理論力學(xué)之空間力系哈理力第四章

第四章空間力系理論力學(xué)1中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一、力在坐標(biāo)軸上的投影§4-1空間匯交力系yxzFFxFyFzikj若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間的夾角，則用直接投影法1、直接投影法理論力學(xué)2中南大學(xué)土木建筑學(xué)院yxzFFxFyFzFxyjg當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox、Oy間的夾角不易確定時，可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個力投影到x、y軸上，這叫間接投影法。2、間接投影法理論力學(xué)3中南大學(xué)土木建筑學(xué)院1、合成將平面匯交力系合成結(jié)果推廣到空間得：合力的大小和方向?yàn)椋憾?、空間匯交力系的合成與平衡或理論力學(xué)4中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、平衡空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。以解析式表示為：空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系力系中所有各力在三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。理論力學(xué)5中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例]重為P的物體用桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承，如圖。已知P＝1000N，CE＝ED＝12cm，EA＝24cm，b＝45°，不計桿重；求繩索的拉力和桿所受的力。解：以鉸A為研究對象，受力如圖。由幾何關(guān)系：解得：理論力學(xué)6中南大學(xué)土木建筑學(xué)院xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB

空間力對點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個因素可用一個矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大?。恢赶虮硎玖卦谄渥饔妹鎯?nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法則)；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量?！?-2

力對點(diǎn)的矩和對軸的矩一、力對點(diǎn)的矩以矢量表示－力矩矢理論力學(xué)7中南大學(xué)土木建筑學(xué)院以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑，則以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik理論力學(xué)8中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力F對z

軸的矩定義為：力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面交點(diǎn)的矩。xyzOFFxyhBAab符號規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)則取正號，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號。由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時，力對軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。二、力對軸的矩1、力對軸之矩的定義理論力學(xué)9中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力對//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。理論力學(xué)10中南大學(xué)土木建筑學(xué)院xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy設(shè)力F沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，則同理可得其它兩式。故有2、力對軸之矩的解析表達(dá)式理論力學(xué)11中南大學(xué)土木建筑學(xué)院比較力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩的解析表達(dá)式得：即：對點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。3、力對點(diǎn)的矩與力對過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系理論力學(xué)12中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：[例]求力F在三軸上的投影和對三軸的矩。yxzFjqbcaFxy理論力學(xué)13中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力F沿BD，求力F對AC之矩。FbbcaABCDa理論力學(xué)14中南大學(xué)土木建筑學(xué)院§4-3空間力偶一、力偶的矢量表示性質(zhì)：力偶由一個平面平行移至剛體另一個平行平面不影響它對剛體的作用效果。AFF'R'RBOF'2A1F'1B1F2F1理論力學(xué)15中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力偶矩矢為一自由矢量。空間力偶的等效條件是：作用在同一剛體上的兩個力偶，如果力偶矩矢相等，則兩力偶等效。FMF'二、空間力偶等效定理

由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效用取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量表示：用的模表示力偶矩的大小；的指向按右手螺旋法則表示力偶的轉(zhuǎn)向；的作用線與力偶作用面的法線方位相同。如圖所示。稱為力偶矩矢。理論力學(xué)16中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。三、空間力偶系的合成與平衡1、合成空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：根據(jù)合矢量投影定理：理論力學(xué)17中南大學(xué)土木建筑學(xué)院于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：理論力學(xué)18中南大學(xué)土木建筑學(xué)院空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：因?yàn)椋核裕荷鲜郊礊榭臻g力偶系的平衡方程。2、平衡理論力學(xué)19中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

空間力系向點(diǎn)O簡化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxO＝MOF'ROxyz＝一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化§4-4空間任意力系的簡化理論力學(xué)20中南大學(xué)土木建筑學(xué)院空間匯交力系可合成一合力F'R：力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。MOF'ROxyz空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢MO：力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對簡化中心的主矩。主矩與簡化中心的位置有關(guān)?？臻g力系向任一點(diǎn)O簡化，可得一力和一力偶，這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。理論力學(xué)21中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

