福建省廈門海滄重點中學2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題(含答案)

廈門海滄重點中學2023-2024學年第一學期高二數(shù)學期中考試姓名：__________班級：__________座號：__________考場考號：__________.考試時間：120分鐘；總分150分.注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名?班級?考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.已知空間四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（）A.2B.-2C.1D.-1

2.在數(shù)列中，，且，則（）A.2B.-1C.D.1

3.直線平分圓，則（）A.B.1C.-1D.-3

4.三棱錐中，為的中點，為的中點，若，則（）A.B.C.D.5.一束光線自點發(fā)出，被平面反射，到達點被吸收，那么光線自點到點所走的距離是（）A.B.12C.D.57

6.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作（圓錐曲線論）是古代世界的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩個定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡為圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知.動點滿足，則動點的軌跡與圓的位置關系是（）A.內(nèi)含B.相離C.內(nèi)切D.相交7.已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，延長交準線于點，分別過點作準線的垂線，垂足分別記為，若，則的面積為（）A.B.4C.D.2

8.已知橢圓的左?右焦點分別為，直線與橢圓交于點，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.對于直線，有以下說法，其中錯誤的有（）A.傾斜角為B.在軸上的截距為4C.原點到直線的距離為2D.直線的一個方向向量為10.已知空間中三點則下列說法正確的有（）A.B.C.D.在上投影向量的長度為11.記是數(shù)列的前項和，且，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.D.當時，取得最大值12.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.若為線段上的一個動點，則的最大值為2C.點到直線的距離是D.異面直線與所成角的正切值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中，16題第一空2分，第二空3分.13.寫出一個漸近線方程為的雙曲線標準方程__________.14.在等差數(shù)列中，如果前5項的和為，那么等于__________.15.若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是__________.16.在數(shù)學史上，平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐標系中，動點到兩個定點的距離之積等于2，化簡得曲線，則的最大值為__________.三?解答題：本題共6小題共70分.解答應寫出文字說明?證明步驟或演算步驟.17.已知直線.（1）若直線過點，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.18.已知等差數(shù)列的前三項依次為，前項和為，且.（1）求及的值；（2）設數(shù)列的通項公式為，求的前項和.19.已知直線，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線右上方.（1）求圓的方程；（2）問題：是否存在__________的直線被圓截得的弦長等于？若存在，則求直線的方程；若不存在，請說明理由.請從下面給出的三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并進行解答.①過點；②在軸上的截距和在軸上的截距相等；③方程為.20.已知一條曲線在軸右邊，上每一點到點的距離減去它到軸距離的差都是1.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率為的直線與交于兩點，，求直線的方程.21.如圖，在三棱臺中，，，側(cè)棱平面，點是棱的中點.（1）證明：平面（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22.設橢圓的離心率為，直線過橢圓的右焦點，與橢圓交于點；若垂直于軸，則.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左右頂點分別為，直線與直線交于點.求證：點在定直線上.參考答案：1.D【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決【詳解】由四點共面，且其中任意三點均不共線可得，解之得2.A【分析】根據(jù)給定條件推導出數(shù)列的周期，再借助周期性計算得解.【詳解】在數(shù)列中，，，則，于是得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，，所以.故選：3.D【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.故選：D4.D【分析】利用給定的空間向量的基底，結(jié)合空間向量的線性運算表示作答.【詳解】三棱錐中，為的中點，為的中點，且，如圖，.故選：D5.C【分析】求出關于平面的對稱點，然后連接求出距離，就是光線所行走的路程，計算可得答案.【詳解】由題意，關于平面的對稱點為則故答案為：C【點睛】（1）本題主要考查點關于平面的對稱點的求法，考查空間兩點間的距離的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象推理能力.（2）空間點關于平面的對稱點的坐標為.6.D【分析】設，應用兩點距離公式和已知條件求得動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，再由圓心距與半徑的關系判斷位置關系即可.【詳解】設，則，整理得，所以動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而的圓心為，半徑為，由于和的距離，則，所以動點的軌跡與圓的位置關系是相交.7.A【分析】利用拋物線的定義結(jié)合條件可得，進而可得.【詳解】法一：由題意可知，，則，拋物線的準線方程為直線，則，因為，所以，所以，所以，所以，所以.因為，所以，解得，所以，點到的距離為，所以.法二：因為，所以，所以，即.連接，又，所以為等邊三角形.易得，所以.故選：A.

8.C【分析】先根據(jù)題意畫出橢圓的圖像，再求出點的坐標，進而利用得到離心率.【詳解】如圖，不妨設點為第二象限的點，直線與軸交于點，于是.又，則由，得，即，于是.所以橢圓的離心率.故選：C.

