數(shù)學奧林匹克高中訓練題

數(shù)學奧林匹克高中訓練題面半徑為3r容器的4r.在容器內放6個半徑為r且質地相同的小球其中意翻動容器,然后將器直立在桌面上.當?shù)谝辉囘x擇題(每小6,36分1.給出下列兩個數(shù)學奧林匹克高中訓練題面半徑為3r容器的4r.在容器內放6個半徑為r且質地相同的小球其中意翻動容器,然后將器直立在桌面上.當?shù)谝辉囘x擇題(每小6,36分1.給出下列兩個命題P:存在函fx)gx及區(qū)IfxI上是增函數(shù)gxI上也是增函數(shù),但f(g(x))在I上是減函數(shù);Q:存在奇函fxx∈A、偶函數(shù)g(x)(x∈B),使得函數(shù)f(x)g(x)(x∈A∩B是偶函數(shù)球全部停止后,如果有兩個顏色相同的小相鄰,則甲勝,否則乙勝.那么,甲勝的概率()(A)(B)(C) (D)23)6.有一種特別列車,沿途共有20個車站(包括起點與終點),因安全需,規(guī)定在同一車站上車的旅客不能在同一車站下車.為保證上車的旅客都有座位(每位旅客一個(A)PQ都(C)PQ2.△ABC滿(B)PQ都(D)QPAB·BC=BC·CA.△ABC是)位),則列車至少要安排)個座位(A)直角三角(C)鈍角三角(B)銳角三角(D)等腰三角 填空題(每小9,54分3.設曲fx)=acosx+bsinx321.不等x3+(1- 2)1的解集為ππ對稱軸x=5.y=10x的2.如圖2,設圓臺的軸截面為等腰梯形ABCD,其中AB=18,CD6.若圓臺的高8PQ是下底面與AB個對稱點為)(A)π(B)2π5555f(xfx滿足:對任何實4.設函f2x+=x.則這樣的函數(shù),則異面直線PCDQ所成角的余弦值 ()(A)不存(C)恰有兩(B)恰有一(D)有無數(shù)3.設等差數(shù)列{an}的首項d定a,5.乙兩人做下面的游戲:個同軸圓柱組成的有蓋容器,如圖1,里面的實心圓柱底面半徑為r,外面的圓柱面的底 =a ((k-(k-(k-n (k>0)S+?+n12(那么, = (用adn表示)f(x)+g(x)=xnPxyxy滿xcosαysinα1(那么, = (用adn表示)f(x)+g(x)=xnPxyxy滿xcosαysinα1,|x|+|y|那么,當α,P形成的圖像的面積為.一個多邊形剪一刀(截痕不過多邊形邊形剪一刀(截痕不過多邊形的頂點)又分割形開,要剪出一個三角形,,一剪的最少刀數(shù) 第二試一、(50分4ABCDACO,AO=OC,BO>DO.M、NDOBO的中點,OP∥BC,ADP聯(lián)結PMPN.試問:∠ACB為何值時∠MPO≤∠NPO二、(50分設i2=-1證明n)6.設ai∈12,?9}a1>a2>?>anA是一個pB是一q位數(shù)p<qp+q=n),AB的各位數(shù)字的集合的并恰好是{a1,a2,?,an}, n-π= - +nn為純虛數(shù)三、(50分X12?pp為質數(shù)X的一個子集A,如果A中所有元素的和(空集的元素和規(guī)定為0p的倍數(shù),AX的一個“倍子集”X-三、(20分)A1B1C1的邊長1.試在對角BD1上PQPC1的值最大 四、(20分)如圖3,設F是橢 1的一個焦點A是橢圓與F距離最遠的,在橢圓的短BC上取互異2008個MiAPiFBFCNi試問:直第一試Pi(i=1,2,?,2,FPiAB1.1x12MiNi(=1,2,?,2008)將橢圓分割為多fx)=1-x2,g(x)I=(-∞,0)區(qū)f(x)在區(qū)間(-∞0)上是增函數(shù)gx)在區(qū)間(-∞,0上也是增函數(shù)212xf(gx))11x12(因0),P真fx)=-xx∈R)gx)0x∈Rf(x)g(x)=0(x∈R是偶函數(shù)數(shù)f(x)g(x),使得對任何x∈R,有真2.AB·BC=樣的考察其中任2個2.AB·BC=樣的考察其中任2個球不同色的情形]]](AB-CA)·BC=(AB+AC)·BC=0]2AD·BC=AD⊥BC]AB=(13,2號位可BiCi(=12,4種排法.