【課后延時(shí)】小學(xué)數(shù)學(xué)專項(xiàng)《應(yīng)用題》經(jīng)典方陣問題基本知識(shí)-2星題（含解析）全國通用版

班級(jí)：姓名：親愛的同學(xué)，在做練習(xí)的時(shí)候一定要認(rèn)真審題，完成題目后，記得養(yǎng)成認(rèn)真檢查的好習(xí)慣。祝你輕松完成本次練習(xí)！期末考名列前茅！【心得記錄卡】親愛的同學(xué)，在完成本專項(xiàng)練習(xí)后，你收獲了什么？掌握了哪些新本領(lǐng)呢？在這里記錄一下你的收獲吧！年月日應(yīng)用題-經(jīng)典應(yīng)用題-方陣問題基本知識(shí)-2星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率方陣問題基本知識(shí)B1.明確空心方陣和實(shí)心方陣的概念及區(qū)別

2.掌握空心方陣和實(shí)心方陣的變化規(guī)律少考知識(shí)提要方陣問題基本知識(shí)概述

在日常生活中，我們常把人或物排成正方形的形狀，在數(shù)學(xué)上我們把研究這樣的問題稱為方陣問題。

在擺放的方陣中如果是實(shí)心的，我們叫它實(shí)心方陣，也叫中實(shí)方陣；如果這個(gè)方陣是空心的，我們叫它空心方陣，也叫中空方陣。 實(shí)心方陣的特點(diǎn)

總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù) 空心方陣的特點(diǎn)

總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=（最外層每邊人（或物）數(shù)?層數(shù)）×層數(shù)×4

奇數(shù)層：總?cè)藬?shù)=中間層總數(shù)×層數(shù)

偶數(shù)層：總?cè)藬?shù)=（外層+內(nèi)層）×層數(shù)÷2

若最外層每邊有a人，內(nèi)部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共有(a2變化規(guī)律

相鄰兩邊之間相差2；

相鄰兩層之間相差8；

每層人（或物）數(shù)=每邊人（或物）數(shù)×4?4=[每邊人（或物）數(shù)?1]×4 精選例題方陣問題基本知識(shí)1.一個(gè)實(shí)心方陣，最外一層每邊18人，（1）那么整個(gè)方陣一共

人；（2）最外面一層有

人；（3）從外向內(nèi)數(shù)，第2層每邊有

人，一共有

人；（4）如果考慮最外面三層，那么這三層共有

人．【答案】

324；68；16，60；180【分析】

（1）182（2）17×4=68或18×4?4=68；（3）18?2=16；15×4=60或68?8=60；（4）60×3=180．2.運(yùn)動(dòng)會(huì)上，五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方隊(duì)（橫豎行人數(shù)相等），已知最外層為60人，這個(gè)方隊(duì)共有

人．【答案】

256【分析】

最外層每邊有60÷4+1=16(人)，共有16×16=2563.一個(gè)長(zhǎng)方形隊(duì)列，如果增加一橫行和一豎行，就要增加13人．這個(gè)長(zhǎng)方形隊(duì)列原來最少有

人．【答案】

11【分析】

增加一橫行和一豎行，就要增加13人，那么原方陣的長(zhǎng)與寬的和為13?1=12，所以人數(shù)最少時(shí)，12=1+11，有1×11=11(人)4.小朋友們排成方陣做廣播體操，小明恰好站在方陣的正中心，此時(shí)無論是從前往后或者從后往前數(shù)他都排在第5個(gè)，無論是從左往右或者從右往左數(shù)時(shí)他都排在第6個(gè)，則這個(gè)方陣中一共有

位小朋友．【答案】

99【分析】

小明前后各有5?1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6?1=5(人)，那么每行就有5+1+5=115.有196枚圍棋子，擺成一個(gè)14×14的正方形．甲、乙兩人依次從最外一層起取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了

枚棋子．【答案】

28【分析】

196枚圍棋子圍成的方陣，最外層棋子數(shù)為14×4?4=52，相鄰兩層棋子數(shù)相差8，從外向內(nèi)每一層棋子數(shù)為：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了6.一個(gè)正方形方陣，其中的4行5列的人數(shù)總和為250人，那么如果將這個(gè)方陣去掉一行一列還剩

人．【答案】

841【分析】

4行5列，包括重復(fù)計(jì)算的：250＋20＝270人，每行：7.有一些人組成2個(gè)正方形方陣，2個(gè)正方形方陣之間相差97個(gè)人，那么這2個(gè)正方形方陣一共有

