2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）數(shù)學真題及參考答案+評析

2022年高考數(shù)學全國卷試題評析

+

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

甲卷數(shù)學真題及參考答案

目錄

2022年高考數(shù)學全國卷試題評析.....................................3

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學...........7

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學參考答案.....12

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學..........17

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學參考答案..…22

全國甲卷適用地區(qū)：云南、四川、廣西、貴州、西藏

2022年高考數(shù)學全國卷試題評析

2022年教育部教育考試院命制6套高考數(shù)學試卷，包括全國甲卷2套（文、

理科）、全國乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考

II卷（不分文理科）。試題落實立德樹人根本任務，促進學生德智體美勞全面發(fā)

展，體現(xiàn)高考改革要求；試題突出數(shù)學學科特點，強化基礎(chǔ)考查，突出關(guān)鍵能力，

加強教考銜接，服務“雙減”政策實施，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效。

一.設置現(xiàn)實情境，發(fā)揮育人作用

高考數(shù)學命題堅持思想性與科學性的統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學應用廣泛、聯(lián)系實際的

學科特點，設置真實情境，命制具有教育意義的試題，發(fā)揮教育功能和引導作用。

1.設置優(yōu)秀傳統(tǒng)文化情境

以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為情境材料設置試題，讓學生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)

學研究成果，進一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國主義情感。新高考H卷

第3題以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，考查學生綜合應用等差數(shù)列、解析

幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力。全國甲卷理科第8題取材于我

國古代科學家沈括的杰作《夢溪筆談》，以沈括研究的圓弧長計算方法''會圓術(shù)"

為背景，讓學生直觀感受我國古代科學家探究問題和解決問題的過程，引發(fā)學生

的學習興趣。

2.設置社會經(jīng)濟發(fā)展情境

以我國的社會經(jīng)濟發(fā)展、生產(chǎn)生活實際為情境素材設置試題，如：新高考I

卷第4題以我國的重大建設成就“南水北調(diào)”工程為背景，考查學生的空間想象、

運算求解能力，引導學生關(guān)注社會主義建設成果，增強社會責任感;全國甲卷文、

理科第2題以社區(qū)環(huán)境建設中的“垃圾分類”為背景考查學生的數(shù)據(jù)分析能力；

全國乙卷文、理科第19題以生態(tài)環(huán)境建設為背景材料，考查學生應用統(tǒng)計的基

本知識和基礎(chǔ)方法解決實際問題的能力，對數(shù)據(jù)處理與數(shù)學運算素養(yǎng)也作了相應

的考查。

3.設置科技發(fā)展與進步情境

選取我國科技發(fā)展與進步中取得的重要成就作為試題背景，體現(xiàn)數(shù)學的應用

價值和時代特征，激發(fā)青年學生樹立為國家服務、奉獻科技事業(yè)的信念。如全國

乙卷理科第4題，以嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后繼續(xù)進行深空探測，成為我

國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星為情境，考查學生綜合應用數(shù)列、函數(shù)、不等

式等基本知識觀察問題、分析問題和解決問題的能力。

二.加強教考銜接，發(fā)揮引導作用

2022年高考數(shù)學依據(jù)課程標準命題，深化基礎(chǔ)考查，突出主干知識，創(chuàng)新

試題設計，加強教考銜接，發(fā)揮高考試題對中學教學改革的引導和促進作用。

1.依據(jù)課程標準

高考數(shù)學命題貫徹高考內(nèi)容改革要求，依據(jù)高中課程標準，進一步增強考試

與教學的銜接。試題的考查內(nèi)容范圍和比例、要求層次與課程標準保持一致，注

重考查內(nèi)容的全面性，同時突出主干、重點內(nèi)容的考查，引導教學依標施教。試

題突出對學科基本概念、基本原理的考查，強調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生

形成學科知識系統(tǒng)；注重本原性方法，淡化特殊技巧，強調(diào)對通性通法的深入理

解和綜合運用，促進學生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)。全國乙卷第21

題考查分類與整合的思想，全國甲卷第20題考查數(shù)形結(jié)合的思想，新高考I卷

第16題體現(xiàn)特殊與一般的思想，新高考H卷第19題對統(tǒng)計與概率的思想進行了

深入考查。數(shù)學試題力圖引導中學遵循教學規(guī)律、提高課堂教學效果，實現(xiàn)作業(yè)