再考4,2號位同色,56號位同,矛盾,4號2號位不,2,,56號位只有唯一排法.,4×2=8種排法.A25,由對稱性,同樣8種排法A2=4,2號位可BiCi(i3.fx)=acosx+x=a2+b2sin(xf(x)=acosx+bsin7π,0的一個對稱點為ππ,0 ,32種排法(排最于是,y=fx的一個對稱一種顏色,,5號位2種排,6號 ,05綜上所述,甲勝的概率=4πy=則曲x的一個對稱點 -3π,06.5π的周期為2π,其對數(shù)y=x對于固定的i(1≤i≤j),在第i站上車的旅客中,當列車通過第j站時仍然留在車上的至多有20-j,這是因為同在第i站上車要在不同的車站下車,而后面只有20-j注意i=1,2,?j,,列車在第-j12?,20j(20j的值分別為19,36,51,64,75,84,91,96,99,100,99,96,91,84,75,64,51,36,19,故列車有100座位就足夠了,i1≤i≤1020-i人時,前10個站上車的旅客在后面每個站都分別有一個人下車,于是,當列車從第10站出,10×10=100,這時列100個座位的周期為π,故選(B4.M為集合{x|x1}的任意一個非tx為定義M上的任意一個函數(shù).x-2t(x)≥, 1f(x)Mx都符合條件5.記兩個紅球為A1A2,兩個藍球B1,兩個黃C1C2,在圓周上按逆時方向排列6個位,依次編號12,3,456.則題中的實驗等價6個球隨機地安6個位,每個位置上一個球,任何個球安排到任何一個位置上的可能性都是綜上所述,列車至少要安排100個座位1.{0,93QD. PC·QD而|PC| 127,|令1 =y,則不等式化x2+y2=1,x3+y3 127cosθ=10≤x3+y3綜上所述,列車至少要安排100個座位1.{0,93QD. PC·QD而|PC| 127,|令1 =y,則不等式化x2+y2=1,x3+y3 127cosθ=10≤x3+y3-x2=x2(x-1)+y2(y-=(1-y2)(x-1)+(1,cosαcosθ=x2)(y-mm+=-(y2-1)(x-1)-(x2-1)(y-=-(1-x)(1-y)(x+y+2)3.a+n+m-1 n+m-注意1x2+y2≥x2,同理,|y|x|12=a+a++a=C+CdSSnn12nn n= ++?+ 111)1±x≥01±y≥0x+y2x+y2=0,x1=y+1=0,=(C+C+?+ a12n1222)(C+C+?+ 23n滿 =1.因此,x+y+2> 23=a+n+1 n+y)于是,不等式化為(1-x)(11x≥01-y≥0故(1-x)(1-y)=0.解得xy)=(1,0)(0,1用數(shù)學歸納法可以證明( m+ =a+ n+m-1 n+m-4.8-1xcosαysin經(jīng)檢驗x01都是原不等式的解故原不等式的解集為{0≤(x2+y2)(oα+in2)x2+y2=2.1知點P(x,y)形成的圖像在 =1外部5設異面直線PCDQ所成角為,向量PC、QD的夾角為θ以下底面中心坐標系.由|x||y|≤2Pxy形成的圖像于是,P形成的圖像的8π.5.2011014.設共剪了k刀.由于每剪一刀增加一個多邊形,從而,共有k1個多邊形除一個三角形,一個四邊形,一個五邊形??一個2008邊形外,還有(k+1)-2006=k-2個多邊形S≥3+4+?+2008+3(k-2x軸建立空間直C(3,08)D(-3,08)99 9P. , 9PC, ,22=3k+2011又每剪一刀4條邊原多邊形有兩條邊被一分為二,且截痕為兩條新增的邊),于是,S=4+4k.,44k=S≥3k2011018k≥2011另一方面,先將正方形剪一刀剪成一個三角形和一個五邊形,再將其中的五邊形剪一刀剪成一個四邊形和一個五邊形=3k+2011又每剪一刀4條邊原多邊形有兩條邊被一分為二,且截痕為兩條新增的邊),于是,S=4+4k.,44k=S≥3k2011018k≥2011另一方面,先將正方形剪一刀剪成一個三角形和一個五邊形,再將其中的五邊形剪一刀剪成一個四邊形和一個五邊形,又將其角形和一個五邊形,再將其中的五邊形剪一,a1a3·a2a4<a1a4·a2a3由以上討論可知兩個首位排最大與次大的兩個數(shù),接下來排兩個數(shù)的第二位,余下數(shù)中最大的(或多出數(shù)位的)數(shù)排在首位較小的那個數(shù)的第二位,次大的排在另一數(shù)的第二位,接下來排兩個數(shù)的第三位,余下數(shù)中最大的(或多出數(shù)位的)數(shù)排在首位較小的那個最大的積 a2a3?a2p-1a2p+1a2p+2?an·a1a4a6?a2pPB=x,∠D1.cosα3,剪出了兩個三角形、一個四邊形、剪成一個七邊形和若干個三角形,以后都=632(1一個三角,t-3刀剪成一個tt=x2+2-22xcos8,9,?,2008邊形和若干個三角形.共剪545+?20052011014刀 6.a2a3?a2p-1a2p+1a2p+2?an·a1a4a6?a2p43x=x2+23ACBDO,MPM先排兩個數(shù)的首位,必定是一個a1PM=BM=x一個a12 接下來排兩個數(shù)的第二位(如果都PM3xBM6x話),必定是一個a,a3334不管它們后面各自是否有數(shù),AB”,它們相乘后所在數(shù)位比后面的數(shù)字相乘所在數(shù)位要高x3MOB,2MCMA<MD,M為圓心、MD為半徑的圓覆蓋了正方形ABCD.