密碼學(xué)中雙線性對(duì)的構(gòu)造與計(jì)算的中期報(bào)告

密碼學(xué)中雙線性對(duì)的構(gòu)造與計(jì)算的中期報(bào)告雙線性對(duì)是密碼學(xué)中應(yīng)用較廣泛的一種概念。在橢圓曲線密碼學(xué)中，雙線性對(duì)可以用來(lái)定義具有特殊性質(zhì)的映射。雙線性對(duì)的構(gòu)造與計(jì)算是一項(xiàng)非常重要的工作，本文將介紹雙線性對(duì)的概念、構(gòu)造方式以及計(jì)算方法，并對(duì)已有的相關(guān)研究進(jìn)行綜述。一、雙線性對(duì)的概念雙線性對(duì)是一種特殊的映射，其定義如下：設(shè)G1和G2是兩個(gè)階為q的加法循環(huán)群，而GT是一個(gè)階為q的乘法循環(huán)群，如果存在一種映射e：G1×G2→GT滿足以下性質(zhì)：1、雙線性性：對(duì)于任意的P∈G1，Q∈G2，a、b∈Zp，有e(aP,bQ)=e(P,Q)ab。2、非退化性：存在P∈G1和Q∈G2，使得e(P,Q)≠1。此時(shí)，映射e被稱為G1和G2的雙線性對(duì)，記作e(P,Q)，又稱為Weil對(duì)或Tate對(duì)。二、雙線性對(duì)的構(gòu)造構(gòu)造雙線性對(duì)的方法有很多種，其中的一種常見(jiàn)方法是利用Weil對(duì)或Tate對(duì)的構(gòu)造方式。下面分別介紹這兩種方式：1、Weil對(duì)的構(gòu)造Weil對(duì)的構(gòu)造方式如下：設(shè)E是一個(gè)橢圓曲線，而P和Q是兩個(gè)E上的點(diǎn)，則Weil對(duì)e(P,Q)定義為：e(P,Q)=fP/Q(P)其中，fP/Q是Riemann-Roch空間上的一個(gè)函數(shù)。利用解析幾何的方法可以得到fP/Q的具體計(jì)算公式。通常，fP/Q可以表示成P和Q之間的交點(diǎn)的積分，具體計(jì)算方法如下：1）設(shè)L是通過(guò)P和Q的直線，且不與E其他的直線相交；2）設(shè)P+Q=R，并定義R的縱坐標(biāo)為0，此時(shí)可以得到L與E的交點(diǎn)R和-R；3）計(jì)算在P和-R之間的曲線積分即可得到fP/Q的值。計(jì)算Weil對(duì)需要計(jì)算曲線積分，因此性能比較低，尤其是在計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量比較大時(shí)。2、Tate對(duì)的構(gòu)造Tate對(duì)通常被認(rèn)為是比Weil對(duì)更優(yōu)秀的構(gòu)造方式，Tate對(duì)的計(jì)算速度更快，并且需要的運(yùn)算次數(shù)更少。Tate對(duì)的構(gòu)造方式如下：設(shè)E位于有限域Fq上，而P和Q是E上的兩個(gè)點(diǎn)，且Q≠0，則Tate對(duì)e(P,Q)定義為：e(P,Q)=τ(Q)-k(P)(τ是特殊的函數(shù)）其中，k和τ是E上的兩個(gè)函數(shù)，滿足以下性質(zhì)：1）τ和k在E上均為有理函數(shù)；2）τ與k僅在點(diǎn)O處有極點(diǎn)；3）τ和k的極點(diǎn)階數(shù)相等；4）τ在點(diǎn)Q處取值為1，而k在點(diǎn)P處取值為1。由于Tate對(duì)的計(jì)算方式需要計(jì)算冪和倒數(shù)，因此相較于Weil對(duì)，其計(jì)算速度更快。三、雙線性對(duì)的計(jì)算一般情況下，雙線性對(duì)的計(jì)算可以通過(guò)以下步驟完成：1）將P和Q分別映射到G1和G2上，即P∈G1，Q∈G2；2）計(jì)算e(P,Q)的值，具體計(jì)算方式會(huì)根據(jù)構(gòu)造方法的不同而有所不同。在實(shí)際應(yīng)用中，雙線性對(duì)通常被用來(lái)實(shí)現(xiàn)一些密碼學(xué)中的重要算法，例如身份驗(yàn)證、加密通信以及數(shù)字簽名等。四、已有的研究目前，雙線性對(duì)的構(gòu)造與計(jì)算已經(jīng)成為密碼學(xué)研究領(lǐng)域中的重要課題，涌現(xiàn)了大量相關(guān)的研究成果。在構(gòu)造方面，有很多研究致力于設(shè)計(jì)出更加高效、安全的雙線性對(duì)構(gòu)造方式，例如基于TwistedEdwards曲線的雙線性對(duì)構(gòu)造方式、基于超奇異橢圓曲線的雙線性對(duì)構(gòu)造方式等。在計(jì)算方面，很多研究致力于優(yōu)化雙線性對(duì)的計(jì)算速度以及減少計(jì)算所需的存儲(chǔ)空間。例如，采用Miller算法等方法可以提高計(jì)算效率；采用批處理方法可以在一次計(jì)算中同時(shí)計(jì)算多個(gè)雙線性