2022版高中數(shù)學(xué)綜合測(cè)評(píng)含解析新人教A版必修2

綜合測(cè)評(píng)

（滿(mǎn)分:150分;時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題（本題共12小題,每小題5分，共60分）

1.直線(xiàn)產(chǎn)tan60°的傾斜角是（）

A.90°B.60°C.30°D.不存在

2.給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行；

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行；

③若直線(xiàn)人心與同一平面所成的角相等,則Z,A互相平行；

④若直線(xiàn)71,八是異面直線(xiàn),則與71,心都相交的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn).

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)上、下底面半徑之比為1：4,若截去的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)

為3cm,則圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）

A.1cmB.3cm

C.12cmD.9cm

4.如圖,在長(zhǎng)方體ARGhABCD中…M、N分別是棱陽(yáng)，BG的中點(diǎn),若NCI肥90°,則異面直線(xiàn)力，和〃獷所成的

角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.己知表示兩條不同的直線(xiàn)，"表示平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若/J.a,a,則1±ni

B.若ILm,mea,則/_!_a

C.若J//ni,mca,則］//a

D.若/〃a,則l//m

6.等邊△夕薪中,戶(hù)（0,0）,0（4,0）,且衣在第四象限內(nèi)，則夕?和Q/?所在直線(xiàn)的方程分別為（)

A.y=y[^x和尸一通x

B.y=y[3（『4）和片-V3（尸4）

C.尸和片-禽（.4）

D.y=-yfix和y=V3（尸4）

1.已知點(diǎn)Plx,力是直線(xiàn)M尹4二0（4>0）上一動(dòng)點(diǎn),PA,即是圓r：Ay-2j=0的兩條切線(xiàn),48是切點(diǎn)，若四邊形

為8的最小面積是2,則A的值為（）

A.3B.苧C.2方D.2

8.如圖,正方體ABCD-A^CM的棱長(zhǎng)為1,線(xiàn)段84上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)￡、￡且明,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為

（）

①ACLBE;

②跖〃平面ABCD-,

③三棱錐於戚的體積為定值；

④△力審的面積與△戚的面積相等.

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，定點(diǎn)46都在平面。內(nèi)，定點(diǎn)用a,及LL。，C是a內(nèi)異于｛和3的動(dòng)點(diǎn)，且尸C_L4c則動(dòng)點(diǎn)C在平面

a內(nèi)的軌跡是（）

A.一條線(xiàn)段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

B.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C.一段弧，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

D.半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

10.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)MW是銳角N4"的一邊3上的兩點(diǎn),試在口邊上找一點(diǎn)P,

使得乙，昭￥最大”.如圖,其結(jié)論是：點(diǎn)戶(hù)為過(guò)M『V’兩點(diǎn)且和射線(xiàn)a;相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)

題:在平面直角坐標(biāo)系x0中,給定兩點(diǎn)"（-1,2）,Ml,4）,點(diǎn)尸在X軸上移動(dòng)，當(dāng)乙法界取最大值時(shí)，點(diǎn)戶(hù)的橫

坐標(biāo)是（）

A.-7B.1或-7C.2或-7D.1

11.如圖,正方體481Gd的棱長(zhǎng)為1,則下列四個(gè)命題錯(cuò)誤的是（）

A.直線(xiàn)比與平面46Gd所成的角為：

B.點(diǎn)C到平面ABCD的距離為當(dāng)

C.異面直線(xiàn)4c和a;所成的角為-

D.三棱柱AAD-BBC外接球的半徑為苧

12.如圖，已知四棱錐P-ABCD^,四邊形460為正方形,平面期CNL平面APB,G為戶(hù)，上一點(diǎn),且及北平面

APC,AB=2,則三棱錐體積的最大值為

.2

%B卷MD.2

二、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足64+8尸1=0,則J2+—五-TT的最小值為.

14.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓。的兩條直徑分別為46和CD,且4員1小平面斜。。平面SBO1.現(xiàn)有以

下四個(gè)結(jié)論：

s

①/〃〃平面SBC-,

②，〃股

③若萬(wàn)是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，則△&!￡的最大面積等于△弘8的面積;

④,與平面S⑦所成的角為45°.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

15.如圖,三棱柱ABOAB&中，￡尸分別是AB,4。的中點(diǎn),平面甌^將三棱柱分成體積分別為兀1的兩部分,

則匕：七=

16.已知三棱錐產(chǎn)4歐的底面是正三角形,以=百,點(diǎn)4在側(cè)面2%內(nèi)的射影〃是的垂心，當(dāng)三棱錐P-ABC

的體積最大時(shí),三棱錐的外接球的體積為.