題、練習題減量提質(zhì)。

2.加強主干考查

試卷在選擇題、填空題、解答題3種題型上都加強了對主干知識的考查。如

新高考I卷第12題，要求學生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性、對稱

性、導數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，對數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心

素養(yǎng)都有較高的要求。再如全國甲卷理科第19題，以學校體育比賽為情境，考

查概率的基礎(chǔ)知識和求離散型隨機變量的分布列與期望的方法，體現(xiàn)了對主干知

識的深入考查。

3.創(chuàng)新試題設計

高考數(shù)學創(chuàng)新試題形式，引導教學注重培養(yǎng)核心素養(yǎng)和數(shù)學能力，增強試題

開放性，鼓勵學生運用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題，引導教學注重

培育學生的創(chuàng)新精神。在多選題的設計上，進一步增強選項的靈活性，突出對發(fā)

散性思維和創(chuàng)新性思維的考查。在填空題的答案設計上，給學生較大的思考空間，

對知識之間的聯(lián)系、直觀想象等素養(yǎng)作了深入的考查。

試卷創(chuàng)新結(jié)構(gòu)不良問題的設計，有效增強試題的開放性，考查學生創(chuàng)新思維

能力。如新高考H卷第21題給出3個條件，要求學生選取2個作為已知條件，

證明另外一個成立，給學生提供了選擇的自由度和發(fā)揮空間，有利于對學生思維

水平的考查。

三.加強素養(yǎng)考查，發(fā)揮選拔功能

數(shù)學試題加強學科核心素養(yǎng)考查，強化數(shù)學思想方法的滲透，深入考查關(guān)鍵

能力，優(yōu)化試題設計，發(fā)揮數(shù)學科高考的選拔功能，助力提升學生綜合素質(zhì)。

1.加強思維品質(zhì)考查，增強思維的靈活性

數(shù)學試題通過突出思維品質(zhì)考查，強調(diào)獨立思考和創(chuàng)新意識。全國乙卷理科

第9題、文科第12題，研究球內(nèi)四棱錐體積的最大值問題，要求學生有較強的

空間想象能力和分析問題能力，將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題，進而利用導

數(shù)求解。新高考n卷第8題對思維的靈活性有較高要求，在抽象的情境中發(fā)現(xiàn)函

數(shù)周期性是問題的關(guān)鍵。全國甲卷理科第20題、文科第21題，考查直線、拋物

線、三角函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)以及解析幾何的基本思想方法，要求學生在復

雜的直線與拋物線的位置關(guān)系中，能抓住問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵，選

擇合理的方法。

2.加強關(guān)鍵能力考查，增強試題的選拔性

數(shù)學試題通過設置綜合性的問題和較為復雜的情境，加強關(guān)鍵能力的考查。

新高考I卷第22題重視基于數(shù)學素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，在數(shù)學知識、數(shù)學能

力和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能。新高考H卷第22題將函

數(shù)、導數(shù)、數(shù)列與不等式等知識有機結(jié)合，考查學生靈活應用函數(shù)、不等式思想

解決復雜問題的能力，對直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求。

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學

（適用地區(qū):云南、四川、廣西、貴州、西藏）

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號

填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若z=—1+Gi,貝=（）

zz-1

r-r,173,1V3.

A.-1+V3iB.-1-V3iC.1D.-----i

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識?為了解講座效果，隨機抽取10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這1。位社區(qū)居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合A={—1,2},3={兄x?—4x+3=0}，則電（AUB）=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體

的體積為()

5.函數(shù)y=(3*—3f)cosx在區(qū)間一封的圖像大致為()

6.當％=1時;函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值一2,則八2)=()

x

,1八I

A.-1B.一—C.-D.1

22

7.在長方體ABCO—ABCR中，已知BQ與平面ABC。和平面A44B所成的角均為

30°,則()

A.AB^2ADB.AB與平面AgC。所成的角為30°

C.AC=CB]D.與。與平面55GC所成的角為45°

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，

如圖，是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是AB的中點，。在A8上，CD_LAB.“會

CD2

圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+——.當。4=2,ZAOB=60°時,

0A

D

B

11-3^11-4739-3739-473

-------B.-------C.------

-2-

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,

體積分別為埼和％.若新=2,則步（

)

s乙彩

D.等

A.>/5B.2夜C.回

10.橢圓。：=+與=1（。>。>0）的左頂點為A,點尸，。均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若

a

直線AP,AQ的斜率之積為則C的離心率為（）

4

R應1

A.--cD.-

22-13

11.設函數(shù)/0）=5①（。尢+三）在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則0的取值范

圍是（）

5\f/

AB19|a

13一

--19一

3676,6

XI

3111

2Q=則

3-2-4-4-

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設向量a,力的夾角的余弦值為』，且|a|=l,|6|=3,貝U（2a+b）b=.