1、空間任意力系簡化為一合力偶的情形

F'R＝0，MO≠0簡化結(jié)果為一個與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于對簡化中心的主矩。此時力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。

F'R

≠

0，MO＝

0簡化結(jié)果為與原力系等效的合力，合力的作用線過簡化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。2、空間任意力系簡化為一合力的情形二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析理論力學(xué)22中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

簡化后為與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用線離簡化中心O的距離為

F'R

≠

0，MO≠0，且F'R⊥MOMOF'ROF'RF"RFROO'd＝FROO'＝理論力學(xué)23中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

F'R

≠

0，MO≠0，且F'R∥MO此時無法進(jìn)一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。F'R與MO同方向時，稱為右手螺旋；F'R與MO反向時，稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。MOF'RO＝OF'R3、空間任意力系簡化為力螺旋的情形理論力學(xué)24中南大學(xué)土木建筑學(xué)院F'R

≠

0，MO≠0，同時兩者既不平行，又不垂直，此時可將MO分解為兩個分力偶M''O和M'O，它們分別垂直于F'R和平行于F'R，則M''O和F'R可用作用于點(diǎn)O'的力FR來代替，最終得一通過點(diǎn)O'的力螺旋。MOF'RqOM"OF'ROM'O＝FROO'M'O＝4、空間任意力系簡化為平衡的情形當(dāng)空間任意力系向一點(diǎn)簡化時出現(xiàn)主矢F'R＝0，主矩MO＝

0，這是空間任意力系平衡的情形。理論力學(xué)25中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一、空間任意力系的平衡方程F'R＝0，MO＝

0==>空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個軸的矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。§4-5空間任意力系的平衡理論力學(xué)26中南大學(xué)土木建筑學(xué)院二、空間約束類型理論力學(xué)27中南大學(xué)土木建筑學(xué)院理論力學(xué)28中南大學(xué)土木建筑學(xué)院[例]一等邊三角形板邊長為a,用六根桿支承成水平位置如

圖所示.若在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束力。A'B'C'16425330o30o30oABCM理論力學(xué)29中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解:取等邊三角形板為

研究對象畫受力圖。A'B'C'16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6理論力學(xué)30中南大學(xué)土木建筑學(xué)院A'B'C'16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6理論力學(xué)31中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

[例]扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在A點(diǎn)用球鉸約束，A、H、G三點(diǎn)位于xy平面內(nèi)，G、H兩點(diǎn)的位置對稱于y軸，臂桿的D端吊懸的重物重P=20kN；求兩繩的拉力和支座A的約束力。解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。列平衡方程：理論力學(xué)32中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

聯(lián)立求解得：理論力學(xué)33中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

[例]用六根桿支撐正方形板ABCD如圖所示，水平力沿水平方向作用在A點(diǎn)，不計板的自重，求各桿的內(nèi)力。解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。理論力學(xué)34中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。P106習(xí)題4—17解之得：理論力學(xué)35中南大學(xué)土木建筑學(xué)院S5S4S6S3S2S1F500mm1000mmD′CBADC′B′A′P107習(xí)題4—18理論力學(xué)36中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一、平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過的一個點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。F1FRF2yzxOACBr1rCr2§4-6重心理論力學(xué)37中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體看成由無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重力的合力作用線相對于物體總是通過一個確定的點(diǎn)，這個點(diǎn)稱為物體的重心。二、重心理論力學(xué)38中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

對于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。理論力學(xué)39中南大學(xué)土木建筑學(xué)院1、簡單幾何形狀物體的重心如果均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡單形狀物體的重心可從工程手冊上查到。三、確定物體重心的方法理論力學(xué)40中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

2、圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面積，重心位置查表可得；故所求弓形體物塊的重心的坐標(biāo)為

[例]圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧AMB與弦AB所圍成的弓形，