2023年高考數(shù)學(xué)第13講 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

第13講橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

一、知識概要

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)如下：

平面上到兩定點用耳的距離之和等于定長2a的點的軌跡，叫作橢

圓，歸用+歸國=加＞勿=忻用

定義統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到一定點的距離與到一定直線（不過定點）的距離之比

等于常數(shù)e,當(dāng)OVe＜l時，動點的軌跡為橢圓，定點為橢圓的焦點，

定直線為相應(yīng)的準(zhǔn)線.

y

y

4

耳力

圖形-X工

4go/J___

Fx

B,

2

x=-fl尤L

cx=-cT

2

22V丫2

標(biāo)準(zhǔn)方程:七1（心心。）

范圍H融,|y|b限h|x|b

對稱性x軸，y軸為對稱軸；。為對稱中心.

焦點、頂點F（±c,O）,A（土砌,5（0,土b）F（0,±c）,A（0,±a）,B（±Z?,O）

焦距、兩軸焦距閨周=2c,b2=a2-c2,長軸|A4|=2a,短軸陶馬=必

焦半徑t[=a+ey,r1=a-ey

準(zhǔn)線方程77

離心率e=工且0Ve<I

a

%）＞1=點P（X（），九）在橢圓外；

點與曲線R（%%）=lo點P（Xo，%）在橢圓上；

E（%，％）＜1O點「（不，%）在橢圓內(nèi)

二、題型精析

【例1】

（1）已知橢圓的中心在原點且過點P（3,2）,焦點在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，求該橢圓

的方程；

2

⑵已知橢圓與Y+有相同的焦點，且經(jīng)過點P（3,—3）,求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

O1

⑶求經(jīng)過兩點網(wǎng)4,-@，山2在3）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

%2y~

⑷橢圓§+（=1的焦點為耳外，點P為其上的動點，當(dāng)/片尸耳為鈍角時，求點尸橫坐

標(biāo)的取值范圍.

【解題策略】

第⑴問，由于焦點所在的坐標(biāo)軸末定，需要分焦點在x軸和y軸上討論.當(dāng)然如果設(shè)所求橢圓

方程為A?+為2=1（40,BK）,A#8）,則可避免討論，使解題過程變得簡捷，讀者可以

一試.第⑵問，采用共焦點橢圓方程比較簡捷，當(dāng)然若采用橢圓的定義末解也可以.第⑶問，

同樣可采用上述設(shè)法，即Ar2+8y2=i（A>0,B>0,Ah8）這種設(shè)法避免了對焦點位置的討

論.第⑷問，橫圓中的焦點三角形，可以運用焦半徑及余弦定理求解.

【解】

（1）由題設(shè)可知，橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

①當(dāng)焦點在X軸上時，設(shè)橢圓方程為*■+方=1（。>）>0）.

2。=3,2bc2Ac?2

a=45rv

則9,4,解得2此時所求的橢圓方程是）+3=1.

—+—=1h~=5.455

22

②當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為'方>0）.

x22

2a=32b,"=85，9xy

則＜9,4解得〈,85此時所求的橢圓方程是工+2=1

+Ub=——.8585

9

2

故所求的橢圓方x~程為V方或9三r~+^v"=L

（2）-/+5=1的焦點坐標(biāo)為（。，4方），（。，一46）,

工22

以此為焦點的橢圓方程可設(shè)為^^+4v=1（片-80>0）

a*-80a~\'

橢圓過點P（3,-3）,

._2_+2=]

"a2-80a2

解方程得/=90或/=8（舍去）,

故所求橢圓方程為總=1.

1090

⑶設(shè)橢圓方程為4?+的=1（4，B＞0）,則由橢圓經(jīng)過點《（4,一百），P2（272,3）,

(164+35=1,20，%2,y2

則有8A+98=[解得1故所求橢圓的方程為三+古=1?

[，B——.

