2022年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案?答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.設(shè)集合A={xCZ|-3cx<1},B={4?-4V0},則ACB=()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.(-3,2)D.(-2,1)

,1-z

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i,2為z的共輾復(fù)數(shù),則一=()

z

11111.1.1.

A.一+-iB.---Cr.-2+2lD.

22222l

3.已知等差數(shù)列｛即｝滿足。2+。4=4,44+410=8,則54=（)

13

A.6B.—C.7D.10

2

4.設(shè)小，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題正確的是（）

A.若m_L〃，wca,貝！|B.若m_La,"2U0,則a_L0

C.若"2_La,〃_La,則mD.若mua,a//p,則相〃〃

y-1<0,

5.若變量x,y滿足約束條件?-140,則z=x+y的最大值為（）

、2%4-y>0,

A.B.-C.3D.4

32

6.下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)的是（）

2

A.f(x)=x\x\B./(%)=%3

C.f(x)=x-^D.f(x)=-X4+X2+2

7.己知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（cos75°-sin75°,

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cos75°+sin75°),則角a可以是()

A.60°B.75°C.105°D.120°

8.與圓7+尸=1及圓f+V-Gx+SnO都外切的圓的圓心在()

A.一個(gè)圓上B.一個(gè)橢圓上

C.一條拋物線上D.雙曲線的一支上

9.已知數(shù)列借｝為等比數(shù)列，且。3=1,47=21,則49=()

A.63B.±63C.81D.±81

10.國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(InternationalCongressonMathematicalEditcation,簡稱ICME)每四

年召開一次，是全球數(shù)學(xué)教育界水平最高、規(guī)模最大的學(xué)術(shù)會(huì)議，2015年6月6日，國

際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)正式宣布，在中國上海、美國檀香山和澳大利亞悉尼三個(gè)競(jìng)標(biāo)城市中，

中國上海贏得2020年第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的主辦權(quán).后因疫情原因大會(huì)延于2021

年7月在上海華東師范大學(xué)舉辦，這是大會(huì)首次在中國舉辦.大會(huì)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的基本思想

來自我國古代的“河圖”.河圖、洛書一般認(rèn)為是中華文明之始.《易經(jīng)系辭》曰：''河出

圖，洛出書，圣人則之”，后世的太極、八卦、風(fēng)水等皆可追源至此.河圖與洛書包含了

數(shù)的奇偶分類、“等差”“等和”的排列、幻方等數(shù)學(xué)內(nèi)容，本質(zhì)上是古人對(duì)數(shù)與數(shù)學(xué)的

樸素的認(rèn)識(shí).這個(gè)會(huì)標(biāo)，你看懂了么？請(qǐng)從以下陳述中選出你認(rèn)為正確的表述.

①會(huì)標(biāo)中位于中心的弦圖是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的勾股定理的一個(gè)絕妙證明，現(xiàn)

在是中國數(shù)學(xué)會(huì)的徽標(biāo)，也代表會(huì)議主辦方中國數(shù)學(xué)會(huì).

②弦圖外的圓圈表示河圖中的帶十個(gè)點(diǎn)的圈.但會(huì)標(biāo)只突出畫了南方(上方)的陰數(shù)2

和陽數(shù)7的點(diǎn)列.寓意著本屆大會(huì)的屆數(shù).

③主畫面右下方標(biāo)明“/CME-14”，它下方的“卦”是用中國古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫

出的八進(jìn)制數(shù)字3745,換算成10進(jìn)制就是2020,表示預(yù)計(jì)開會(huì)的年份.

④八進(jìn)制數(shù)字3745,換算成10進(jìn)制就是2021,表示開會(huì)的年份.

⑤從四個(gè)“卦”中也可以讀出二進(jìn)制碼：(0)11111100101.換算成10進(jìn)制就是2020,

表示預(yù)計(jì)開會(huì)的年份.

⑥主畫面呈“S”型，表示會(huì)議舉辦地在上海(Shanghai),并呈向前的動(dòng)感，表示中國

張開雙臂，歡迎來自世界各地的與會(huì)者，也代表中國向世界開放的姿態(tài).