3

14.若雙曲線V一一了=1（m>0）的漸近線與圓/+；/-4丫+3=0相切,則加=

m

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

AC

16.已知△ABC中，點。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當——取得

AB

最小值時，BD=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（―）必考題：共60分。

17.（12分）

2S

記S?為數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知。+〃=2an+1.

（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列；

（2）若a4M7，旬成等比數(shù)列，求S“的最小值.

18.（12分）

在四棱錐P-ABCD中,PDA.底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（1）證明：BD±PA；

（2）求PO與平面248所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，

沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

（1）求甲學校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

20.（12分）

設拋物線。：丁=2力5>0）的焦點為凡點。（〃,0）,過F的直線交C于M,N兩點.當

直線MO垂直于x軸時，月=3.

（1）求C的方程；

（2）設直線A/D,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,A6的傾斜角分別為

a,/3.當a-1取得最大值時，求直線AB的方程.

21.（12分）

已知函數(shù)/（x）=--lnx+x-?.

（I）若/（x）?0,求a的取值范圍；

（2）證明:若/'（X）有兩個零點和々，則中2<1.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

X-9

在直角坐標系中，曲線G的參數(shù)方程為《6（/為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程

y=4t

2+s

x=-----,

為16(s為參數(shù)).

y=-y［s

(1)寫出G的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為

2cos6-sine=0,求G與孰交點的直角坐標，及G與交點的直角坐標.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c均為正數(shù)，且/+戶+4C2=3,證明：

(1)a+b+2c<3；

(2)若h=2c,則！+123.

ac

絕密★啟用前

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學參考答案

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號

填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將

答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11

14.如

3

16.V3-l##-l+V3

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（-）必考題：共60分.

2s

17.（1）解：因為—^+〃=2〃〃+1,即〃①，

n

當力之2時，2s+（力一I）?=2（力一1）/_]②，

①一②得，2s“+"2_2S〃_]+〃一2（〃一1）々〃_],

即+2〃-1=2%+1,

即2(〃一1”“一2(〃一l)a,T=2(〃-1),所以a“一qH—1=1,〃22且〃￡N*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)-78.

18.(1)證明：在四邊形ABCD中，作于E,CFJ_AB于尸，

因為8//AB,AD=C￡>=C8=l,AB=2,

所以四邊形ABCO為等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

故。E=￥，BD=NDE2+BE。=百,

所以AD?+BD?=AB?，

所以AD_L30，

因為P￡>_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDL8D，

又PDcAD=D,

所以8。，平面PA。，

又因B4u平面尸AD，

所以8￡>，QA；

(2)—.

5

19.(1)0.6;

(2)分布列見解析，￡(X)=13.

【解析】依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p(x=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X-20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

期望￡(x)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)y2=4x；

(2)AB:x->/2y+4.

21.已知函數(shù)/(x)=---Inx+x—ci-

(1)(-oo,e+l]

(2)由題知,/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設％<1<々

1

要證罰/<1，即證玉<一

X2

1(1

因為王，一@(0,1),即證/&)〉/—

X2lX2)

1

因為/(玉)=/(馬)，即證/(々)>/—

ex-1

即證---lnx+x-xex-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

ex-

即證——xev-2>0

x

ev-if1A

F面證明x>1時，----xex>0,Inx—x—<0

x21x)

設g(x)=---xeA,x>1,

x

則g'(x)=

A

ex—1

設9(%)=1ex=^eA>0

x

所以p(x)>^l)=e，而e：<e

所以《―￡>0,所以g'(x)>。

X

所以g(X)在(1,XQ)單調(diào)遞增

x

即g(x)>g(l)=O,所以￡-一>0

X

令〃(九)=\nx-—\x——Lx>l

h\x)=—

x捫打小=空<。

所以力(X)在(1,+CQ)單調(diào)遞減

即/?(%)<//⑴=0,所以Inx-<0；

綜上2皿1x-J>。,所以中Li.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(1)/=6x-2(y>0)；

(2)C3C的交點坐標為(；」)，(1,2)，CC的交點坐標為鳥,一1),(-1,-2).