15

⑷已知42=9,6=4,

c="

\PF'\=a-ex=3-^-

iX,\PF2\=3+1X

\PF.f+\PF2f-\FyF2f療T

2

由余弦定理得cos/f；P6=L^~I12I=9

2x|p/P用9_5/

9

52,

-X-133

是鈍角，cos/片尸乙<0,即9<°，解得一看

9-5X2

9

[例2]

⑴在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點耳，鳥在x軸上，離心率為

與.過大的直線/交C于AB兩點,且.AB外的周長為16,則C的方程為

（2）已知尸是橢圓C的一個焦點，8是短軸的一個端點，線段BE的延長線交橢圓C于點

D,且BF=2FD,則橢圓C的離心率為；

工2V2

（3）如圖2—31所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓三+會=1（。＞。＞0）的右焦點,

b

直線y=］與橢圓交于BC兩點，且/3尸。=90,則該橢圓的離心率是.

y

【策略點擊】

對于（1）問，扣住橢圓的定義可以輕松得解.對于⑵問，扣住橢圓的第二定義轉(zhuǎn)化為關(guān)于。與

C的方程進(jìn)一步變形得e的方程求解.對于⑶問，由/B/O90得8尸C戶=0,結(jié)合

6="一C2從而得出。與c的關(guān)系式求解，若抓住橢圓的對稱性結(jié)合橢圓定義可得一種簡便解

法.

A38的周長為|知+|4閭+[8閭=|然|+|坐|+忸用+忸用=4?=16,

Cy/2

a—4.又離心率e=-=——，

a2

c=2>/2.

/.b2=a2-C2=8.

X~2V2

橢圓C的方程為；7+3=1.

168

如圖2—33所示，忸用="2+c2=a,作軸于點2,則由8廣=2式。，得

\OF\_\BF\_2

|DDJ|BE)|3'

?口*1=/可=5。

a'〃2a?、

KPxD=—,由橢圓的第二定義得|FQ|=c-------——a———,

2yc2j2a

又由忸q=2|FD|,得a=2a-千，

整理得3/=3,2,解得e=￡=1g.

a3

(3)【解法一】

如圖2-31所示，由題意F(c,O),直線y=g與橢圓方程聯(lián)立，解得

J6afb、

I22J122J

NBFC=90,

.pCP—(\R/7—f\rp—(gab

..BRr-Cr—0.[ftBF—c-r——a,——,CF—c--------,——

\227\227

:.c2--a2+-b2=0,

44

由〃=/一。2,可得3c2=!/,

42

【解法二】

如圖2-34所示，圖中O尸是一條焦半徑，若E'是橢圓的左焦點，聯(lián)結(jié)CF',

y

圖2-34

根據(jù)對稱性，有忸F|=|CF[

設(shè)|C尸|=不忸同=|。戶]=任

有卜二”，-2①

,+弓=3〃

又由BEC面積的等積法得弓弓=百。?3.

代人①，得6ab=a1=a=\f3b=>a2=3^a2-c2)=>2a2=3c2.

2_c2_2,,_V6

一e-----z——.故e---—.

a233

【例3】

X2y2

如圖2-35所示，橢圓^+彳~=1的左、右焦點分別為耳，入，點尸在橢圓上.

⑴若|尸甲=g,則點尸的位置確定嗎?此外還可以求出哪些量？

⑵若點尸是橢圓上一個動點，點P的位置變化會引起哪些量的改變?設(shè)立"PE=e,試用。表

示“F'PF?的面積S,并研究其單調(diào)性.

圖2-35

【策略點擊】

這是一道開放型試題.第⑴問，已知歸用=|,則點尸的位置已經(jīng)確定，則歸閭.點P的

坐標(biāo)、/耳「鳥的大小、耳「外的面積、月尸外的周長等都可以求出.第(2)問，實質(zhì)是推

,0

導(dǎo)一種計算桶圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形面積公式，即S?%=/tan5(其中

NF\PFL?)

【解】

⑴由已知。=2,b=BC=l,e=￡=?，點尸的位置確定，由橢圓定義可以求以下量：

a2

53

0|P^|=4--=-.

②設(shè)點p(x,y),則由，

X2

、了

解得3故尸(1，±=]

卜=±了3

-4

3

③COSNF[PF2=

5

?313

④閨用?%>=]或SG%=2|PK||P段sin/耳.

(2)點尸的位置變化會弓I起點尸的坐標(biāo)、儼耳I、/百尸月、2開6的改變，但是耳PK的周長

為定值.