三、解答題(本題共6小題，共70分)

17.(10分)如圖,在△口中,已知4(5,-2),8(7,3),且4。邊的中點(diǎn)"在y軸上,比'邊的中點(diǎn)"在x軸上.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求4?邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.

18.(12分)已知圓G：(片1/+(盧知2=50,圓G:(A+1)2+(J+1)=10.

(1)證明圓G與圓G相交；

(2)若圓G經(jīng)過(guò)圓G與圓C的交點(diǎn)以及坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓G的方程.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A.BxG中，AA^=2AB=2,N也4=60°,2為的中點(diǎn)，點(diǎn)，在平面/必內(nèi)的射影

在線(xiàn)段加上.

⑴求證平面CBD-,

(2)若△網(wǎng)是正三角形,求三棱柱｛a％/G的體積.

20.(12分)我國(guó)的“洋垃圾禁止入境”政策已實(shí)施多年.某沿海地區(qū)的海岸線(xiàn)為一段圓弧力區(qū)對(duì)應(yīng)的圓心角N

AO片60°,該地區(qū)為打擊洋垃圾走私,在海岸線(xiàn)外側(cè)20海里內(nèi)的海域力比力對(duì)不明船只進(jìn)行識(shí)別查證(如圖:其

中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi))，在圓弧的兩端點(diǎn)A,6分別建有監(jiān)測(cè)站,A與8之間的直線(xiàn)距離為100海

里.

(1)求海域4比S的面積;

(2)現(xiàn)海上戶(hù)點(diǎn)處有一艘不明船只，在A點(diǎn)測(cè)得其距1點(diǎn)40海里,在尻點(diǎn)測(cè)得其距6點(diǎn)20VI9海里.判斷這艘

不明船只是否進(jìn)入了海域ABCD,并說(shuō)明理由.

21.(12分)如圖所示，四棱錐長(zhǎng)月比。的底面4比。是半徑為//的圓的內(nèi)接四邊形,其中如是圓的直徑,Z

然加60°,28哈45°,如1底面ABCD,?2方4E,尸分別是PB,切上的點(diǎn)，且一=—,過(guò)點(diǎn)￡作a'的平行線(xiàn)

交PC千G.

(1)求劭與平面4%所成角。的正弦值；

(2)證明：△牙。是直角三角形；

(3)當(dāng)一苫時(shí),求△￡%的面積.

22.(12分)在平面直角坐標(biāo)系x0y中,直線(xiàn)六產(chǎn)1=0被以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心的圓所截得的弦長(zhǎng)為加.

(1)求圓。的方程；

(2)若直線(xiàn)/與圓。切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)以￡當(dāng)牘2方時(shí),求直線(xiàn)1的方程；

(3)設(shè)M,f是圓。上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為N,若直線(xiàn)物工卬分別交x軸于點(diǎn)(固0)和(”,0),問(wèn)mn

是不是定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

全書(shū)綜合測(cè)評(píng)

1.A2.D3.D4.D5.A

6.D7.D8.C9.B10.D

11.C12.A

一、選擇題

1.A由題意可知,直線(xiàn)A=tan60。即為直線(xiàn)后通,此時(shí)直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°.故選A.

2.D利用特殊圖形正方體不難發(fā)現(xiàn)①、②、③、④均不正確，故選D.

3.D如圖，設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為ycm,小圓錐底面半徑與被截的圓錐的底面半徑分別是xcm,4xcm,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得占,解得尸9,所以圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為9cm,故選D.

4.D易知MN，DC,MNLMC,且DCCMC=C,所以."VL平面DCM.又fllfc平面DCM,所以MNYDU.易證MV〃加，所

以AEKLDM.所以異面直線(xiàn)AD.和四/所成的角為90°.