以上陳述中你認(rèn)為正確的表述的個(gè)數(shù)是()

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xn

A.2B.3C.4D.5

11.計(jì)算5g*6妒=（）

A.3B.4C.5D.6

12.已知尸為拋物線V=2px的焦點(diǎn)，過尸的直線/與拋物線交于4,B兩點(diǎn)，以AF、BF

為直徑的圓分別與x軸交于異于F的M,N兩點(diǎn)，且詁=2加,則直線I的斜率為（）

ir-1L

A.-B.2V2C.±-D.+2V2

33

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.某校課后服務(wù)開展社團(tuán)活動(dòng)，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)獨(dú)立地從乒乓球、籃球、足球、排球

4個(gè)社團(tuán)中任選一個(gè)社團(tuán)參加，則甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)所選社團(tuán)互不相同的概率為

14.已知向量乙b,其中向=1,\b\=2,且6-2小1（3之+7）,則向量2與了的夾角等

于-

15.如圖，在正方體ABC。-AiBiCiCi中，直線4B和平面AiOCi所成角的正弦值是,

16.我國地處北半球，房屋的窗戶大部分朝南.冬至正午太陽高度最小，在寒冷的冬天，需

要溫暖的陽光射入；在夏天，夏至正午太陽高度最大，則要避免炙熱的陽光射入.這兩

點(diǎn)正是安裝遮陽篷需要考慮的.如圖，AB是窗戶的高度，BC是遮陽篷的安裝高度，CD

是遮陽篷的安裝長度，設(shè)冬至正午時(shí)太陽光線與地面的夾角為a,夏至正午時(shí)太陽光線

與地面的夾角為。，窗戶高度AB^h.為保證冬至正午太陽光剛好全部射入室內(nèi)，夏至

正午太陽光剛好不射入室內(nèi)，則遮陽篷的安裝高度BC=.

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三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過

程或演算步驟.

17.（12分）許多人認(rèn)為大學(xué)新生在入學(xué)后體重會(huì)增加，某大學(xué)在2020年入學(xué)的新生中用

隨機(jī)抽樣的方法抽取了30名大學(xué)生跟蹤他（她）們的體重（依），得到的數(shù)據(jù)如下：

男生

入學(xué)時(shí)體重69

（kg）

1年后體重（依）70

女生

50

50

（II）如果體重的增加不少于2公斤，就說“變胖了”，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1

的前提下認(rèn)為“變胖了”與性別有關(guān).

2

附.K2____"ad—be）_______

PIJ,H-（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）,

P（片》ko）0.500.400.100.010

ko0.4550.7082.7066.635

18.（12分）在△A8C中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin/l+加inC=bsin8+csinC.

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(I)求A；

(II)若a=2g,NB與/C的角平分線交于點(diǎn)。，求△BC￡?周長的取值范圍.

19.(12分)如圖，在直棱柱ABC。-AIBICIOI中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC,AB

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IBC,AB=3OC=3,BC=6,點(diǎn)P在面AODAi上，過點(diǎn)尸和棱的平面把直棱柱

分成體積相等的兩部分.

（I）求截面與直棱柱的側(cè)面BCCiB所成角的正切值；

（II）求棱OC1到截面的距離.

20.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：）2=4x的焦點(diǎn)為八點(diǎn)A是

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第一象限內(nèi)拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(r,0)(z>0).

(I)若|。川=遍，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若為等腰直角三角形，且/砌。=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(3)弦4B經(jīng)過點(diǎn)。，過弦AB上一點(diǎn)P作直線x=的垂線，垂足為點(diǎn)。，求證：“直

線QA與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“P為弦AB的中點(diǎn)”.

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21.(12分)已知函數(shù)/'(x)=(x—l)e*—+e2(a6R).

(I)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)y=/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為卜=3CO：9-4,為參數(shù))，

(V=sind

f1

=-

I,2

將Ci通過伸縮變換《I%-3得到曲線C2.

,=-x/y

ky2

(I)求C2的普通方程；

(II)過點(diǎn)0(0,0)作直線/交曲線C2于M,N兩點(diǎn)、,|MN|=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),

以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線/的極坐標(biāo)方程.

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[選修4-5：不等式選講]

23.已知函數(shù),f(x)=|x+l|+k-1|.g(x)=a|x-H+2k+l|.