設(shè)/6p鳥=氏在KP<中,設(shè)儼用=加,歸周=〃，

.,.加+〃=2々=4.

由余弦定理得山引2=歸耳廣周2一2|尸川P周COS。

即^c1=irr+n1-2mncos0=(nr\-n)2-2mn-2nmcos0=4a2-2mn(l+cos^).

4(/—2)4〃

/.2mn=------------=------------

1+cos。1+cos。

c1?八/sin。.209o\

S=—mnsm0=-----------=btan—=3otan—(0<0<n),

"FP2F1+cos。22、)

故SK”隨。的增大而增大.

方法提煉

1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

⑴定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定從的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.

(2)待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出。，b；若

焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和丁軸上兩種情況討論，這一方法可歸納為：先定性，

后定理，再定參.特別需要說明的是：當(dāng)橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，可

22

設(shè)二十二?>0,機/〃)，可以避免討論和煩瑣的計算.也可以設(shè)為

mn

Ax2+By2=\(A>0,3>0且4/8),這種形式在解題時更簡便.

2.橢圓的幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用

求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時常結(jié)合圖形進(jìn)行分析.即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到

圖形，特別要注意橢圓的對稱性與范圍的利用.當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸短軸等橢圓的基本量

時，要厘清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

3,橢圓定義在解題中的應(yīng)用

遇到有關(guān)焦點(或準(zhǔn)線)問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解題，特別是涉及橢圓的焦點角形，應(yīng)考慮

橢圓的定義，結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系，借助正弦定理余弦定理來解決.

三、易錯警示

【例】

22

已知耳，居分別是橢圓3+5=1的左、右焦點，在橢圓上是否存在點尸，使

1615

向，忻方，向成等差數(shù)列？若存在’求出的值；若不存在’說明理由.

【錯解】

V2尤2

假設(shè)存在點P滿足題設(shè)，則由9+T7=1及題設(shè)條件有

1615

|P用+歸用=8

?內(nèi)周=2,

同||P周|西

]P制+|P周=8

即《

.附|照|=8

歸耳|=4+2&用=4-2夜

解得《或，

歸周二4—2夜一[|Pf；|=4+272

【評析及正解】上述解法似乎完全按照橢圓定義及題設(shè)條件解出，解方程組的過程也是正確的,

問題出在沒有注意到|P周和|F閭的取值范圍.

正確的解法如下：

【解法一】

22

由2-+二=1,得a=4,c=l.

1615

則a-c=3領(lǐng)JP用a+c=5,a-c=3^PF2\a+c=5.

4+2及＞5,4—20V3,.?.不存在滿足題設(shè)要求的點P.

【解法二】

22

由■^■+■^■=1,得a=4,c=l,貝"耳聞=2c=2.

且a-c=3釧PfJa+c=5,a-c=^^PF-\a+c=5.

-1?1J2

貝lj-；r+；--------j-V—+-------------VI—■：----------j-

歸用|P用333巧用

??.不存在滿足題設(shè)要求的點尸.

四、難題攻略

【例】

已知橢圓C：x2+3y2=3,過點。(1,0)且不過點￡(2,1)的直線與橢圓C交于A,8兩點，

直線AE與直線產(chǎn)=3交于點M.

⑴求橢圓C的離心率；

⑵若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

⑶試判斷直線5M與直線OE的位置關(guān)系，并說明理由.

【破難析疑】

本題知識容量較大，平實中體現(xiàn)解題能力的要求，可先畫出示意圖，分析幾何特征后尋求解題

思路.第⑴問，先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到a，b,c的值，再利用e=￡計算離心

a

率.第⑵問，由直線A8的特殊位置，設(shè)出A,8兩點坐標(biāo)，并設(shè)出直線AE的方程.由于直

線AE與直線尸3相交于點所以得到點M坐標(biāo)，利用點8和點M的坐標(biāo)，求直線

的斜率.第⑶問，分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行計論：第一種情況，直

接分析即可得出結(jié)論；第二種情況，先設(shè)出直線AB和直線AE的方程，將橢圓方程與直線

A8的方程聯(lián)立，消參得到玉+々和代入心M-1中，只需計算出心,“T=0即可證

明即M=k0E，進(jìn)而得到兩直線平行?