［選修4-5：不等式選講］

23.(1)證明：由柯西不等式有［。一+3-+(2c)］(r+r+1~)2(a+b+2c),

所以a+b+2c43,

當且僅當。=b=2c=l時，取等號，

所以a+b+2c43；

(2)證明：因為b=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+Z?+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以二一2,，

。+4c3

由權(quán)方和不等式知■!■+■!■=￡+2i之（+2）=9之3

aca4ca+4ca+4c

121

當且僅當一二一，即a=l,c=一時取等號，

a4c2

所以—F—>3

ac

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

文科數(shù)學

（適用地區(qū):云南、四川、廣西、貴州、西藏）

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號

填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合4=（-2,-1,0,1,2},B=則Ap|B=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（)

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.若z=l+i.則|iz+3Z|=（）

A.475B.472C.2#>D.2&

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1.則該多面體

的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

5.將函數(shù)/(x)=sin(^yx+■|)(^y>0)的圖像向左平移5個單位長度后得到曲線C,若C

關(guān)于y軸對稱，則①的最小值是()

1clclr1

A.-B.-C.-D.一

6432

6,從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

7.函數(shù)/(x)=(3X—3T)cosx在區(qū)間一%工的圖像大致為()

X

A.-1B.C.-D.1

22

9.在長方體ABC?！狝4CA中，己知8Q與平面ABC。和平面A448所成的角均為

30°,則()

A.AB=2ADB.AB與平面封與^。所成的角為30°

C.AC=CB{D.BQ與平面3與G。所成的角為45°

10.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為27r，側(cè)面積分別為S甲和S乙，

體積分別為埼和力.若薩=2,則a=（）

s乙吃

A.V5B.2夜C.MD.

4

丫221

11.已知橢圓。：^+與=1（。>。>0）的離心率為2,分別為。的左、右頂點，B

ah3

為c的上頂點.若則c的方程為（）

2222222

XVXV_VX2.

A.---1---=1B.---1---=1C.----1---=1D.---hy=1

181698322

12.已知|9'〃=10,。=10切一9,則（）

A.a>O>hB.a>b>0C,b>a>0D.h>0>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=（加,3）,力=（1,優(yōu)+1）.若aJ_b,貝iJ/%=.

14.設點〃在直線2x+y—1=0上，點（3,0）和（0,1）均在上，則。用的方程為

15.記雙曲線C:二一與=1（。>0,。>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

a~b~

無公共點”的e的一個值_____________.

A.Q

16.已知△A8C中，點。在邊BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.當一取得

AB

最小值時，BD=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

甲、乙兩城之間的長途客車均由4和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行

情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準點班次數(shù)未準點班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；

（2）能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(8+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

記S“為數(shù)列J｛a,,｝的前八項和.已知名?+〃=2%+1.

(I)證明：｛a,,｝是等差數(shù)列；

(2)若能,外，a9成等比數(shù)列，求S“的最小值.

19.(12分)

小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是

邊長為8(單位：cm)的正方形，△以^△F3C,Z\G8,ZV/D4均為正三角形，且它

們所在的平面都與平面A8CD垂直.

(1)證明：防〃平面A8CD；

(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).

20.(12分)

已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點處的切線也是曲線

y=g(無)的切線.

(1)若玉=-1,求a：

(2)求。的取值范圍.

21.(12分)

設拋物線。：：/=2「匹(2>0)的焦點為￡點。5,0),過戶的直線交C于M,N兩點.當

直線MZ)垂直于x軸時，

(1)求C的方程：

(2)設直線A/D,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,A3的傾斜角分別為

a,(3.當a取得最大值時，求直線AB的方程.

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

'2+t

X-

在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為16(r為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程

6(s為參數(shù)).

y

(i)寫出G的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為

2cos。一sin6>=0,求G與G交點的直角坐標，及G與C2交點的直角坐標.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

己知a,"c均為正數(shù)，且