專題16 解直角三角形及其應(yīng)用（7大題型）（原卷版）

專題16解直角三角形及其應(yīng)用（7大題型）【題型目錄】題型一解直角三角形的相關(guān)計算題型二解非直角三角形題型三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積題型四仰角俯角問題題型五方位角問題題型六坡度坡比問題題型七解直角三角形的其他應(yīng)用【知識梳理】知識點1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）知識點2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；知識點3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．知識點4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．知識點5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．【經(jīng)典例題一解直角三角形的相關(guān)計算】1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東青島·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為的菱形中，，點是邊的中點，點是邊上一動點，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值是（）

A． B． C． D．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，，于點，，則．

4．（2022春·安徽蕪湖·九年級?？甲灾髡猩┤鐖D所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個頂點分別在，，上，則．

5．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校?？计谥校┪覀兌x：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（），如圖①，在中，，頂角A的正對記作，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

(1)________．(2)對于，的正對值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．【經(jīng)典例題二解非直角三角形】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A． B． C． D．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在等腰中，于點，則的值（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，若，，，則．4．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長為，的面積為．5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【經(jīng)典例題三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積】1．（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點，將沿直線AM對折得到，若AN平分，則CN的長為（

）A． B． C． D．33．（2022秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．4．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，．則的長的值為．【點睛】本題考查了解直角三角形的知識，理解題意、明確思路、正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考自主招生）四邊形中，，，點E在邊上運動（不與C重合），點F在上運動，且．

(1)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系；(2)若，你在（1）中得到的結(jié)論是否會發(fā)生變化？寫出猜想并給出證明；(3)若，，為銳角，設(shè)，當E，F(xiàn)運動時，求t的取值范圍．【經(jīng)典例題四仰角俯角問題】1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，從航拍無人機看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）

A． B． C． D．2．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（

）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．3．（2022年湖北省武漢市中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，一飛機到達A點時，測得觀禮臺C在飛機前下方，俯角為，此時飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機飛行了6千米到B處時，居民區(qū)D恰好在飛機的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）4．（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在距某居民樓樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點到坡頂D點的距離m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

5．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【經(jīng)典例題五方位角問題】1．（2023秋·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點D，點E分別位于測繪點C的正北和正西方向．已知測得兩定位點E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測繪點H，G分別為，的中點，測繪方在測繪點H測得點G在點H的南偏西的方向上，且，則隧道的長約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．1600m B．1300m C．980m D．900m3．（2023秋·山東泰安·九年級泰安一中校考期中）如圖，輪船從處以每小時60海里的速度沿南偏東方向勻速航行，在處觀測燈塔位于南偏東方向上，輪船航行40分鐘到達處，在處觀測燈塔位于北偏東方向上，則處與燈塔的距離是．

4．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為．

5．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學(xué)校考期末）如圖，某漁船向正東方向以10海里/時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向上，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險（參考數(shù)據(jù)：、、）【經(jīng)典例題六坡度坡比問題】1．（2023春·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達點，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達點、、、、在同一平面內(nèi)，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖2是摩天輪圖1的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，是摩天輪垂直地面的直徑，小嘉從摩天輪最低處B下來先沿水平方向向右行走到達C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為，坡長為的斜坡到達點D，然后再沿水平方向向右行走到達點E（A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)），在E處測得摩天輪頂端A的仰角為，則的高度約為（

）米．（參考數(shù)據(jù)：，，）

A．24.6 B．22.7 C．27.5 D．28.83．（2023春·四川南充·九年級校考階段練習(xí)）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩嬑觀測到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

【經(jīng)典例題七解直角三角形的其他應(yīng)用】1．（2022春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當秋千靜止在地面上時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計算2．（2022秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谥校橥瓿伞熬C合與實踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負責放風(fēng)箏，小華負責測量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當小明把風(fēng)箏放飛到空中到點P處時，小華分別在地面測得，，米，則風(fēng)箏的高度的長為（

）米（點C在點P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號）

A． B． C． D．3．（2022·湖北武漢·?？既＃┯幸环N落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整晾衣竿的高度圖2是支撐桿的平面示意圖，和分別是兩根不同長度的支撐桿，夾角．若，，問：當時，較長支撐桿的端點A離地面的高度h約為．（參考數(shù)據(jù)：，）．

道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長廊加修一條棧道，則的最短長度為米．（結(jié)果精確到0.1，，）5．（2022春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請求出索塔高的長．（結(jié)果精確到0.1米，）

【重難點訓(xùn)練】1．（2022秋·廣西梧州·九年級統(tǒng)考期末）已知在中，，，，則的長（

）A．7 B．8 C．8或17 D．7或172．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖是一個山坡，已知從處沿山坡前進160米到達處，垂直高度同時升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，點P是BC延長線上一點，，且，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，從航拍無人機看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．如圖，小明把矩形沿折疊，使點落在邊的點處，其中，且，則矩形的面積為（

）

A． B． C． D．6．（2023春·廣東深圳·九年級深圳中學(xué)?？甲灾髡猩┤鐖D，已知中，，，，若，則．

7．（2023秋·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，河堤的橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長度是．

8．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在，，點D、E分別在、上，平分，，，，．

9．（2022秋·黑龍江大慶·九年級校考期中）如圖，某廣告牌豎直矗立在水平地面上，經(jīng)測量，得到如下相關(guān)數(shù)據(jù)：則廣告牌的高．（結(jié)果保留根號）

10．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標志性文化名片，如圖2，線段表示“鐵軍”雕塑的高，點，，在同一條直線上，且，，，則線段的長約為m.（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

11．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強學(xué)校校考階段練習(xí)）為了維護海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加強了海洋巡邏力度，如圖，一艘海監(jiān)船