5.A對(duì)于A,若八a,ga,則根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，知ILm,故A正確;對(duì)于B,若lA.m,nca,則/

_La或/〃。或/u。，故B不正確;對(duì)于C,若/〃物歸a,則/〃?；?u。，故C不正確;對(duì)于D,若/〃

a,mea,則/與0可能平行，也可能異面,故D不正確.故選A.

6.D由題意可得”(2,-26),故直線(xiàn)心的斜率無(wú)產(chǎn)-V5,

故直線(xiàn)掰的方程為片-質(zhì)X,

直線(xiàn)Q/?的斜率無(wú)正篝8，

2-4

所以直線(xiàn)QR的方程為j=V3(尸4),

故選D.

7.D圓C-.x+y~2y=0的圓心為(0,1),半徑長(zhǎng)尸1,由圓的性質(zhì)知5網(wǎng)脆附行2區(qū).

?.?四邊形為⑦的最小面積是2,...SAW的最小值為1,即%八小他=1(〃是切線(xiàn)長(zhǎng))，，九，*2,|戶(hù)a底卜例

=722+12=V5.

?.?圓心到直線(xiàn)的距離就是IPC\的最小值，

A\PC)?、"=-^鼻=牖,又k>0,：.k=2.故選D.

V1+2

8.C如圖，連接8〃.

■:AC1BD,ACLBB、，BDCBB、=B,BD、BB、U平面BB、隊(duì)D,

."CL平面BB、隊(duì)D,又BEu平面BB、隊(duì)D,：.AC1BE,①正確;

■:B\D、〃BD,BDa平面ABCD,平面ABC。,

：.B、D、//平面4%力，即EF//平面4%力,②正確;

設(shè)力為三棱錐止政中面頗上的高,

：■/"：板他品耐X/?

寺<斜|囤X|喇X14C|

...三棱錐止膠的體積為定值,③正確；

△4旅的邊原上的高為A到爐的距離,為jF+4)2亭,

△閑的邊房上的高為8到歷的距離,為防=1,④錯(cuò)誤.

從而①②③正確，④錯(cuò)誤.

故選C.

9.B連接/因?yàn)榧?.。，所以血.犯又％an座月所以4CL平面如，又at平面如c

所以^，/，因?yàn)?8是平面"上的定點(diǎn),所以點(diǎn)C在"內(nèi)的軌跡是以4?為直徑的圓，又C是。內(nèi)異于力

和8的點(diǎn)，故此軌跡要去掉/、6兩個(gè)點(diǎn).所以B正確.

10.D經(jīng)過(guò)M/V兩點(diǎn)的圓的圓心在線(xiàn)段助V的垂直平分線(xiàn)尸3-A■上，

設(shè)圓心為S(a,3-a),

則圓S的方程為(『a)'+(廠3+a)"=2+2a；

對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而增大，

當(dāng)乙期￥取最大值時(shí),經(jīng)過(guò)M,N,P三點(diǎn)的圓S必與x軸相切于點(diǎn)P,

即圓S的方程中的a值必須滿(mǎn)足2+2a?=(3-a)2,

解得a=l或a=-7.即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為A1,0)和戶(hù)'(-7,0),而過(guò)點(diǎn)也N,2'的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)就N,戶(hù)的圓的

半徑，

：2MPN>/MP'N,故點(diǎn)尸(1,0)為所求，

.?.點(diǎn)戶(hù)的橫坐標(biāo)為1.

11.C連接5c與比;交于點(diǎn)a

因?yàn)?G_L平面BCCtR,OCu平面BCCtB),所以RG1,OC,

又因?yàn)樗倪呅螞r為正方形，所以O(shè)CLBQ.

因?yàn)?GC8G=G,4G,BC、u平面ABQD、,

所以CQL平面ABQ".

對(duì)于A,因?yàn)镼ZL平面ABC心,

所以直線(xiàn)應(yīng)■與平面■道所成的角為吟故A正確.

對(duì)于B,因?yàn)镃ZZL平面ABC、隊(duì),

所以點(diǎn)。到平面的距離為3的長(zhǎng),即為6c長(zhǎng)度的一半,即號(hào)故B正確.

對(duì)于C,易知陽(yáng)〃相,,所以N加。為異面直線(xiàn)4c和陽(yáng)所成的角，連接AC,易知△/從「為等邊三角形,所以異

面直線(xiàn)4c和BC、所成的角為右故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,三棱柱AAD-8BC外接球的半徑為駕亙山,故D正確.

