2023屆福建省廈門大學(xué)附屬科技高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1,中國古建筑借助梯卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫梯頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是

樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

2.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及

當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點圖(x軸表示氣溫，丁軸表示銷售量)，由散點圖可知)'與x的相關(guān)關(guān)系為()

A.正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為0.85

B.負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)廠的值為0.85

C.負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為-0.85

D.正相關(guān)，相關(guān)負(fù)數(shù)r的值為-0.85

3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為4,當(dāng)xe[-2⑵時，=]-x-4,則/(-Iog36)+/(log354)=

()

33.c2,?

B.--log,2D.—+log32

22

4.已知函數(shù)/（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)xw（l,+w）時，函數(shù)/（x）單調(diào)遞減，設(shè)a=b=〃3）,c=/（O）,

則以b、c的大小關(guān)系為。

A.b<a<cB.c<h<dC.b<c<aD.a<b<c

5.已知M是函數(shù)/（x）=lnx圖象上的一點，過M作圓V+y2一2y=（）的兩條切線，切點分別為A,8,則

的最小值為（）

5及。

A.272-3B.-1C.0D.

2

x-”0

6.已知x,y滿足約束條件，x4-y<2,則z=2x+y的最大值為

”0

A.1B.2C.3D.4

7.已知A45C是邊長為1的等邊三角形，點O,￡分別是邊AB,BC的中點，連接并延長到點尸，使得

￡>E=2萬廣，則4尸.6C的值為（）

11511

A.—B.-C.-D.—

8448

8.數(shù)列｛叫的通項公式為4=M—c|（〃eN*）.貝！|"c<2”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的（）條件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要

22

9.設(shè)耳，F(xiàn)2分別是橢圓E：[+斗=1（。>b>0）的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A,3兩點，且AE?=0,

AF2^2F2B,則橢圓E的離心率為（）

2364

A.-B.-C.—D.—

3434

10.以4（3,-1）,8（-2,2）為直徑的圓的方程是

A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+x+y-8=0D.x2+y2+x+y-9=0

22

11.已知雙曲線。：二-4=1（4>0,。>0）的右焦點為尸，過右頂點A且與X軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M

a'b-

點，M尸的中點恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）

A.75-1B.V2C.73D.75

12.已知正四棱錐S-ABC。的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是S3的中點，則AE,SO所成的角的余弦值為（）

也732

333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在棱長為2的正方體—中，點E、F分別是棱AA，44的中點，P是側(cè)面正方形BCC/i

內(nèi)一點（含邊界），若尸P〃平面A￡C,則線段AP長度的取值范圍是.

2

14.已知集合4={m+1,（加一1）2,m-3〃2+3},若kA,則機2儂=.

15.現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，該方盒

容積的最大值是.

16.某市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績J服從正態(tài)分布N（100,o-2）,已知

P（80<^<100）=0.40,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知產(chǎn)是拋物線C：y2=2〃x（〃>o）的焦點，點A在。上，A到軸的距離比|4尸|小1.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)直線AE與。交于另一點3,“為的中點，點。在x軸上，1。*=1??|.若|。加|=的，求直線AE的

斜率.

3

18.（12分）在銳角ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cos2C=一—.

4

（1）求sinC的值；

（2）當(dāng)c=2a,且8=3"時，求一ABC的面積.

19.（12分）設(shè)數(shù)列{a,,}的前列項和為S“，已知4=1,%=萬等一（〃22）.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

3111

(2)求證：------＜S＜一.

2T〃6

20.(12分)已知函數(shù)=xe--ax

(i)討論/G)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，/(X)+V-a+/＞0＞求。的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+[a-g卜-2ax,aeR.

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)內(nèi),天，使得/&)+/(馬)=-3,證明：芭+々＞2.

冗=2coscc

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為仆.?(夕為參數(shù))，M為G上的動點，P點滿

y=2+2sina

足OP=2QM，點P的軌跡為曲線G.

(I)求G的方程；

7T

(H)在以。為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與G的異于極點的交點為A,與G的異于極

點的交點為8,求

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是樟頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有

一不可見的長方形，

且俯視圖應(yīng)為對稱圖形

故俯視圖為

故選A.