(I)解不等式/(x)W4；

(II)當(dāng)xe[-1,1],時(shí)，f(x)Wg(x),求a的最小值.

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2022年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.設(shè)集合A={x€Z|-3cx<1},B={x\x2-4<0},則ACB=()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.(-3,2)D.(-2,1)

【解答】解：集合A={x€Z|-3Vx<1}={-2,-1,0),

B={小2-4<0}={x|-2<x<2},

；.AnB={-1,0}.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i,2為z的共軌復(fù)數(shù)，則上=()

Z

11111111

A.一+-iB.---iC.+D.一白一十

22222222

【解答】解：,??復(fù)數(shù)z=l+i,彳為z的共規(guī)復(fù)數(shù)，

：.z=1-i,

.r-z_1-(1)___i______i(l-i)_11.

-z-1+i-1+i-(l-i)(l+i)-2+2"

故選：A.

3.已知等差數(shù)列{〃〃}滿足〃2+〃4=4,〃4+mo=8,則S4=()

13

A.6B.—C.7D.10

2

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{板}的公差為d,

則窗解得一:,

(2%+12d=8(d=2

4v7

所以—4。1H—-d=4+3=7.

故選：C.

4.設(shè)團(tuán)，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（

A.若加_L〃，〃ua,貝I〃z_LaB.若mJ_a,次u0,貝！Ja_L0

C.若加_La,〃_La,則機(jī)D.若mua,a〃仇則相〃〃

【解答】解：m,〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不重合的平面,

對(duì)于A,若"z_L〃，〃ua,則m與a相交、平行或mua,故A錯(cuò)誤;

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對(duì)于3,若加_La,則由面面垂直的判定定理得a_L0,故3正確；

對(duì)于C,若m_La,n±a,則由線面垂直的性質(zhì)得相〃〃，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡),若〃?ua,a〃0,則“與〃平行或異面，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

fy-1<0,

5.若變量x,y滿足約束條件—y—140,則z=x+y的最大值為()

\2x+y>0,

11

A.-4B.-C.3D.4

32

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立憶，1=0,解得A(2,1),

由z=x+y,得y=-%+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過點(diǎn)A時(shí)，

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3.

故選：C.

6.下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)的是()

2

A.f(x)=x\x\B.f(x)=%，

C./(x)=x-iD.f(x)=-X4+X2+2

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

%2%0

二",是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合題意；

{-x2,%<0

2_

對(duì)于B,f(x)=%3=V%2?是基函數(shù)，是偶函數(shù)且在(0,+°°)上是增函數(shù)，符合題

品、,

對(duì)于C,/(x)其定義域?yàn)閧xjxWO},f(-X)--f(x),是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，

不符合題意;

第12頁共26頁

對(duì)于￡>,/(x)=-X4+?+2,/(1)=2,f(2)=70,在區(qū)間(0,+8)上不是增函

數(shù)，不符合題意；

故選：B.

7.己知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(cos75°-sin75°,

cos75°+sin75°),則角a可以是()

A.60°B.75°C.105°D.120°

【解型】解?tana-皿75。+§?7175。_1+t即75。_tan450+ta/i75。_120?

L用?？?腓.tana-cos750_sin75。l-tan75°l-tan45℃an75°-taniZU'

角a可以是120°.

故選：D.

8.與圓/+歹=1及圓/+，-6x+5=0都外切的圓的圓心在()

A.一個(gè)圓上B.一個(gè)橢圓上

C.一條拋物線上D.雙曲線的一支上

【解答】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心為P,半徑為r,

圓/+y2=l的圓心為O(0,0),半徑為1,圓/+)2-6x+5=0的圓心為尸(3,0),半

徑為2,

由題意可得，\PF]=3+r,|PO|=1+r,

則|尸月-|尸0|=(3+r)-(1+r)=2<|FO|,

所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支上.

故選：D.

9.已知數(shù)歹U｛黑｝為等比數(shù)列，且43=1,47=21,則49=()

A.63B.±63C.81D.±81

【解答】解：?.?數(shù)列｛詈｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4,且。3=1,47=21,

a7

?,.q4=7^=9,即夕2=3,

T

???〃9=9X9=81.