人．【答案】

4705【分析】

假設(shè)A方陣有a人，B方陣有b人，那么應(yīng)該有b2?a2=978.小虎在19×19的圍棋盤的格點(diǎn)上擺棋子，先擺成了一個(gè)長(zhǎng)方形的實(shí)心點(diǎn)陣．然后再加上45枚棋子，就正好擺成一邊不變的較大的長(zhǎng)方形的實(shí)心點(diǎn)陣．那么小虎最多用了

枚棋子．【答案】

285【分析】

45=3×3×5，它小于19的最大約數(shù)為15，所以不變的邊長(zhǎng)應(yīng)為15，另一邊最長(zhǎng)為19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．9.東風(fēng)小學(xué)儀仗隊(duì)的同學(xué)們排隊(duì)，若排成正方形，則多余12名同學(xué)，如果把這個(gè)正方形擴(kuò)大，縱橫每排各增加一人，則缺少9人

．【答案】

112【分析】

增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原來排成的正方形的每條邊上有(21?1)÷2=10(人)，東風(fēng)小學(xué)儀仗隊(duì)有學(xué)生10.有大小相同的正方形白石和黑石各n個(gè)．首先，將黑石不留空隙地?cái)[成一個(gè)正方形，然后在其外圍擺一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外圍擺一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外圍再擺一圈，正好將所有石子用完（如下圖所示）．那么2n=

．【答案】

144個(gè)【分析】

如上圖所示，記最外層的一圈白石為a個(gè)，它里面的一圈黑石為b個(gè)，再里邊的一圈白石為c個(gè)，最中間的黑石組成的正方形再分成外面一圈(d個(gè))和里面的正方形注意到a?b=b?c=c?d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因?yàn)楹谑目倲?shù)=白石的總數(shù)，所以最大的正方形的每一邊有4+4×2=12（個(gè)）石子，所以石子的總數(shù)為12×12=144（個(gè)）．11.一個(gè)實(shí)心體操方陣，最外層有72人．這個(gè)體操方陣有多少人？【答案】

361【分析】

最外層每邊人數(shù)：(72＋4)÷4＝答：這個(gè)體操方陣有361人．12.如圖所示，小剛在用棋子擺好的實(shí)心方陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了大一點(diǎn)的實(shí)心方陣，求原來的實(shí)心方陣有多少枚棋子？【答案】

64【分析】

填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此時(shí)每條邊有(17?1)÷2+1=9那么原來的方陣每條邊有91?1=8原來實(shí)心方陣的總棋子數(shù)：8×8=6413.某學(xué)校三年級(jí)同學(xué)180人，排成個(gè)三層空心方陣，這個(gè)方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數(shù)為180÷3=60則每邊有60÷4+1=16所以最外層每邊有16+2=1814.一個(gè)實(shí)心體操方陣，最外層有32人．這個(gè)體操方陣有多少人？【答案】

81【分析】

最外層每邊人數(shù)：(32＋4)÷4＝答：這個(gè)體操方陣有81人．15.三年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)實(shí)心方陣進(jìn)行體操表演，最外一層的人數(shù)為32人，問這個(gè)方陣最外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生多少人？【答案】

每邊9人，共81人．【分析】

每邊有32÷4+1=9共916.若干學(xué)生排成一個(gè)實(shí)心方陣，最外一層每邊有10人，共有多少層？1～3層一共有多少人？【答案】

5；36【分析】

10÷2＝5（層），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有17.小明用一些棋子擺成了一個(gè)兩層的空心方陣，后來他又用28枚棋子擺成了另外一個(gè)單層的空心方陣，擺完后他發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方陣正好可以拼在一起，組成一個(gè)新的三層空心方陣，那么他原來用了多少枚棋子？【答案】

32或80【分析】

如果單層空心方陣放在雙層空心方陣的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋18.有一個(gè)6層的空心方陣，最外層每邊25人，問要多少學(xué)生才能排出這個(gè)空心方陣？【答案】

456人【分析】

(25?6)×6×4＝答：要456個(gè)學(xué)生才能排出這個(gè)空心方陣．19.用紅、綠兩種顏色的小正方形瓷磚400塊鋪成一塊正方形墻面，這個(gè)墻面最外圈鋪的是紅色瓷磚，由外到內(nèi)的第二圈是綠色瓷磚，第三圈是紅色瓷磚，第四圈又是綠色瓷磚……這樣依次鋪下去．請(qǐng)問這個(gè)墻面上哪種顏色的瓷磚更多？?jī)煞N瓷磚相差多少塊？【答案】