點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。

2.C

【解析】

根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷.

【詳解】

由散點圖知y隨著x的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負(fù).

故選：c.

【點睛】

本題考查變量的相關(guān)關(guān)系，考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別.掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ).

3.A

【解析】

2

因為給出的解析式只適用于xe[—2,2),所以利用周期性，將/(log354)轉(zhuǎn)化為了(1(毛3§)，再與/(一1436)一起代

入解析式，利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

定義在R上的函數(shù)/(x)的周期為4

2

.-./(log354)=/(log354-4)=/(log3-),

當(dāng)2⑵時，/(x)=(1r-x-4,

,2一,

—log?6G[—2,2),log3—e[—2,2),

?■■/(-log36)+/(log354)

，O8

=-(-log36)-4+(1)^-log31-4

.,.3

1bgj61logj-7

552

=(-)+(-)+(log36-log3-)-8

=6+|+log3(6x|)-8

=3

-2,

故選：A.

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題.

4.A

【解析】

根據(jù)/(%+1)圖象關(guān)于軸對稱可知/(X)關(guān)于x=1對稱，從而得到了(X)在(F,1)上單調(diào)遞增且,/(3)=/(-1)；

再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】

Q/(x+l)為偶函數(shù).?./(x+1)圖象關(guān)于)，軸對稱

???/(x)圖象關(guān)于x=l對稱

X€(l,+8)時，/(X)單調(diào)遞減.?.XG(-8,1)時，/(X)單調(diào)遞增

又〃3)=〃—1)且—1<—1)</(—3]</⑼，即。<a<c

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的

單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.

5.C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知若設(shè)NAMB=2e,貝!||例4卜|例6卜熹，所以

MA-M5HA^4|2cos2^=2sin2^+—4--3,而要求的最小值，只要sin。取得最大值，若設(shè)圓

snr。

犬+9―2y=0的圓心為C,貝岫1!夕=而，所以只要|MC|取得最小值，若設(shè)M(x,lnx),則

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(lnx—l)2,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓x2+y2—2y=0的圓心為C,設(shè)NAMC=e,貝/加川骨加臺卜^^^皿夕二曲，設(shè)

M(x,lnx),|MC\2=X2+(lnx-l)2,ifl(x)=x2+(Inx-1)2,則

[2

g'(x)=2x+2(lnx-l)?—=—(x2+lnx-l),令/7(幻=/+lnx-l,

xx

因為〃。)=/+111%-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/1)=0,所以當(dāng)0<x<l時，，2(x)</z(l)=0,g<x)<0；當(dāng)x>l

時，/7(X)>/l)=0,g'(X)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,物)上單調(diào)遞增，所以g(X)min=g(D=2,即

受，所以412cos26=2sin2e+———3>0(當(dāng)sin。=變時等號成立).

|MC|B/2,0<sin6>

2sin-02

【點睛】

此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于難題.

6.D

【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

2=2%+)，等價于丁=-2犬+2,作直線y=-2x,向上平移,

易知當(dāng)直線經(jīng)過點(2,0)時z最大，所以Z3=2x2+O=4,故選D.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.

7.D

【解析】

設(shè)8A=a，BC=b，作為一個基底，表示向量OE=(AC=1伍-力，DF=1-DE=^-(b-a\,

22'，24'/

AF=AD+DF=--1a+-3/(b-a\]=-5-a+3-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、'44

【詳解】

設(shè)BA-a，BC-b，

11QQ1OCQ

所以O(shè)E=-AC=_(8—a),DF^-DE^-(b-a\,AF=AD+DF^一一a+-(b-a\^--a+-b,

22、)24V>2/44

5.3.1

所以AF-6C=-=4m+±b為=一.

448

故選：D

【點睛】

本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

13

根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知。，用-4〉0,解得。<〃+],由此得到若｛2｝是遞增數(shù)列，則c<],根據(jù)推出關(guān)系可確

定結(jié)果.