從而,覆蓋了點Q.MQ≤MD,PQ≤PDPQ2≤PD2=PM2+2a1a3·a2a4a1a4·a2a3a3-a4=ra1a3·a2a4換成a1a3a2a3,則增大r個a1a3進一步換個a2a3a1a4·a2a3則又減少了ra1a3·a2a4a1a4·a2a3r x2.2 33個a1a3-a2a3)2222008),,不妨則(PQ+ 2(PQ+))11,286≤x2++2x2+4 2 333=4x2-163x+3因為x34x2163+823上遞減,所以,4x2-163x8≤80,32≤2(PQ+ )PQ+22222008),,不妨則(PQ+ 2(PQ+))11,286≤x2++2x2+4 2 333=4x2-163x+3因為x34x2163+823上遞減,所以,4x2-163x8≤80,32≤2(PQ+ )PQ+211ii,由塞瓦定理當且僅x0PQ=PC1,等號AMi·CNi·FO=,PBQD處MiCNiFx>3M在線OD上.由對稱設直MNx軸交Qi122,M為圓心、MB為半徑的圓覆蓋了正ii?,2008),△ACF被直QiNiMi,由涅勞斯定理≤ABCD覆蓋了點Q于MB因此PQ≤PBPQ2≤PB2=PM2+2,AMi=MiCNiF ii兩式相除 . QiF6 x2=x2x3=FA·OF=ac+=12>5=iOA- a-222則(PQ+ 2(PQ+))11MiNii1,2?,2008過橢圓≤2x2+2x2+4-83x=4x2-83x+軸延長線上一定點,MiNii1,2?,2008將橢圓分割為2008+1=2009塊.存在將實數(shù)集劃分為若干個類,兩個數(shù)xy屬于同一個類當且僅當存在mn∈Z使x-y=m+n2.在每一個類中取定一個,這些元素構成一個集M3383≤ 34x2x+2上遞,,4x2-83x4≤83在,3即≤2(PQ+ PQ+)≤2,等號 1當且僅x=3PQPC1對任x∈R,xx0=m2,x0n立Mmn∈Z,mn是唯一的所以PQ+PC122綜上所述,PBQD實際,若存m1n1m2n2∈Z,xx0=m1+n12=m2+2則n1-n22=m2-m1PQPC1的值最大,最大值222=m2-若,∈Q,矛盾四、考察任意一點Pi(i=12, n1-所以n1=n2進而m1=m2于是,MF=MO=ME==EFf(n2,g(++m 22]]fxgxR→R上的函,∠OEF=∠EOC=FOP≤≤所以n1=n2進而m1=m2于是,MF=MO=ME==EFf(n2,g(++m 22]]fxgxR→R上的函,∠OEF=∠EOC=FOP≤≤∠EPF ]00f(x)+g(x) +n2 +22OE=EP,EF是公共邊則等價于∠OEFOEF+∠PEF=180°則等價于90.∠MPO≤∠NPO首先證:若i2=-1=x下面證明fx)gx是周期函數(shù)x-x0=m+n2x0∈Mmn∈Zx1=x0+m1)+n2x+2x0+m+(n+2由定義n-=f(x++n2=f(x)=x-2=i[(x-i)n-(x+i)n]=①g(x++m=g(x)22Px)i[x所以fx)gx都是周期函數(shù)i)n-(x+i)n]2Px是一n-1次多項式,其首系數(shù)第二試SMNi211[C(-i)-Ci]=聯(lián)nnxcotkπ(1≤k≤n-1nnn(x+i)= +nnnn= +innkππn= +ink(-=SM∥ADNTMN分別是DOBO的中點所,ST分別AOCO的中點.設直SMNT交于Q,SQOP于點ES是AO的中,EOP的中點.TQ∥OP,OST的中點,得ESQ的中點.于是,聯(lián)結PQ,則PQ∥AC.OF∥NP,MPF,EF,∠OPN= n= -innn=xi所以,P =n由因式定理n-=P(x)x- nπ中x inn-πn,+=-2m(fxa0+a1x+a2+,amnnπnπf(1)+f(ω)+f(ω2)+?+f(ωp-1=-n +得2na0+a1ω=a0+a1+a2?+amπnπ +i)=-n+n-πn,+=-2m(fxa0+a1x+a2+,amnnπnπf(1)+f(ω)+f(ω2)+?+f(ωp-1=-n +得2na0+a1ω=a0+a1+a2?+amπnπ +i)=-n+ a+?+a+a2m 2n-1nπnn-ω2=πn+?+a0m(p-·n2(p- +p-ω+anππn +in=p(a+a++?)=pS 2n-nn= cscx2p又f(x)=(1+x)(1 ?(1+ ,f(1)+f(ω)+f(ω2)+?+f(ωp-1p-=2p+∑f(ωk)k=其中f(ωk(1ωk1ω2k)?