故選：C.

10.國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(IrUeuiatioruilCongressonMathematicalEducation,簡稱ICME)每四

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年召開一次，是全球數(shù)學(xué)教育界水平最高、規(guī)模最大的學(xué)術(shù)會(huì)議，2015年6月6日，國

際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)正式宣布，在中國上海、美國檀香山和澳大利亞悉尼三個(gè)競(jìng)標(biāo)城市中，

中國上海贏得2020年第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的主辦權(quán).后因疫情原因大會(huì)延于2021

年7月在上海華東師范大學(xué)舉辦，這是大會(huì)首次在中國舉辦.大會(huì)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的基本思想

來自我國古代的“河圖河圖、洛書一般認(rèn)為是中華文明之始.《易經(jīng)系辭》曰：“河出

圖，洛出書，圣人則之”，后世的太極、八卦、風(fēng)水等皆可追源至此.河圖與洛書包含了

數(shù)的奇偶分類、''等差”“等和”的排列、幻方等數(shù)學(xué)內(nèi)容，本質(zhì)上是古人對(duì)數(shù)與數(shù)學(xué)的

樸素的認(rèn)識(shí).這個(gè)會(huì)標(biāo)，你看懂了么？請(qǐng)從以下陳述中選出你認(rèn)為正確的表述.

①會(huì)標(biāo)中位于中心的弦圖是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的勾股定理的一個(gè)絕妙證明，現(xiàn)

在是中國數(shù)學(xué)會(huì)的徽標(biāo)，也代表會(huì)議主辦方中國數(shù)學(xué)會(huì).

②弦圖外的圓圈表示河圖中的帶十個(gè)點(diǎn)的圈.但會(huì)標(biāo)只突出畫了南方(上方)的陰數(shù)2

和陽數(shù)7的點(diǎn)列.寓意著本屆大會(huì)的屆數(shù).

③主畫面右下方標(biāo)明“/CME-14”，它下方的“卦”是用中國古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫

出的八進(jìn)制數(shù)字3745,換算成10進(jìn)制就是2020,表示預(yù)計(jì)開會(huì)的年份.

④八進(jìn)制數(shù)字3745,換算成10進(jìn)制就是2021,表示開會(huì)的年份.

⑤從四個(gè)“卦”中也可以讀出二進(jìn)制碼:(0)11111100101.換算成10進(jìn)制就是2020,

表示預(yù)計(jì)開會(huì)的年份.

⑥主畫面呈“S”型，表示會(huì)議舉辦地在上海(Shanghai),并呈向前的動(dòng)感，表示中國

張開雙臂，歡迎來自世界各地的與會(huì)者，也代表中國向世界開放的姿態(tài).

以上陳述中你認(rèn)為正確的表述的個(gè)數(shù)是()

K8S

4,也

【解答】解：①三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的勾股定理的一個(gè)絕妙證明，此說法正確;

②2X7-14,即表示第14屆，此說法正確：

③八進(jìn)制數(shù)字3745,需要將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，

第14頁共26頁

八進(jìn)制數(shù)字3745=3X83+7X82+4X8'+5X80=3X512+7X64+4><8+5X1=

1536+448+32+5=2021,

則③正確，④錯(cuò)誤；

⑤二進(jìn)制數(shù)字11111100101需要將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，

11111100101=1X210+1X29+1X28+lX27+1X26+1X25+0X24+0X23+lX22+0X2'+1X

2°=1024+512+256+128+64+32+0+0+4+0+1=2021,

則⑤錯(cuò)誤；

⑥易知⑥正確；

綜上所述①②③⑥正確.

故選：C.

11.計(jì)算5妙*6妒=（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：設(shè)5好義6以=￡,

兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得/g（5好義6k2）=他3

即3妒+/m妒=儂,

可得/g5*/g6+/g2”g6=/g6?/g2+/g5）—Ig6=lgt,

即t=6,

所以5如義63=6,

故選：D.