【詳解】

若“｛4｝是遞增數(shù)列“，則4用—4=|〃+i-dT〃-d>。，

即(〃+1-。)2>(〃-C)2,化簡得：C<〃+g,

133

又幾EN*，??〃+式之77，

222

則c<24｛a,,｝是遞增數(shù)列，｛%｝是遞增數(shù)列=c<2,

，“c<2”是“｛?,,｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：A.

【點睛】

本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

根據(jù)4月=2月3表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構(gòu)造出“，c關(guān)系，求出離心率.

【詳解】

AF2=2F2B

設(shè)BF>—x,則A居=2x

由橢圓的定義，可以得到A片二2。-2%,54=2Q-X

?然

Af；=0,,AF}LAF2

在中，有（2a-2x）2+（3x1=（2a-x）~,解得％=

-2aAe4。

AF2=—,AF^—

在RtZVlK用中，有（與J+（與j

=（2。2

2

整理得c;=35

e=-=一

a29a3

故選C項.

【點睛】

本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個常用方法，通過幾何關(guān)系，構(gòu)造出。關(guān)系，得到離心率.屬于

中檔題.

10.A

【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出。,仇廠，從而求出圓的方程.

【詳解】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-。）2+（y-勿2=產(chǎn),

由題意得圓心。（“，份為A,8的中點，

根據(jù)中點坐標(biāo)公式3-可2得1人=一」1+^2=1

2222

又"四l』3+2）2+（T2）：=典,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

222

I117

+（y—―）2=—,化簡整理得廠+y~-x—y—8=0,

所以本題答案為A.

【點睛】

本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

設(shè)M(a,b),則Mb的中點坐標(biāo)為(三士,^),代入雙曲線的方程可得a/,c的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于c的齊次方程,

22

求出色的值，即可得答案.

a

【詳解】

22

雙曲線C:二-二=1(4>0,6>0)的右頂點為4。,0),右焦點為尸(c,o),

a~b

M所在直線為x=。，不妨設(shè)M3,加，

.??M尸的中點坐標(biāo)為(空二2)?代入方程可得I審).

22----j-------

a~b~

2

...("+?=2,e4-2g—4=0>e-V5—1(負(fù)值舍去).

4a24

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意

構(gòu)造a，c的齊次方程.

12.C

【解析】

試題分析：設(shè)AC、BO的交點為。，連接E。，則N4E。為所成的角或其補角；設(shè)正四棱錐的棱長為“，

則AE=冬,E。=104=與，所以cosNAE。=箜器產(chǎn)

,故C為正確答案.

考點：異面直線所成的角.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

取4G中點G,連結(jié)FG,BG,推導(dǎo)出平面尸G3//平面AEC,從而點P在線段BG上運動，作A"，8G于4，

由A”效及尸AB,能求出線段Af長度的取值范圍.

【詳解】

取BC中點G,連結(jié)FG,BG,

在棱長為2的正方體ABCO-ABCQi中，點E、b分別是棱AA、4片的中點,

■.AE//BG,AC//FG,

AE（'AC=A,BGQFG=G,

：.平面林邁//平面血?，

P是側(cè)面正方形8CG4內(nèi)一點（含邊界），0〃平面A￡C,

.??點P在線段BG上運動，

在等腰△A"中，*=8G=物+『=6,AB=422+2。=2夜,

作于”，由等面積法解得：

.：一（爭2gg2同，

中-----------前----------=加=不

.?.A破收尸\B,

.??線段AP長度的取值范圍是［季，2夜］.

故答案為：［3詈，2枝］.

【點睛】

本題考查線段長的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

中檔題.

【解析】

leA分別代入集合中的元素，求出值，再結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行取舍可解.

【詳解】

依題意，分別令，〃+1=1,=1,m2—3m+3=1?

由集合的互異性，解得〃2=1,貝!|加2。2。=].

故答案為：1

【點睛】

本題考查集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.確定集合中元素，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

L23

15.—ci

27

【解析】

由題意容積V=(a—2x)2%，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.

【詳解】

oZ7

由題意：容積V=(a-2x)-x,0<x<-,

貝!JV=2(a-2x)x(-2x)+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),

由V，=()得x=@或x=@(舍去)，

62

n22

則x=2為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點，此時匕1ax=丁/.

627

2

故答案為：—a

27

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

16.10

【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以10()可得.

