雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 省賽獲獎(jiǎng)

2.3雙曲線2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程南靖一中王明毅

悲傷的雙曲線

如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸如果我是雙曲線，你就是那漸近線雖然我們有緣，能夠生在同一個(gè)平面然而我們又無緣，漫漫長路無交點(diǎn)為何看不見?難道正如書上說的，無限接近不能達(dá)到為何看不見，明月也有陰晴圓缺此事古難全，但愿千里共嬋娟生活中的雙曲線法拉利主題公園巴西利亞大教堂麥克唐奈天文館1.記住雙曲線的定義，會(huì)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)）2.會(huì)用待定系數(shù)法確定雙曲線的方程.（難點(diǎn)）探究點(diǎn)1雙曲線的定義問題1：橢圓的定義？

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.問題2：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”是什么？①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（非零常數(shù)）.

上面兩條曲線合起來叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支.看圖分析動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.圖圖①兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——雙曲線的焦距.oF2F1M

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.雙曲線定義||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<2c)注意1.定義中為什么要強(qiáng)調(diào)差的絕對(duì)值？【舉一反三】若不加絕對(duì)值，則曲線為雙曲線的一支.2.定義中的常數(shù)2a可否為0，2a=2c,2a>2c？不能.若為0，曲線就是F1F2的垂直平分線了；若為2a=2c,曲線應(yīng)為以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；若為2a>2c,這樣的曲線不存在.明確了雙曲線的定義，你能根據(jù)定義求出其方程嗎？探究點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.建系.

如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，y軸為線段F1F2的垂直平分線.F2F1MxOy

設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn),雙曲線的焦距為2c(c>0),則F1(-c,0),F2(c,0)，又設(shè)點(diǎn)M與F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a.2.設(shè)點(diǎn).3.列式由定義可知，雙曲線就是集合：P={M

|||MF1|-|MF2||

=2a},

4.化簡(jiǎn)此即為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由雙曲線的定義知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得：

上面方程是雙曲線的方程,我們把它叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.想一想：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是什么？我們應(yīng)該如何求解？

定義

方程

焦點(diǎn)a,b,c的關(guān)系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|

橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）【總結(jié)提升】【解析】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)?a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為定位定量【變式練習(xí)】【解析】例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.分析:首先根據(jù)題意,判斷軌跡的形狀.由聲速及A，B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差,可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值.這樣，爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上.【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.xyoPBA設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則即2a=680，a=340.又所以2c=800,c=400,因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡（雙曲線）的方程為【變式練習(xí)】1.若在A,B兩地同時(shí)聽到炮彈爆炸聲,則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是什么?【解析】

爆炸點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線.2.根據(jù)兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)在某條曲線上，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.而現(xiàn)實(shí)生活中為了安全，我們最關(guān)心的是炮彈爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，怎樣才能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置呢?【解析】再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B，C（或A，C）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.例2:如果方程表示雙曲線，(1)求m的取值范圍.(2)證明（1）中的雙曲線有共同的焦點(diǎn)1．已知兩定點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，則當(dāng)a＝3和5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為(

)A．雙曲線和一直線B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線D．雙曲線的一支和一條直線A··4.若雙曲線kx2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)，則k=__________