數(shù)學(xué)歸納法 省賽獲獎(jiǎng)

2.3數(shù)學(xué)歸納法對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。歸納法｛

完全歸納法不完全歸納法由特殊一般特點(diǎn):a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)二、數(shù)學(xué)歸納法的概念：完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立若當(dāng)n=k(kn0)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立,(2)（歸納遞推）假設(shè)n=k(kN*

，kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立所以n=k+1時(shí)結(jié)論也成立那么求證1注意

1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ).找準(zhǔn)n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)n＝k時(shí)命題成立．作為必用的條件運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)情況則有待利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立。

②假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時(shí)等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當(dāng)n=k+1時(shí)：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

由①和②可知，對n∈N，原等式都成立。

例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N）.

請問：第②步中“當(dāng)n=k+1時(shí)”的證明可否改換為：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?為什么？

例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明注意

1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ).找準(zhǔn)n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)n＝k時(shí)命題成立．作為必用的條件運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)情況則有待利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明例4、求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…

?(2n-1)證明：①n=1時(shí)：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設(shè)當(dāng)n=k((k∈N）時(shí)有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),

當(dāng)n=k+1時(shí)：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2=2k+1?1?3?…?(2