【詳解】

解：P?>120)=j[l-2P(80<<<100)]=0.10,

所以應(yīng)從120分以上的試卷中抽取100x0.10=10份.

故答案為：10.

【點睛】

本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)/=4%(2)+V2

【解析】

(1)由拋物線定義可知券=1,解得〃=2,故拋物線。的方程為＞2=4x；

(k2+22、

(2)設(shè)直線A了=伙工-1),聯(lián)立丁=4不，利用韋達(dá)定理算出A3的中點M,又|QAR33],所以

k2k

一,21k?+2

直線DM的方程為y~~=~~

求出利用|OM|="求解即可.

【詳解】

(1)設(shè)。的準(zhǔn)線為/,過A作A”，/于H,則由拋物線定義，得|AF|=|A"|,

因為A到尸的距離比到)’軸的距離大1,所以4=1,解得〃=2,

所以。的方程為V=4x

(2)由題意，設(shè)直線AR方程為y=z(x-D,

由‘jU；一"消去丁，得％2/一(2/+4)X+5=0,

設(shè)A(%2J,5(電,%)，則再+%=,，

K

4

所以y+必=%(玉+無2)_2攵=%，

“2+22、

又因為M為A8的中點，點"的坐標(biāo)為,

k2'k

21(k2+2^

直線DM的方程為y—T=—7x--h，

kk\kJ

令y=0,得x=3+1,點。的坐標(biāo)為(3+1,。；

所以=MJ="，

解得二=2,所以直線A尸的斜率為土&.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運算求解能力.涉及拋物線的弦的中點,

斜率問題時，可采用韋達(dá)定理或“點差法”求解.

18.(1)叵;⑵”

44

【解析】

(1)利用二倍角公式cos2c=1-2sin2c求解即可，注意隱含條件sinC>0.

(2)利用(1)中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得sinAcosAcosC的值，又由

sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sin8的值，最后由正弦定理求出”的值，根據(jù)三角形的面積公式

即可計算得出.

【詳解】

一一)3

(1)由已知可得cos2c=1-2sin-C=—，

4

7

所以sin92c=g,

因為在銳角A6C中，sinC>0,

所以sinC='巳

4

(2)因為c=2a9

所以sinA-—sinC-,

28

因為ABC是銳角三角形，

所以cosC=^-,cosA=，

48

所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

V14V25V2V143>/7

=---x----1-----x----=----.

84848

由正弦定理可得：里=，—，所以

sinBsinA

所以SABc=—?^sinC=—x>/14x3x/7乂^^-=絲2

ABC2244

【點睛】

此類問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識，同時考查了學(xué)生的基本運算

能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，屬于中檔題.

19.(1)%=矛匕(2)證明見解析

【解析】

12,

(1)由已知可得一=——+1,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項公式；

a?an-\

?317=-^zr?可證驗證九=1,2

(2)當(dāng)”22時，由>r，可求------<S,3時，由

222n226'，

時，不等式也成立，即可得證.

【詳解】

(1)由a”-。(〃22)可得，一+1,

2+%4%

即工+1=2儀-+],(n>2)

a?1的)

所以'+1=2",

冊

解得4=小，

(2)當(dāng)〃=1時，S]=%=1,

?m

當(dāng)〃上2時，a“>>

I_

11廣西31

S>1H——H--+H=1H-------z—=--------

〃22232〃[12T

2

31

綜上-牙(〃eN*),

由4〉0可得｛S“｝遞增，

,1…21

%=1，生=§，"之3時見<.=西

11

0,111144~￥41111111

S<14---1——H--+??--!------=—I------；—=—I-----------=-----------<—

〃322232'i31132T-162〃一】6

2

所以5as2<§3<?,

6

綜上：

67

故。一LwS“<1(〃eN)

22"n6{)

【點睛】

本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.

20.(1)見解析；(2)(-00,/]

【解析】

(1)f(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論，即可得出單調(diào)性.

1XX

xAe

(2)由xe、?ax?a+lK),可得a(x+l)<xe+L當(dāng)x=-l時，0W-T4恒成立.當(dāng)x>?l時，a令g(x)=_:

e~x+]x+l

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.