12.已知F為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)，過尸的直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，以AF、BF

為直徑的圓分別與x軸交于異于F的M,N兩點(diǎn)，且麻=2俞，則直線/的斜率為（）

A.-B.2A/2C.+—D.+2^2

33

【解答】解：如圖所示，

第15頁共26頁

p、

y2),F(—,0),

所以3（匕

yz

,—),O\(-----

2222

作01PLV軸于P,。2。-1》軸于。,

X2+^

貝ijP(——0),Q(------,0),

22

因?yàn)镺\N=O\F,

所以「為NF的中點(diǎn)，則俞=2而,

同理，MF=2QF,

因?yàn)槁?2品,

所以2QF=2?2”,即凝=2FP,

x2+7p、

即（匕一—,0）=2(-0),

2222

P.

n；十v%1

所以5--y-=x2+n^-p,

整理得Xl+2X2=￥，(*)

設(shè)直線/的方程為尸“（X-分,

y=-%,消),整理得FW-(0必+20)什些=o,

聯(lián)立

y2=2px4

第16頁共26頁

所以Xl+X2=吸￥衛(wèi),X\X2=9,

]C4

結(jié)合（*）式可得X2=今—空，X1=與+與，代入XLX2=

乙kLk

即（卜第"邛

因?yàn)閜WO,

“，12141

所以（5一后）（5+后）=

4'

即經(jīng)=8,

所以4=土2魚,

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.某校課后服務(wù)開展社團(tuán)活動(dòng)，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)獨(dú)立地從乒乓球、籃球、足球、排球

3

4個(gè)社團(tuán)中任選一個(gè)社團(tuán)參加，則甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)所選社團(tuán)互不相同的概率為-.

-8-

【解答】解：甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)獨(dú)立地從乒乓球、籃球、足球、排球4個(gè)社團(tuán)中任選

一個(gè)社團(tuán)參加，

基本事件總數(shù)“=43=64,

其中甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)所選社團(tuán)互不相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=4：=24,

則甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)所選社團(tuán)互不相同的概率2=￡=卷=看

3

故答案為:

8

14.已知向量乙b,其中向=1,\b\=2,且G-2b）_L（3展+b）,則向量[與b的夾角等

2n

于—?

-3—

【解答】解：向量七.其中向=1,荷=2,且G—2辦上說+1），

A(a—2b)?(3a+b)=3a2—5a-b—2b2=3-5a-b-8=0,

.TT

/.a-h=—1,

..cosVa,b>=石高=9=一力

\a\-\b\

TTTT27r

V<a,b>&[Q,TT],向量a與b的夾角為三■.

第17頁共26頁

故答案為：—

V6

15.如圖，在正方體ABC。-AIBICIQ中，直線4B和平面4。。所成角的正弦值是一

-3-

【解答】解：設(shè)正方體A8C￡>-4BiCbDi中棱長為1,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

y

則4(1,0,I),Ci(0,1,1),B(1,1,0),

=(0,1,-1),

設(shè)平面Al。。的法向量為n=(x,y,z),

則任0%=x+z=。，取『I,得屋(7,_i,i),

(n-0cl=y+z=0

設(shè)直線A\B和平面A\DC\所成角為6,

則直線AiB和平面AiDd所成角的正弦值為：

小(]_而_2一行

|n|.H>r^-3-

V6

故答案為：—.

16.我國地處北半球，房屋的窗戶大部分朝南.冬至正午太陽高度最小，在寒冷的冬天，需

第18頁共26頁

要溫暖的陽光射入；在夏天，夏至正午太陽高度最大，則要避免炙熱的陽光射入.這兩

點(diǎn)正是安裝遮陽篷需要考慮的.如圖，AB是窗戶的高度，是遮陽篷的安裝高度，CD

是遮陽篷的安裝長度，設(shè)冬至正午時(shí)太陽光線與地面的夾角為a,夏至正午時(shí)太陽光線

與地面的夾角為P，窗戶高度AB=h.為保證冬至正午太陽光剛好全部射入室內(nèi)，夏至

htana

正午太陽光剛好不射入室內(nèi)，則遮陽篷的安裝高度BC=

—tan/?-tana一

（冬至）

【解答】解：由題意可得，NAQC=B，NBDC=a,AB=h,

4,AC

在RtAADC中，—=tan。,

CD

,人qBC

在RtABDC中，—=tana,

CD

又AC-BC=h,

BC+hBChtana

所以?,解得BC=

tanptanatanp—tana

htana

故答案為:

tanp-tana

三、解答題：第17-21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過

程或演算步驟.

