

a.(5)遞推模型:如果容易推導(dǎo)該數(shù)列任意一項an與它的前一項an-1(n≥2)(或前

幾項)間的遞推關(guān)系式,那么我們可以用數(shù)列的知識求解.第六頁，編輯于星期六：七點四十七分?？挤ㄒ诲e位相減法求和知能拓展例1

(2018河南、河北兩省聯(lián)考,18)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=5,nSn+1

-(n+1)Sn=n2+n.(1)求證:數(shù)列

為等差數(shù)列;(2)令bn=2nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解題導(dǎo)引

第七頁，編輯于星期六：七點四十七分。解析(1)證明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得

-

=1,又

=5,所以數(shù)列

是首項為5,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知

=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),所以bn=(2n+3)2n,所以Tn=5×2+7×22+9

×23+…+(2n+3)2n,

①2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,

②所以②-①得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1)=(2n+3)2n+1-10-

=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.第八頁，編輯于星期六：七點四十七分。方法總結(jié)1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前

n項和時,常采用錯位相減法.2.用錯位相減法求和時,應(yīng)注意:(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”,以

便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.(3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果q=1,應(yīng)用公式Sn=na1.第九頁，編輯于星期六：七點四十七分?？挤ǘ秧椣嘞ㄇ蠛屠?已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=8,Sn=

-n-1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列

的前n項和Tn.解題導(dǎo)引

第十頁，編輯于星期六：七點四十七分。解析(1)∵a2=8,Sn=

-n-1,∴a1=S1=

-2=2.n≥2時,an=Sn-Sn-1=

-n-1-

,即an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),又∵a2+1=9,3(a1+1)=3×3=9,∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,且a1+1=3,公比為3,∴an+1=3×3n-1=3n,∴an=3n-1.(2)

=

=

-

,∴數(shù)列

的前n項和Tn=

+

+…+

=

-

.第十一頁，編輯于星期六：七點四十七分。例

(2020屆河北邯鄲大名一中周測,10)“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科

學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng),南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐

富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法,有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛,等等.

某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”:自上而下,第一層1件,以

后每一層比上一層多1件,最后一層是n件.已知第一層貨物單價為1萬元,從

第二層起,貨物的單價是上一層單價的

.若這堆貨物的總價是

萬元,則n的值為

()

實踐探究A.7

B.8

C.9

D.10第十二頁，編輯于星期六：七點四十七分。解題導(dǎo)引由題意,第一層貨物的總價為1萬元,第二層貨物的總價為2×

萬元,第三層貨物的總價為3×

萬元,……,第n層貨物的總價為n·

萬元,可設(shè)這堆貨物的總價為W萬元,從而可得到W=1+2×

+3×

+…+n·

,利用錯位相減法可求出W的表達(dá)式,結(jié)合W=100-200·

可求出答案.第十三頁，編輯于星期六：七點四十七分。解析由題意,得第n層貨物的總價為n·

萬元,設(shè)這堆貨物的總價為W萬元,則W=1+2×

+3×

+…+n·

,

W=1×

+2×

+3×

+…+n·

,兩式相減得

W=-n·

+1+

+

+

+…+

=-n·

+

=-n·

+10-10·

,則W=-10n·

+100-100·

=100-200

,解得n=10,故選D.第十四頁，編輯于星期六：七點四十七分。解析由題意,得第n層貨物的總價為n·

萬元,設(shè)這堆貨物的總價為W萬元,則W=1+2×

+3×

+…+n·

,

W=1×

+2×

+3×

+…+n·

,兩式相減得

W=-n·

+1+

+

+

+…+

=-n·

+

=-n·

+10-10·

,則W=-10n·

+100-100·

=100-200

,解得n=10,故選D.答案

D第十五頁，編輯于星期六：七點四十七分。方法總結(jié)(1)本題以數(shù)學(xué)文化為背景考查數(shù)列求和,考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

抽象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).(2)①認(rèn)真閱讀題意,理解數(shù)量關(guān)系;②建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;③求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.第十六頁，編輯于星期六：七點四十七分。例設(shè)函數(shù)f(x)=x

+

,O為坐標(biāo)原點,An為函數(shù)y=f(x)圖象上橫坐標(biāo)為n(n∈N*)的點,向量

與向量i=(1,0)的夾角為θn,則滿足:tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn<

的最大整數(shù)n的值為

.創(chuàng)新思維第十七頁，編輯于星期六：七點四十七分。解析由題意可得An

,∵O為坐標(biāo)原點,∴

=

,∵向量

與向量i=(1,0)的夾角為θn,∴cosθn=

.∴sinθn=

.∴t