紅色；40塊．【分析】

共有400塊瓷磚，所以整個(gè)方陣是一個(gè)20×20的方陣，共有10層，從外向里依次為紅、綠兩種顏色相間排列，最里一層為綠色；從外向里，每層紅色瓷磚都比它里面相鄰的那層綠色瓷磚多8塊，所以紅色比綠色多5×8=40塊．20.用64枚棋子擺成一個(gè)兩層中空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？【答案】

44【分析】

方陣相鄰兩層棋子數(shù)差為8，又知兩層棋子數(shù)和為64，由和差問題，外層有(64+8)÷2=36如果再增加一層，需要增加36+8=4421.在一個(gè)實(shí)心學(xué)生方陣中加入9人，可將原來的方陣變成一個(gè)多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學(xué)生多少人？【答案】

16【分析】

(9－1)÷2＝22.在一個(gè)實(shí)心學(xué)生方陣中加入若干人，原來的方陣變成一個(gè)多一行，多一列的方陣；若原來的方陣減少13人，可將原來的方陣變成一個(gè)少一行，少一列的方陣，問后來加入的學(xué)生有多少人？【答案】

15【分析】

(13+1)÷2＝7（人），7×2＋23.一批同學(xué)站成一個(gè)10×10的方陣，請(qǐng)問：最外一層共有多少人？從外向里的第3層有多少人？【答案】

36人；20人．【分析】

最外層每邊10人，共有10×4?4=36人．從外向里的第3層有：36?8×2=20人．24.用黑、白兩種顏色的正方形瓷磚共256塊鋪滿一面正方形的墻，最外一層是黑色，第二層是白色，第三層是黑色……這樣下去，那么整面墻上共有黑色瓷磚多少塊？【答案】

144．【分析】

256=16×16，所以最外層每邊16塊，從外往里共有8層，所以黑的共有：60+44+28+12=144塊．25.同學(xué)們參加了廣播操比賽，排成每行9人，每列9人的實(shí)心方陣，問方陣中共有多少學(xué)生？【答案】

81【分析】

可以根據(jù)“實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)得到9行9列的實(shí)心方陣人數(shù)為：9×9=8126.士兵排成一個(gè)實(shí)心方陣，最外一層一周的人數(shù)為80人，問方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有多少士兵？【答案】

21；441人【分析】

80÷4＋1＝答：方陣外層每邊有21人，這個(gè)方陣共有441士兵．27.一個(gè)13×13的方陣中，最外一層一共有多少人？從里向外的第3層有多少人？【答案】

48人；16人．【分析】

最外層共有：13×4?4=48人；最里邊一層只有1人，里邊第二層有8人．所以從里向外第3層有16人．28.在一個(gè)實(shí)心學(xué)生方陣中加入13人，可將原來的方陣變成一個(gè)多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學(xué)生多少人？【答案】

36【分析】

(13－1)÷2＝29.在一個(gè)實(shí)心學(xué)生方陣中減少11人，可將原來的方陣變成一個(gè)少一行，少一列的方陣，則原來的方陣有學(xué)生多少人？【答案】

36【分析】

(11+1)÷2＝6（人），所以原來的方陣有30.若干名同學(xué)站成一個(gè)15×15的方陣，請(qǐng)問：最外層一共有多少人？這個(gè)方陣一共有多少層？從里向外的第七層有多少人？【答案】

56；8；48．【分析】

最外層每邊15人，但角落上的4個(gè)人每人都同時(shí)位于兩條邊上，所以最外層共有：15×4?4=56人；每人往里一層，每邊人數(shù)會(huì)減少2個(gè)，最里層的每邊應(yīng)該有：15?2×7=1人，共有7+1=8層；從里向外第7層每邊有：1+2×(7?1)=13人，所以這一層共有：13×4?4=48人．31.共有240人排成一個(gè)5層空心方陣，這個(gè)方陣最里面一層每邊多少人？如果要在內(nèi)部加一層，變成6層空心方陣，還需要增加多少人？【答案】

32；24．【分析】

5層中間一層共有：240÷5=48人，所以最內(nèi)一層共有：48?8×2=32人，每邊32÷4+1=9人，內(nèi)部增加一層需要32?8=24人．32.一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層共有56人，那么這個(gè)方陣一共有多少人？【答案】

225．【分析】

最外層每邊有：56÷4+1=15人，所以共有15×15=225人．33.共有200人排成一個(gè)5層空心方陣，這個(gè)方針最外面一層每邊多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】