17.（12分）許多人認(rèn)為大學(xué)新生在入學(xué)后體重會(huì)增加，某大學(xué)在2020年入學(xué)的新生中用

隨機(jī)抽樣的方法抽取了30名大學(xué)生跟蹤他（她）們的體重（依），得到的數(shù)據(jù)如下:

男生

入學(xué)時(shí)體重

（kg）

1年后體重（kg）

女生

入學(xué)時(shí)體重546066495358516155586056575350

（kg）

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1年后體重(依)576368515460545957606258585650

(I)根據(jù)上述資料，估計(jì)入學(xué)新生平均增加了多少體重；

(II)如果體重的增加不少于2公斤，就說“變胖了”，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1

的前提下認(rèn)為“變胖了”與性別有關(guān).

2

附.K2=_____叢出㈣______

叩."(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

P(犬2依)0.500.400.100.010

ko0.4550.7082.7066.635

【解答】解：(/)設(shè)入學(xué)新生平均增加體重為吞=

2+6+(-1)+3+0+(-2)+3+2+(-5)+2+3+2+3+0+1+3+3+2+2+1+2+3+(-2)+2+2+2+2+1+3+0

30

1.5,

所以入學(xué)新生平均增加了15kg.

(II)男生中“變胖了”的人數(shù)為9人，沒有“變胖”的人數(shù)為6人,

女生中“變胖了”的人數(shù)為11人，沒有“變胖”的人數(shù)為4人，

根據(jù)題意可以得到如下列聯(lián)表：

變胖了沒有變胖總計(jì)

男生9615

女生11415

總計(jì)201030

2

根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算得K2的觀測(cè)值為K2=黑胃工心？=0.6<2.706,

因此不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“變胖了”與性別有關(guān).

18.(12分)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA+bsmC^bsinB+csinC.

(I)求A；

(II)若a=2e，/B與NC的角平分線交于點(diǎn)。，求△BCQ周長的取值范圍.

【解答】解：(/)由正弦定理可得：J+兒=必+。2,

1Z?2+c2—a2i

整理得：-=---------1由余弦定理可得：cosA=1

22bc2

：.A=J.

(//)由題意可得：乙BDC=",

第20頁共26頁

2點(diǎn)

則△8C￡)的外接圓直徑2R4,

sin^n

設(shè)N￡)BC=a,

貝此DCB-a,

則△BC￡)的周長2=4sina+4sin(J-a)+2^3=4sin(a+5)+2同

VaG(O,J),

：.lG(4V3,4+2拘.

19.(12分)如圖，在直棱柱4BC。-4181cl￡)i中，底面ABC。是直角梯形，AB//DC,AB

±BC,AB=3DC=3,BC=6,點(diǎn)P在面ADD\A\上，過點(diǎn)P和棱BB\的平面把直棱柱

分成體積相等的兩部分.

(I)求截面與直棱柱的側(cè)面8CG81所成角的正切值；

(II)求棱。。1到截面的距離.

【解答】解：(/)如圖所示，過尸作PQ〃QQi,交A。于。，截面為BB1PQ,

'JABCD-A\B\C\D\為直棱柱，，平面AiBiCiQi,

：.BB\LPB\,BB\LB\C\,

二NPBiCi為截面與直棱柱的側(cè)面BCC\B\所成角的平面角，

過P作垂足為“，

'：AiB\±B\Ci,：.PH//B\C\,：.ZPB\C\=ZB\PH,

由題意可得遇

S&B1C1D1=2SA41B1P=12s41cHi=2s“iBiP=12，

45B、H5

：.PH=4,4m=?,啊=玄,r.tanZPBiCi=tanZBiPH=

DO111J.4

(II)?.?881_1_平面4劭。。1,二平面B8iP0_L平面AiBiCiZh,交線為BiP,

過小作￡>i兀LBiP,垂足為7,...Oi兀L平面BB1PQ,

則O1T的長度為棱DD\到截面所在平面的距離，連結(jié)BiDi,

-10jO

S/kPBiDi=SpBiQDi_S^BIQDI=3,?B1P=>??D]T=官，

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所以棱DD\到截面所在平面的距離為7T.