故選C.

12.A,/四棱錐P-ABCD^,四邊形ABCD為正方形，：.BC1AB,

?平面4式》_1_平面APB,平面/頌CI平面4除肪，：.BCL平面ABP,

VJ/t平面ABP,.,.APLBC,

,:G為汽:上一點(diǎn)，且及此平面APC,小平面APC,：.APLBG,

■:BCCBG=B,BCc平面PBC,BGc平面PBC,二/人平面PBC,'：BPc平面PBC,：.BPLAP,：.加的=%

，舄x；x*x|陽(yáng)x|3d=|x|川X|網(wǎng),

令|處-m,|PB\=n,貝！］m+ff=A,Vzff+/?2-2zff/F(zv-/?)2^0,—^―,

%，他=4次〃W：X—K，當(dāng)且僅當(dāng)爐中位時(shí)取三棱錐R4%體積的最大值為今故選A.

二、填空題

13.答案《

解析VV2+2-2+1=J(-0)2+(-I)?,且實(shí)數(shù)滿(mǎn)足6戶(hù)8尸1=0,

：.42+2_2+1表示直線(xiàn)6戶(hù)8廠1=0上的點(diǎn)(不。與點(diǎn)(0,1)之間的距離，

J2+2-2+1的最小值為點(diǎn)(0,1)到直線(xiàn)6戶(hù)8廣1=0的距離，

14.答案①@④

解析由4?和如是圓。的直徑及ABLCD,得四邊形ACBD為正方形,所以AD//BC,又BCc平面SBC,4R平面

網(wǎng)所以AD//平面幽①正確；

又因?yàn)锳Dc.平面SAD,且平面以。。平面SBC=1,所以1//AD,②正確；

③若￡是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NASBW9Q。時(shí),△必￡的最大面積等于的面積，當(dāng)NASR>90°時(shí),4SAE

的最大面積等于兩條母線(xiàn)的夾角為90°的截面三角形的面積,所以③不正確；

因?yàn)?〃49,1與平面S⑦所成的角就是/〃與平面S(力所成的角，即易知N4％=45°,故④正確.

故答案為①②④.

15.答案7：5

解析設(shè)三棱柱/給4861的高為h,底面的面積為S,體積為V,則生/+%=Sh.

尸分另ij為/。的中點(diǎn)，r.SABr，+了+J~^)=JSA,%=浙匕=卷5力，%%=7：5.

16.答案*

解析連接力并延長(zhǎng)，交比1于D,連接AD.

:H是4PBe的塞心，：.BC1.PD.

；4從1平面PBC,BCu平面PBC,：.AHVBC,

又A3平面APD,PDCL平面APD,AHC\PD=H,

.?.優(yōu)二平面APD,

又4t平面APD,：.BCLAD.

連接的并延長(zhǎng),交所于￡連接AE.

由4/_L平面加，可得AHVPC,

又BE，PC,AHCB舁H,

.?.A7_L平面ABE,:.ABLPC,

設(shè)戶(hù)在平面/式1上的射影為0,

連接。并延長(zhǎng),交49于￡連接法

'：PO，AB,PCCPO=P,

平面PCF,：.PFLAB,CFYAB,

：.0是AABC的中心，尸是4?的中點(diǎn)，

：.PB=PA=\[3=PC,

當(dāng)必，做尸。兩兩垂直時(shí),三棱錐餐/比的體積取得最大值，

將PA,陽(yáng)陽(yáng)作為正方體的共頂點(diǎn)的三條棱補(bǔ)成正方體，

則外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，

三棱錐產(chǎn)的外接球的半徑/?滿(mǎn)足(2而J3X(V3)2,

解得崔(負(fù)值舍去)，，外接球的體積4hx@=t?