15；31．【分析】

中間層共有：200÷5=40人，所以最外層共有：40+8×2=56人，每邊有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16?15×15=31人．34.有一個(gè)240人排成的5層空心方陣，再增加多少人在最內(nèi)層，就可以使該方陣變成一個(gè)6層空心方陣？【答案】

24【分析】

240÷4÷5＋5＝12＋答：再增加24人在內(nèi)部，就可以使該方陣變成一個(gè)6層空心方陣．35.一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層共有36人，如果要讓這個(gè)方陣增加一行一列，需要增加多少人？【答案】

21人．【分析】

最外層36人，每邊36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11?10×10=21人．36.某校少先隊(duì)員可以排成一個(gè)四層空心方陣，如果最外層每邊有20個(gè)學(xué)生，問這個(gè)空心方陣最內(nèi)層共有多少個(gè)學(xué)生？這個(gè)四層空心方陣共有多少個(gè)學(xué)生？【答案】

52；256【分析】

20?2?2?2＝14（人）；14×4?4＝56?4＝所以這個(gè)空心方陣最內(nèi)層共有52個(gè)學(xué)生，這個(gè)四層空心方陣共有256個(gè)學(xué)生．37.在學(xué)校的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，同學(xué)們集體表演一個(gè)節(jié)目，站成了一個(gè)空心的正六邊形陣列，與圖中的陣列類似．從外向內(nèi)一共8層，分別站著兩層六年級(jí)的同學(xué)、兩層五年級(jí)的同學(xué)、兩層四年級(jí)的同學(xué)以及兩層三年級(jí)的同學(xué)．已知參加表演的六年級(jí)同學(xué)有126名，那么：（1）最外層有多少人？（2）現(xiàn)在陣列中一共有多少人？（3）如果想要讓一、二年級(jí)的同學(xué)把這個(gè)空心陣列填滿，還需要多少人？（最里層可站1個(gè)人）【答案】

（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】

（1）六邊形陣列中，相鄰兩層相差6人，所以最外層共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）還需要：18+12+6+1=37人．38.若干學(xué)生排成一個(gè)實(shí)心方陣，倒數(shù)第二層每邊比第二層多10人，共有多少層？【答案】

8【分析】

(10÷2)+1＋2＝39.一個(gè)實(shí)心方陣，最外面一層共有44人，請(qǐng)問：（1）這個(gè)方陣共有多少人？（2）如果讓這個(gè)方陣減少一行一列，一共需要減少多少人？【答案】

（1）144；（2）23．【分析】

（1）“最外一層共有44人”，說明最外層每邊有：44÷4+1=12人，所以，這個(gè)方陣是一個(gè)12×12的方陣，共有12×12=144人．（2）減少一行一列，也就是變成一個(gè)11×11的方陣，需要減少144?11×11=23人．40.節(jié)日來臨，同學(xué)們用盆花在操場(chǎng)上擺了一個(gè)空心方陣花壇，最外面的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少盆花？【答案】

108【分析】

方法一：最外層共有12×4?4=44第二層共有44?8=36第三層共有36?8=28所以共有44+36+28=108方法二：第二層每邊有12?2=10第二層共有10×4?4=36所以共有36×3=10841.曉曉愛好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個(gè)二層空心方陣，如圖所示，外層每邊有14個(gè)棋子，你知道他一共用了多少個(gè)棋子嗎？【答案】

96【分析】

方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)．知道最外面一層每邊放14個(gè)棋子，就可以求出第二層每邊的個(gè)數(shù)．知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出總數(shù)．(14?1)×4=52(14?2?1)×4=4452+44=96一共用了96個(gè)棋子．42.某學(xué)校三年級(jí)同學(xué)180人，排成一個(gè)三層空心方陣，這個(gè)方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數(shù)為180÷3＝60（人），則每邊有60÷4+1=16（人），所以最外層每邊有43.120個(gè)棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外層每邊有多少棋子？【答案】

13個(gè)【分析】

中間層總數(shù)為120÷3=40（人），則每邊有40÷4+1=11（人），所以最外層每邊有11+2=13（人）．44.如圖所示，用10枚棋子可以擺出一個(gè)正三角形點(diǎn)陣，每邊4枚棋子；用9枚棋子可以擺成一個(gè)正方形點(diǎn)陣，每邊3枚棋子．今有一堆棋子，棋子總數(shù)小于100，用這堆棋子既可以擺出一個(gè)正三角形點(diǎn)陣，也可以擺出一個(gè)正方形點(diǎn)陣，問這堆棋子共有多少枚？【答案】