20.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)A是

第一象限內(nèi)拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(30)(f>0).

(1)若|0川=石，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若△AFD為等腰直角三角形，且/辦0=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)弦AB經(jīng)過點(diǎn)D,過弦4B上一點(diǎn)P作直線x=—的垂線，垂足為點(diǎn)Q,求證：“直

線QA與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“P為弦A3的中點(diǎn)”.

【解答】解：(1)拋物線C：?=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)拋物線C上的一點(diǎn),

可設(shè)A(m,n),即"2=4機(jī)，m>0,n>0,又|。川=遍，可得m2+〃2=5,

解得〃?=1,n=2,即4(1,2)；

(2)設(shè)A(x,y),由F(1,0),D(.t,0),

ZFAD=90°^AF-AD=(1-x,-y)<t-x,-y)=(1-x)(t-x)+y2^0,①

由尸。為等腰三角形，可得4在x軸上的投影為尸。的中點(diǎn)，

即有x=竽，且y2=4x,代入①解得r=5±4&,由r>0,可得。(5+4或，0)；

(3)先證由"P為弦AB的中點(diǎn)”可得“直線QA與拋物線相切”.

設(shè)直線AB的方程為x=ay+f,聯(lián)立拋物線方程/=以，可得y-4ay-4f=0,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),可得yi+)2=4a,

AS的中點(diǎn)P(f+加2,2a),Q(-32a),

第22頁共26頁

直線04的斜率為《=省等，又xi=a)，i+r,可得及=急嗡，

又/=以兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得2R=4,即＜=p

2

則在A處的切線的斜率為一,

71

由貂月2y…2-4a小y-，4)t

11=0,可得QA為拋物線的切線;

再證由“直線QA與拋物線相切”可得“尸為弦4B的中點(diǎn)”.

設(shè)。(7,s),即P的縱坐標(biāo)為s,可得切線QA的方程為y-s=2(x+f),

力

cy2

聯(lián)立拋物線方程『=4x可得R-)，+/+s=0，

,12t

由△=l-4?----?(-4-5)=0,

2ylyi

整理可得yJ-2syi-4f=0,②

由y\為尸-4肛-4/=0的根,可得y3-4ayi-4f=0,③

由②③為同一方程，可得2s=4”，即5-=2。="及,

可得P為AB的中點(diǎn)，

綜上可得“直線QA與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“P為弦AB的中點(diǎn)”.

21.(12分)已知函數(shù)/'0)=(無一1)靖一打2+e2(aeR).

(1)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)y=/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(/)/(x)=xex-ax=x

①當(dāng)“WO時(shí)，由/(x)=0,可得x=0,

f(x),/(x)隨x的變化情況如下：

(-8,0)0(0,+8)

第23頁共26頁

f(x)-0+

/(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

②當(dāng)0<a<l時(shí);由/(x)=0,可得x=0或x=/〃a<0,

f(x),f(x)隨x的變化情況如下：

(-°°,Ina)InaUna,0)0(0,+8)

f(X)+0-0-

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

③當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)20恒成立，所以/(x)在R上單調(diào)遞增,

④當(dāng)時(shí)，由/'(%)=0,可得x=0或X=/"4>0,

f(x),/(X)隨X的變化情況如下：

(-8,0)0(0,Ina)Ina(Ina,+°°)

f(X)+0-0-

f(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

綜上可得：當(dāng)“W0時(shí)，f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)在(-8,Ina)上單調(diào)遞增，(Jna,0)上單調(diào)遞減，(0,+<>=>)

上單調(diào)遞增，

當(dāng)”=1時(shí)，/(x)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)°>1時(shí)，/(x)在(-8,0)單調(diào)遞增，(0,Ina)上單調(diào)遞減，(Ina,+°°)上單調(diào)

遞增，…

(II)由(/)可知：①③兩種情況顯然不符合題意，

當(dāng)0Va<l時(shí)，/(0)1>0,不符合題意，

當(dāng)”>1時(shí)，

(x)在區(qū)間(-8,0】上單調(diào)遞增，?.?/(-嚕)=(一嚕_I"嚼<0,/(0)=