【詳解】

解法一：(1)f(x)=e+xe-ax-a=(e-a)(x+1)

①當(dāng)aWO時，

X(-00,-1)-1(?1,+8)

f(x)-0+

f(x)極小值/

所以色）在，?00,-力上單調(diào)遞減，在（?1,+到單調(diào)遞增.

②當(dāng)a>。時，f（x）=0的根為x=Ina或X=-1.

若Ina>-1,即a>-，

X(?8,-1)-1(-iyna)\na(\na,+oo)

f(x)+0-0+

f(x)7極大值極小值/

所以?。┰冢?8,-。，（1叫+到上單調(diào)遞增，在（?/』1刈上單調(diào)遞減.

若Ino=?1,即。=,，

e

f（x）>冰J8,+8）上恒成立，所以他在（-8,+8）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間.

若Ino<-1,即0<a<-，

X(-QO,Ina)\na(IM-1)-1(-1,+到

f(x)+0-0+

f(x)7極大值X極小值7

所以向在r?oojna）,（?1,+Q0,上單調(diào)遞增，在〃也■〃上單調(diào)遞減.

綜上：

當(dāng)aWO時，向在1?8,■〃上單調(diào)遞減，在（"，+到上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a</時，做在（-8,1皿，「/,+00注單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;

e

自a=’時，在（-8,+ao）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；

e

當(dāng)a>'時，f（x）在（…,-1）,（\na,+到上單調(diào)遞增，在（-1,lna）上單調(diào)遞減.

e

（2）因為1r『.ax.a+/20，所以+〃<xe+/?

當(dāng)X=-/時，0&'+/恒成立.

e

xe+1

當(dāng)時,a<

x+1

Axe+11e(x^x+1)~1

令g(x)=-----T'g(x)=；—'

x+/(x+If

設(shè)“O=e(x,+x+?/,

因為。X=eX(x+7)(x+2)>冰*￡/?1,+到上恒成立，

即力G)=e*(x~+k+/)-/在x，(?1,+oo)上單調(diào)遞增.

X

又因為Mo)=0,所以在上單調(diào)遞減，在很+劃上單調(diào)遞增,

X+1

則g<%in=g@=L所以aW1.

綜上，〃的取值范圍為(?oo〃］.

解法二：(1)同解法一；

(2)令g(x)=f(x)+~x"-a+1=xe^-ax-a+b

所以g㈤='+-a=e(X+1)-a9

當(dāng)qWO時，g(x)>0^貝！IgO在I-，，+s)上單調(diào)遞增，

所以gO2g<?〃=>0，滿足題意.

e

當(dāng)時，

令h(x)=e+xe-a，

因為%(x)=2e+xe">0，即=e+xe*-c在I-L+8)上單調(diào)遞增?

又因為從-/)=-a<0,h(0)=1-a>0,

所以力的=e+城-a=冰［-1,0］上有唯一的解，記為?％,

X(-1'XQ)xo(Xff+8)

g(x)-0+

g(x)X極小值/

gaJmin=g(xJ=xoe°-axo-a+1

=xoeO-(e°+xoe°)xo-(e°+x/0)+1

XI*123]x

=-e°(xn++-+1>-e°1>09滿足題意.

uZ4

當(dāng)時，g(0)=?a+1<0,不滿足題意.

綜上，”的取值范圍為(-8,1].

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能

力，屬于難題.

21.(1)當(dāng)時，/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減；

當(dāng)g<a<l時，“X)在(0,1)上遞增，在上遞減，在(五匕,+8)上遞增；

當(dāng)a=l時，/(x)在((),+a)上遞增；

當(dāng)。>1時，/(》)在(0,五，)上遞增，在上遞減，在(1,內(nèi))上遞增；

(2)證明見解析

【解析】

⑴對/(力求導(dǎo)，分4=1進(jìn)行討論，可得/(力的單調(diào)性；

(2)/(%)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由(1)可知4=1,〃x)=lnx+gx2-2x,設(shè)王<當(dāng)，可得

/(3)+/(%)=-3=2/⑴，貝<蒼,設(shè)g(x)=/(2-x)+〃x)+