2021年高考真題全國甲卷乙卷文科理科數(shù)學(xué)匯總

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（甲卷?理科）

1.設(shè)集合時(shí)="|0<x<4},N^[x||<x<5},則MnN=（）

11

A.{x|0<x<|}B.{x|聲<4}C.{x|4<x<5}D.[xI0

<x<5]

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.己知（1一i）2z=3+2i,則z=（）

4R?

A.-1--iB.-l+-iC.--+iD.---i

2222

4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足乙=5+lgV.已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為CVmX

1.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知&,尸2是雙曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，且立片徑=60。，|陰|

=3|%],則C的離心率為（）

C.V7D.V13

6.在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)4的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐4-

EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

7.等比數(shù)列｛a.｝的公比為q,前n項(xiàng)和為右設(shè)甲：q>0,乙：｛S"｝是遞增數(shù)列，貝火）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的

必要條件

8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠程朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三

角高程測量法是珠峰高程則量方法之一.右圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有4

B,C三點(diǎn)，且4B,C在同一水平面上的投影4,B',C'滿足Z4'C'B，=45°,

乙4'B'C'=60。.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15。，BB'^CC

的差為100：由B點(diǎn)測得4點(diǎn)的仰角為45。，則4C兩點(diǎn)到

水平面4B'C'的高度差44一CC'約為（B?1.732）（）

A.346B.373

C.446D.473

9.若aC(0,三)，tan2a=-cosa,則tana=()

\2/2-sina

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

14

Bc-

3-1.35

11.已知A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，KAC1BC,AC=BC=1,則

三棱錐O—ABC的體積為（）

叵叵

A.四B.C.—D.

121244

12.設(shè)函數(shù)_/(x)的定義域?yàn)镽,兀v+1)為奇函數(shù)，於+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xW[l,2]時(shí)，/(%)

=ax2+b.若f(0)+/(3)=6,則f0=()

9375

A.--B.--C.-D.-

4242

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=意在點(diǎn)(一1,-3)處的切線方程為.

14.已知向量,=(3,1),h=(l,0),c=a+kb.若d_L3,則Z=.

15.已知&,『2為橢圓C：[+1=1兩個(gè)焦點(diǎn)，P，。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),

164

且|PQ|=|FiBI，則四邊形PFiQFz的面積為

16.已知函數(shù)/'(x)=2cos(3x+y)的部分圖像如圖所示，則滿足條件，(x)—

/(一9))(/(X)一/(?))>0的最小正整數(shù)x為

y

2

it\/13兀

3\/

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床

產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級品二級品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記入為｛即｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為

條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛圖是等差數(shù)列；③a2=3%.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.已知直三棱柱4BC—4B1G中，側(cè)面441aB為正方形.AB=BC=2,E,F分別為AC

和CG的中點(diǎn)，。為棱4Bi上的點(diǎn)，BFLA^.

(1)證明：BF1DE；

(2)當(dāng)品。為何值時(shí)，面BBiQC與而。尸E所成的二面角的正弦

值最??？

20.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l交C于P,。兩點(diǎn)，且

OP10Q.已知點(diǎn)M(2,0),且0M與冰目切.

⑴求C,的方程；

(2)設(shè)公,A2,公是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線&4，&&均與。M相切.判段直線&&與

OM的位置關(guān)系，并說明理由.

21.已知a>0且a#l,函數(shù)/(x)=*x>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)父點(diǎn)，求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系％Oy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的

極坐標(biāo)方程為p=2V^cos。.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)4的直角坐標(biāo)為(1,0),“為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足族=遮AM,寫出P的軌

跡G的參數(shù)方程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

23.［選修4一5：不等式選講］

已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|—|2x-1|.

⑴畫出y=/(x)和y=g(x)的圖象；

(2)若/(x+a)>g(x),求a的取值范圍.

O1x

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題

（甲卷?文科）

1.設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N={xI2x>7},則MnN=（）

A.[7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.[1,

3,5,7,9}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.己知(1-i)2z=3+2i,則z=()

c3

A.-1--iB.-l+-jC.--+iD.------i

2222

4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(%)=-xB./(%)=(|)C./(x)=x2D.f(x)=

訴

5.點(diǎn)(3,0)到雙曲線［一1=1的一條漸近線的距離為()

169

9864

C

----

A.5B.55D.5

6.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgk已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為('VTU?

1.259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

7.在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)4的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐4-

EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

9.記Sn為等比數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和.若52=4,S4=6,則56=()

A.7B.8C.9D.10

10.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

7r,…___cosa

11.若a6(0,2)l,tannNa，則tana=()

2-sina

AVis西V15

A.——B.C叱D.