36【分析】

100以內(nèi)的平方數(shù)，只有6所以36既可以組成邊長(zhǎng)為6的方陣，也能組成邊長(zhǎng)為8的正三角形點(diǎn)陣．45.有225枚棋子，擺成一個(gè)15×15的正方形，甲、乙兩人從最外一層起，輪流取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了多少?zèng)]枚棋子？【答案】

31【分析】

甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．46.劉老師把一些樹苗栽種成一個(gè)盡量大的實(shí)心方陣，結(jié)果還多出了6棵樹苗；后來又運(yùn)來了34棵樹苗，恰好能補(bǔ)成一個(gè)更大的實(shí)心方陣．那么后來的方陣最外層每邊有多少棵樹？【答案】

11或7【分析】

若增加了1層，則現(xiàn)在最外層共有40棵樹，所以最外層每邊共有：40+4÷4=11若增加了2層，則40=16+24，此時(shí)最外層有：24+4÷4=747.三年級(jí)廣播體操比賽采用了方陣的形式，每個(gè)方陣有5行，每行8人，3個(gè)這樣的方陣有多少人？【答案】

120人【分析】

5×8×3＝120（人），答：3個(gè)這樣的方陣有48.若干學(xué)生排成一個(gè)實(shí)心方陣，最外一層每邊有12人，共有多少層？1～4層一共有多少人？【答案】

6；64【分析】

12÷2＝6（層），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有49.一隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成一個(gè)三層空心方陣多出16人，如果在空心部分再增加一層又缺28人，這隊(duì)?wèi)?zhàn)士共有多少人？【答案】

196【分析】

16+28=44（人），所以空心部分新增一層每邊有44÷4+1=12（人），所以最外層每邊有12+2×3=18（人），所以排好的三層共182?1250.某班所有學(xué)生恰好可以排成一個(gè)每邊為8人的三角陣，請(qǐng)問：這個(gè)班共有多少人？【答案】

36人．【分析】

每邊為8人的三角陣共有：1+2+3+?+8=36人．51.176個(gè)棋子擺成一個(gè)四層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少棋子？【答案】

9個(gè)【分析】

最內(nèi)層與最外層總數(shù)和為176÷4×2＝88（個(gè)），則則最內(nèi)層有(88?3×8)÷2=32（個(gè)），則每邊有52.學(xué)而思運(yùn)動(dòng)會(huì)上，五年級(jí)的女生們準(zhǔn)備出一個(gè)團(tuán)體操的節(jié)目．現(xiàn)在的人數(shù)剛好排成一個(gè)方陣（每一行人數(shù)和每一列人數(shù)相等）．后來又加入了23個(gè)女生，恰好還可以組成一個(gè)方陣．那么你能算出加入23人之前，方陣共有多少人嗎？【答案】

121人【分析】

依題意，前后兩次的學(xué)生總?cè)藬?shù)都是完全平方數(shù)．不妨設(shè)前者人數(shù)是B2，后者人數(shù)是A2.那么根據(jù)平方差式，A2?B2=A+BA+B則加入23人之前，方陣有11×11=121人．53.同學(xué)們用64盆花排出一個(gè)兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？【答案】

44【分析】

對(duì)于兩層方陣，外層比內(nèi)層多8盆，兩層共64盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數(shù)是(64+8)÷2=36（盆），從而得出需增加的盆數(shù)，36+8=44（盆）．54.如圖，一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個(gè)水池構(gòu)成．現(xiàn)在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點(diǎn)都種上（即圖中的A、B、C點(diǎn)），且每塊草地上的花朵排成了一個(gè)三角形點(diǎn)陣，且每條邊上有10朵花．請(qǐng)問：整個(gè)綠地一共要種多少朵花？【答案】

162朵．【分析】

每個(gè)三角形草地里每邊都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但這樣算，三角形的連接處都被算了2次，多算1次，所以整個(gè)綠地一共種花165?3=162朵．55.用白、藍(lán)兩種顏色的正方形瓷磚鋪滿一面正方形的墻，共用了324塊，最里面一層是藍(lán)色的，第二層是白色，第三層是藍(lán)色……這樣下去，最外面一層是什么顏色？整面墻上共有白色瓷磚多少塊？【答案】

藍(lán)色；144．【分析】

324=18×18，共有9層，所以最外層是藍(lán)色的；共有白色瓷磚：12+28+44+60=144塊．56.在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，有一大一小兩個(gè)方陣合并變換成一個(gè)