9.ABD【分析】A.根據(jù)直線求得斜率即可；B.根據(jù)直線，令求解判斷；C.根據(jù)直線，利用點到直線的距離求解判斷；D.根據(jù)直線，求得斜率判斷；【詳解】A.因為直線，所以，因為傾斜角的范圍是，所以傾斜角為，故錯誤；B.因為直線，令，得，所以在軸上的截距為-4，故錯誤；C.因為直線，所以原點到直線的距離為，故正確；D.因為直線，所以，則直線的一個方向向量為，故錯誤.10.ACD【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算，可得答案.【詳解】對于，由，則，故A正確；對于，由，因為，所以兩向量顯然不平行，故錯誤；對于C，由，則，故C正確；對于在上投影向量的長度為，故D正確.故選：ACD.11.ACD【分析】由等差數(shù)列的定義可判斷A；求出可判斷B?C；根據(jù)的表達式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯誤，C正確；當時，取得最大值，故D正確.12.BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則判斷，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算.【詳解】因為，所以，故A錯誤；如圖以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，對于：因為為線段上的一個動點，設，則，所以，所以當時，故B正確；對于C：，所以點到直線的距離，故C正確；對于D：因為，所以，所以，即異面直線與所成角的正切值為，故D正確；13.【分析】不妨設雙曲線方程焦點在軸上，根據(jù)漸近線方程以及的關系，得出雙曲線的標準方程.【詳解】不妨設雙曲線方程焦點在軸上，漸近線方程為，則故答案為：14.4【分析】利用等差數(shù)列前項和公式和等差中項求解即可.【詳解】因為等差數(shù)列前5項的和，所以，所以故答案為：4.15.【分析】根據(jù)題意分析可得曲線是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為，可得，且，所以曲線是以為圓心，1為半徑的右半圓，直線過定點，斜率為，如圖所示：當直線過時，可得；當直線與曲線相切，則，解得；所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.【分析】根據(jù)軌跡方程求出的取值范圍，再求最值即可得解.【詳解】由動點滿足的方程為，所以，即，解得，故，故，即的最大值為.17.（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為-1，可求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出.【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為.因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.18.（1）；（2）.【解析】（1）利用等差中項以及等差數(shù)列的前項和公式即可求解.（2）由（1）可得，從而可得數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】（1）設該等差數(shù)列為，首項為，公差為，則.由已知得，得，由，得（負值舍去）..（2）由（1）得，則，又，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，19.（1）（2）選①，存在，直線的方程為或；選②，存在，直線的方程為；選③，不存在直線，理由見解析【分析】（1）設圓心坐標為，由圓心到切線距離等于半徑求得得圓方程；（2）由弦長得圓心到直線的距離，選①，檢驗斜率不存在的直線符合要求，斜率存在的直線設出直線方程后由點到直線距離公式求解；選②，分類討論，截距為0，直線過原點時檢驗可得，截距不為0時設出直線方程，由點到直線距離公式求解；選③，直接由點到直線距離公式求解.【詳解】（1）直線與軸交點為，依題意設所求圓的圓心的坐標為，則，解得或（舍去）.故所求圓的方程為；（2）由題意易得圓心到直線的距離為選①：直線過點.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知符合題意；若直線的斜率存在，不妨設直線的方程為，即，則，解得，此時直線的方程為.綜上，存在符合題設的直線且其方程為或選②：直線在兩坐標軸上的截距相等.若直線的截距都為0，則直線過原點即圓心，不合題意；若直線的截距都不為0，不妨設直線的方程為，即.則有，解得.綜上，存在符合題設的直線且其方程為.選③：直線方程為.由題意，得整理，得因為，所以方程無解，所以不存在符合題設的直線.20.（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)條件有化簡得答案.（2）有拋物線過交點的弦長公式有，然后設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出代入，可計算出，得到直線方程.【詳解】（1）設點是曲線上任意一點，那么點滿足：.化簡得曲線的方程為.（2）由題意得，直線的方程為，設.由得.因為，故，所以.由題設知，解得或.因此直線的方程為或.【點睛】本題主要考查曲線與方程?直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.21.（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理，可得，再結(jié)合線面垂直判定定理，可得答案.（2）建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，根據(jù)面面角與法向量夾角的關系，可得答案.【詳解】（1）在平面內(nèi)，過作，且，則，在中，，易知，即，平面平面，，且平面平面，平面平面，平面.（2）以點為原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，由點為的中點，則在平面中，取，設該平面的法向量，則，即，今，解得，故平面的一個法向量，在平面中，取，設該平面的法