15533

12.設(shè)段)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/+x)=f-x).若/(一()=4，則f(|)=()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若向量出3滿足同=3,\a—b\=5,ab—\,則的=.

14.己知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30%，則該圓錐的側(cè)面積為

15.已知函數(shù)/(X)=2COS(3K+W)的部分圖像如圖所示，則/(§=-

16.已知Fi，約為橢圓C：捻+。=1兩個(gè)焦點(diǎn)，P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),

164

且|PQ|=|RF2|,則四邊形P&QF2的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床

產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級品二級品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.記％為｛art｝的前n項(xiàng)和，已知即＞0,a2=3a「且數(shù)列｛醫(yī)｝是等差數(shù)列.證明：｛即｝

是等差數(shù)列.

19.已知直三棱柱4BC—4B1G中，側(cè)面441aB為正方形.AB=BC=2,E,F分別為AC

和CG的中點(diǎn)，BFlAFj.

(1)求三棱錐F-EBC的體積；

⑵己知。為棱&當(dāng)上的點(diǎn)，證明：BF1DE.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=a2/+aY—31nx+1,其中tf>0.

(1)討論式x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，求?的取值范圍.

21.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l交C于P,Q兩點(diǎn)，且

OP10Q.已知點(diǎn)M(2,0),且0M與I相切.

⑴求C,OM的方程；

(2)設(shè)A2,4是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線4遇2，4遇3均與OM相切.判段直線44與

OM的位置關(guān)系，并說明理由.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系％Oy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的

極坐標(biāo)方程為p=2V^cos。.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)4的直角坐標(biāo)為(1,0),“為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足族=遮AM,寫出P的軌

跡G的參數(shù)方程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

23.［選修4一5：不等式選講］

已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|—|2x-1|.

(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖象;

(2)若/(x+a)>g(x),求a的取值范圍.

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題

（甲卷?文科）

1.設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N={xI2x>7},則MnN=（）

A.[7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.[1,

3,5,7,9}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.己知(1-i)2z=3+2i,則z=()

c3

A.-1--iB.-l+-jC.--+iD.------i

2222

4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(%)=-xB./(%)=(|)C./(x)=x2D.f(x)=

訴

5.點(diǎn)(3,0)到雙曲線［一1=1的一條漸近線的距離為()

169

9864

C

----

A.5B.55D.5

6.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgk已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為('VTU?

1.259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

7.在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)4的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐4-

EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

9.記Sn為等比數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和.若52=4,S4=6,則56=()

A.7B.8C.9D.10

10.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

7r,…___cosa

11.若a6(0,2)l,tannNa，則tana=()

2-sina

AVis西V15

A.——B.C叱D.

15533

12.設(shè)段)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/+x)=f-x).若/(一()=4，則f(|)=()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若向量出3滿足同=3,\a—b\=5,ab—\,則的=.

14.己知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30%，則該圓錐的側(cè)面積為

15.已知函數(shù)/(X)=2COS(3K+W)的部分圖像如圖所示，則/(§=-

16.已知Fi，約為橢圓C：捻+。=1兩個(gè)焦點(diǎn)，P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),

164

且|PQ|=|RF2|,則四邊形P&QF2的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床

產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級品二級品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.記％為｛art｝的前n項(xiàng)和，已知即＞0,a2=3a「且數(shù)列｛醫(yī)｝是等差數(shù)列.證明：｛即｝

是等差數(shù)列.

19.已知直三棱柱4BC—4B1G中，側(cè)面441aB為正方形.AB=BC=2,E,F分別為AC

和CG的中點(diǎn)，BFlAFj.

(1)求三棱錐F-EBC的體積；

⑵己知。為棱&當(dāng)上的點(diǎn)，證明：BF1DE.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=a2/+aY—31nx+1,其中tf>0.

(1)討論式x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，求?的取值范圍.

21.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l交C于P,Q兩點(diǎn)，且

OP10Q.已知點(diǎn)M(2,0),且0M與I相切.

⑴求C,OM的方程；

(2)設(shè)A2,4是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線4遇2，4遇3均與OM相切.判段直線44與

OM的位置關(guān)系，并說明理由.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系％Oy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的

極坐標(biāo)方程為p=2V^cos。.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)4的直角坐標(biāo)為(1,0),“為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足族=遮AM,寫出P的軌

跡G的參數(shù)方程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

23.［選修4一5：不等式選講］

已知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|—|2x-1|.

(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖象;

(2)若/(x+a)>g(x),求a的取值范圍.