【解】

2

⑴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為鼻+丁=1,

b=l,C=y/2.

c_V6

故e---------—.

a3

(2)A8過點0(1,0)且垂直于x軸，

可設(shè)點A。,X)，8(1，—X),直線AE的方程為y—1=(1—yj(x—2).

令戶S,得M(3,2-yj,

二直線BM的斜率原“=2二%”，=1.

⑶直線3M與直線OE平行.證明如下：

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由(2)可知怎,“=1.

又直線。E的斜率3F=<=1，

2-1

/.BMDE.

當(dāng)直線45的斜率存在時，設(shè)其方程為y=Z(尤—1)伏。1).

設(shè)A(大，y),3(/,%)，則直線AE的方程為>一1=3=(x-2).

再一2

令尸3,得點M(3,y十芯-3

、％-2)

由卜+3：一：得(\+3k2)x2-6k2Mk2-3=0

y=k[x-\)'7

?6k23左2一3

"7用戶中2-苗記.

x+%—3

X2一%

直線BM的斜率kBM='~

3-%2

.(一—1)+X]—3—I(—1)(X1—2)—(3-%2)("1-2)

"=(3-X2)(X,-2)

_(1-1)[』2+2&+/卜3]_()

(3-工2)(%-2)

BMDE

綜上可知，直線與直線DE平行.

五、舉一反三

1.如圖2-36所示，耳鳥分別是橢圓反＞0）的左，右焦點，4是橢圓

C的頂點，B是直線人工與橢圓C的另一個交點，/耳4亮=60.

⑴求橢圓C的離心率；

⑵已知,/耳3面積為40石，求a,b的值.

圖2-36

【解】

（1）/耳A鳥=60,

鳥是等邊三角形，故a=2c.

故橢圓C的離心率e=2=」.

a2

⑵設(shè)|明尸見則|%|=2a-〃，

在一姐居中，忸閭=a,/耳64120,

忸周之=\BF2f+|耳用2_2忸瑪|忻用cosl20

3

即（2。一加）2=m2+/+。6，解得加=：〃，故

3Q7

\BF^=-a,\BF^\=2a--a=-a.

?1（Q

???S用sin60=-x?la+-3tzx3

5XT

=40百

解得。=10,則c=—。=5,a~—c~=5^f3.

2

2.（2019年高考數(shù)學(xué)全國卷〃文科第20題）已知月，F(xiàn)2是橢圓C夕+1=1（心?！?）的兩

個焦點，尸為C上的點，。為坐標(biāo)原點.

⑴若POK為等邊三角形，求c的離心率；

(2)如果存在點P,使得2耳J■尸工，且耳尸外的面積等于16,求人的值和。的取值范圍.

⑴聯(lián)結(jié)如圖所示，POF2為等邊三角形，可知在耳Pg中，

/々PE=90,\PF2\=c,\PFt\=>j3c,于是2a=|尸制+|P用=(G+l)c.

故C的離心率6="—=>/3—1.

a

⑵由題意可知，滿足條件的點P(X，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)g|y|-2c=16,

22心|=16,①

且------=-L又?+4=1,故有[/+>2=。2,②

x+cx-cab.-

Z?4162

由②③及〃=/?2+。2得y2=r，又由①知>2=于，故6=4.

c~c~

2

由②3)得X2——卜2—.

c2..h2,從而a2=b2+c2..2/?2=32.

故a.4夜.當(dāng)人=4,a.4夜時，存在滿足條件的點尸.

即Q4,a的取值范圍為［4Ji+e)

3.已知橢圓r：［+y2=i,A是其上頂點，M是x軸正半軸上的一點.

⑴若點尸在「上，且點P在第一象限，|。月=0,求點尸的坐標(biāo)；

(2)若P(|,|),且..AP似為直角三角形，求點M的坐標(biāo)；

⑶若點尸是「上一動點，且P不是上頂點，PQ過點”，AQ交橢圓于點

C,PQ=4PM,AQ=2AC,\AM\=\PM\,。是「上一點，求直線AC的方程.

【解】

273

&+),2=血,x=-----，

3

⑴設(shè)p(x,y),則，F(xiàn)解得;即P

—+/=1,V6

4-y=——,