H

三、解答題

17.解析⑴設(shè)析O,a),N(aO),C5,〃),已知4(5,-2),5(7,3),

?.?"是熊的中點(diǎn)，，3-=0,(2分)

又/V是a'的中點(diǎn)，—=0,ZF-3,(4分)

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-5,-3).(5分)

(2)設(shè)川?的中點(diǎn)為戶(hù)，則點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)為(6,(7分)

由兩點(diǎn)式得邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為心A，

136+5

整理，得7r22廠31=0.(9分)

.?"8邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為7尸22尸31=0.(10分)

18.解析(1)證明：設(shè)圓G的半徑長(zhǎng)為八圓C的半徑長(zhǎng)為及,則G(l,-5),n=畫(huà)=5方,C(T,-D,rz=VTU,

(4分)

V5V2-ViO<|GGI=V4TI6=2V5<VT0+5V2,GC相交.(6分)

(2)設(shè)圓G與圓G的交點(diǎn)分別為A,B,坐標(biāo)原點(diǎn)為(7(0,0).

*((-1)2+(+5/=50,

1(+1)2+(+M=1O

不妨設(shè)4(-4,0),8(0,2).(10分)

易得1為直角三角形，二0iAB\=V5,圓心為AB的中點(diǎn)(-2,1),

.?.圓G的方程為(戶(hù)2)、(廣1)J5.(12分)

19.解析⑴證明：設(shè)點(diǎn)C在平面科?M內(nèi)的射影為￡連接黨

則EWBD,CEu平面CBD,且血平面ABB4,因?yàn)锽g平面ASAAh所以CELB、D.（2分）

在△力協(xié)中，4廬4ZM,NBAA6Q°,

則4除4M80°”―60°,在區(qū)〃中，48=4介1,NA4爐120°,

則N4/以N4"=儂:-30°,

故N8廄180°-60°-30°=90°,

故BD1氏D.（5分）

又應(yīng)A〃>￡所以821平面的.（6分）

（2）解法一：-?一=3廠=3.,,

由（1）得密1平面ABB.Au故磔是三棱錐小448的高，

因?yàn)椤魑锸钦切?，且?廬以口，所以以呼，（8分）

44

所以△[4l^lsinZ^41=1x2XlXsin600=y,（10分）

所以「力△?-明X當(dāng)X第

故三棱柱的體積.-產(chǎn)3-?=|.（12分）

解法二:將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖，

因?yàn)?城=8硼旦局一樣，

所以-111=-1P

所以-11I411-11

因?yàn)椤鱝切是正三角形，且除4廬/任1,所以上?.（8分）

由（1）得應(yīng)_!平面ABB4,故四是四棱柱ABRA「PCCQ的高,

故--四邊形必加。?上，

i=???844?sinN2XlXsin60°X^5（10分）

故-?一:4,,《，故三棱柱力於45G的體積為1（12分）

111211144

解法三:在三棱錐聯(lián)除中，由（1）得QFJL平面ABD,成是三棱錐小』初的高，易得C吟,（8分）

記〃到平面4%的距離為h?

由力,收二七颯得彳SAW。11七52即?CE即hiF——

t△

因?yàn)椤锳A\的中點(diǎn),故A\到平面月為。的距離為2萬(wàn)-----——,（10分）

△

-?[]=5^“.X2萬(wàn)產(chǎn)2區(qū)板?6^2X5X1X1Xsin60°X,二

故三棱柱的體積為1（12分）

20.解析（1）由題意知AD-B（=2Q,OA=OB=Aff-lOO,

：.OD-OA+AD=10Q+20=12Q,（2分）

?K（5-而）=|nX（1202-1002）=^?（平方海里）.

obVb0

所以海域4脈的面積為竽平方海里.（5分）

（2）由題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題意知，點(diǎn)戶(hù)在圓B上,即（『100）'「=7600,①

點(diǎn)戶(hù)也在圓力上，即（『50）?+（廠50代產(chǎn)=1600,②

聯(lián)立①②，

喇熱或｛鷲…

易知區(qū)域/a?〃內(nèi)的點(diǎn)滿(mǎn)足[:+；之9%'（9分）

（2+2<14400,

,/3（f+（30A/3）2=3600<10000,

...點(diǎn)（30,30V3）不在區(qū)域ABCD內(nèi)，

,/902+（50V3）2=15600>14400,

.?.點(diǎn)（90,50g）也不在區(qū)域被力內(nèi),

即這艘不明船只沒(méi)進(jìn)入海域ABCD.（12分）

21.解析（1）在Rt△胡。中，

,/NA的60°,BF2R,：.A方R,AD^>R.

而如_1_底面ABCD,