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)乙卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集U={l,2,3,4,5},集合M={l,2},N={3,4},則Cu(MUN)=

A.⑸

B.{1,2}

C.{3,4}

D.{1,2,3,4}

2.設(shè)iz=4+3i,則z等于

A.-3-4i

B.-3+4i

C.3-4i

D.3+4i

3.已知命題p：3XGR,sinx<l,命題q:VxcR,e|x|>1,則下列命題中為真命題的

是

A.pAq

B.-ipAq

C.pA-iq

D.-i(pVq)

4.函數(shù)f(x)=si4+cos：的最小正周期和最大值分別是

33

A.3冗和旅

B.3ii和2

C.6TT和a

D.6n和2

%+y>4

5.若x,y滿足約束條件%-y<2,則z=3x+y的最小值為

,y<3

A.18

B.10

C.6

D.4

6.cos2——cos2—=

1212

V2

7.在區(qū)間（0$隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于，的概率為

AA.-3

4

B.-

3

8.下列函數(shù)中最小值為4的是

A.y=x2+2x+4

4

B.y=|sinx|+—~~■

|sinx|

C.y=2X+22T

D.y=Inx+二

JInx

9.設(shè)函數(shù)f(x)=三，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是

A.f(x—1)—1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

10.在正方體ABCD-AiBCiOi,尸為BDi的重點(diǎn)，則直線PB與AG所成的角為

A.-

2

B.-

3

c.-

4

D.-

6

v2

11.設(shè)B是橢圓C：菅+y2=i的上頂點(diǎn)，點(diǎn)p在C上，則|PB|的最大值為

AA.-5

2

B.V6

C.V5

D.2

12.設(shè)aH0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn)，則

A.a<b

B.a>b

C.ab<a2

D.ab>a2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知向量a=（2,5）,b=（入,4）,若益〃丸則入=.

22

14.雙曲線亍-y=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為.

15.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為8，B=60°,a2+

c2=3ac,貝Ub=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某

個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要

求的一組答案即可）。

三、解答題

（-）必考題

17.（12分）

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有

無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指

標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備。9810.3Q10.0。10.2-9.9。9.8。10。10.IP10.2-9.7P

新設(shè)備210.h10.4^10.IP10.Or10.10.3。10.6。10.5P10.如10.5Q

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別為土和歹,樣本方差分別

記為貸和冊.

(1)求后y,Sl，Si

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果)y-

￡22，耳，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否

則不認(rèn)為有顯著提高).

18.(12分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,M為BC的中點(diǎn)，且

PB1AM.

(1)證明：平面PAMJ?平面PBD；

(2)若PD=DC=L求四棱錐P-ADCD的體積.

19.(12分)

設(shè)｛5｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足b=等，已知的,3a2，9a3成

等差數(shù)列.

(1)求｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵記又和7；分別為和｛%｝的前n項(xiàng)和.證明：Tn<^.

20.(12分)

已知拋物線C：y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求C的方程.

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足同=9無，求直線OQ斜率

的最大值.

21.（12分）

已知函數(shù)f(%)=x3—%2+ax+1.

(1)討論f(%)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=f(%)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(%)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系％。y中，OC的圓心為C(2,l),半徑為1.

(1)寫出0c的一個(gè)參數(shù)方程。

(2)過點(diǎn)F(4,l)作OC的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程。

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(%)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍.

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在

答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼

在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答

案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在

試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合人={%|—2<x<4},6={2,3,4,5},則（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,貝iJz（N+i）=（）

A.6—2iB.4—2,iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為0,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.28.272C.4D.4拒

4.下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sinX-工單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

5.已知耳，B是橢圓C：猴+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)"在C上，則6HM國的最大

值為（）

A.13B.12C.9D.6

6.若tan”-2,則sin」l+sin20)=

()

sin0+cos0

7.若過點(diǎn)（“力）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aQ.ea<bC.O<a<ebD.O<b<ea

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每

次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)

字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)演，x2,…，％,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)V,y2,…，兒，

其中X=￡+c（i=l，2,c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)々（cose,sina）,鳥（cos/,-sin夕），

月（cos（a+0,sin（a+0）,A（l,0）,則（）

A.|西卜網(wǎng)B網(wǎng)=|西

C.OAOP3=O^O^D.麗?西=西西

11.已知點(diǎn)P在圓（x—5p+（y—5）2=16上，點(diǎn)4（4,0）,8（0,2）,則（）

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)ZPBA最小時(shí)，\PB\=3J5

D.當(dāng)NP84最大時(shí)，\PB\=3y/2

12.在正三棱柱ABC-44cl中，AB=AA｛=\,點(diǎn)P滿足麗=2配+〃甌，其中

2e[0,l],則()

A.當(dāng)2=1時(shí)，△ABf的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)/l=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A,P~LBP

D.當(dāng)〃=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得48,平面AB/

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃%)=丁,.2'—2-、)是偶函數(shù)，則。=.

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：丁=2川(〃