新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念第1課時(shí)集合的含義學(xué)案新人教A版必修第一冊

1．1集合的概念第1課時(shí)集合的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過實(shí)例了解集合的含義．2．理解元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用．核心素養(yǎng)1．通過集合概念的學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助集合中元素的互異性的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).知識點(diǎn)1元素與集合的相關(guān)概念(1)元素(2)集合(3)集合中元素的特性：_確定性_、_互異性_和無序性．提醒：集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性．反過來，一組對象若不具備這三個(gè)特性，則這組對象也就不能構(gòu)成集合．想一想：(1)某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個(gè)集合？提示：(1)某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤皫浉纭睕]有明確的標(biāo)準(zhǔn)．(2)某班身高高于175厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定．練一練：判斷下列說法是否正確，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)集合中的元素只能是數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式．(×)提示：集合中的元素可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實(shí)生活中的各種各樣的事物或人等．(2)高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊課本上的所有難題能組成一個(gè)集合．(×)提示：難題的標(biāo)準(zhǔn)不明確，無法構(gòu)成一個(gè)集合．(3)分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個(gè)集合是相等的．(√)提示：因?yàn)檫@兩個(gè)集合中的元素是一樣的．知識點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa_∈_Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa_不屬于_集合A提醒：∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合．練一練：(多選題)已知集合A由x<3的數(shù)構(gòu)成，則有(BC)A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1?A[解析]由1<3,0<3，－1<3，故選BC．知識點(diǎn)3常用數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號N_N*或N＋_ZQ_R想一想：N，N*，N＋有什么區(qū)別？提示：(1)N為非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，而N*或N＋表示正整數(shù)集，不同之處就是N包括0，而N*(N＋)不包括0.(2)N*和N＋的含義是一樣的，初學(xué)者往往會誤記為N*或N＋，為避免出錯(cuò)，對于N*和N＋，可形象地記為“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．練一練：下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是_①④_(填序號)．①0∈N；②π∈Q；③eq\r(2)∈Q；④－1∈Z；⑤eq\r(2)?R.[解析]π，eq\r(2)為無理數(shù)，eq\r(2)為實(shí)數(shù)，故填①④.題型探究題型一集合的基本概念典例12023年9月，我們踏入了心儀的高中校園，找到了自己的班級．則下列對象中能構(gòu)成一個(gè)集合的是哪些？并說明你的理由．(1)你所在班級中的全體同學(xué)；(2)班級中比較高的同學(xué)；(3)班級中身高超過178cm的同學(xué)；(4)班級中年齡比較小的同學(xué)；(5)班級中體重超過75kg的同學(xué)；(6)學(xué)習(xí)成績比較好的同學(xué)．[解析](1)班級中的全體同學(xué)是確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合．(2)因?yàn)椤氨容^高”無法衡量，所以對象不確定，所以不能構(gòu)成一個(gè)集合．(3)因?yàn)椤吧砀叱^178cm”是確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合．(4)“年齡比較小”無法衡量，所以對象不確定，所以不能構(gòu)成一個(gè)集合．(5)“體重超過75kg”是確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合．(6)“學(xué)習(xí)成績比較好”無法衡量，所以對象不確定，所以不能構(gòu)成一個(gè)集合．[歸納提升]判斷一組對象能否組成集合的策略(1)注意集合中元素的確定性．看是否給出一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個(gè)對象，都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素，若具有此“標(biāo)準(zhǔn)”，就可以組成集合；否則，不能組成集合．(2)注意集合中元素的互異性、無序性．對點(diǎn)練習(xí)?(1)在2022年女足亞洲杯比賽中，下列能構(gòu)成集合的是(B)A．所有著名運(yùn)動員B．獲得前四名的球隊(duì)C．比較受歡迎的球隊(duì)D．參加比賽的所有高個(gè)子隊(duì)員(2)下列各組中，集合P與Q相等的是(A)A．P是由元素1，eq\r(3)，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2＝1的解集[解析](1)對于A，所有著名運(yùn)動員，沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合元素的確定性，故A不能構(gòu)成集合；對于B，獲得前四名的球隊(duì)是確定的，能構(gòu)成一個(gè)集合；對于C，比較受歡迎的球隊(duì)，沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合元素的確定性，故C不能構(gòu)成集合；對于D，參加比賽的所有高個(gè)子隊(duì)員，沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合元素的確定性，故D不能構(gòu)成一個(gè)集合．(2)由于A中P，Q的元素完全相同，所以P與Q相等，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P與Q不相等．題型二元素與集合的關(guān)系典例2(1)(多選題)下列結(jié)論中，正確的是(BCD)A．若a∈N，則eq\f(1,a)?NB．若a∈Z，則a2∈ZC．若a∈Q，則|a|∈QD．若a∈R，則eq\r(3,a)∈R(2)(多選題)已知集合A中元素滿足x＝3k－1，k∈Z，則下列表示正確的是(BC)A．－2∈A B．－11?AC．3k2－1∈A D．－34?A[解析](1)A不正確，反例：a＝1∈N，eq\f(1,a)＝1∈N；B正確，因?yàn)檎麛?shù)的平方仍是整數(shù)；C正確，因?yàn)橛欣頂?shù)的絕對值仍是有理數(shù)；D正確，因?yàn)閷?shí)數(shù)的立方根仍是實(shí)數(shù)．(2)令3k－1＝－2，解得k＝－eq\f(1,3)，－eq\f(1,3)?Z，所以－2?A；令3k－1＝－11，解得k＝－eq\f(10,3)，－eq\f(10,3)?Z，所以－11?A；因?yàn)閗2∈Z，所以3k2－1∈A；令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，所以－34∈A．[歸納提升]判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接給出的；②判斷方法：首先明確集合由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．(2)推理法①使用前提：對于某些不便直接表示的集合；②判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．對點(diǎn)練習(xí)?(1)(多選題)下列關(guān)系中，正確的有(ABC)A．eq\f(1,2)∈R B．eq\r(5)?QC．|－3|∈N D．|－eq\r(3)|∈Q(2)若集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為_2,1,0_.[解析](1)eq\f(1,2)是實(shí)數(shù)，eq\r(5)是無理數(shù)，|－3|＝3是自然數(shù)，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是無理數(shù)．因此，A、B、C正確，D錯(cuò)誤，故選ABC．(2)由題意可得：3－x可以為1,2,3,6，且x為自然數(shù)，因此x的值為2,1,0.因此A中元素有2,1,0.題型三集合中元素的性質(zhì)典例3已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三個(gè)元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．[分析]－3是集合的元素說明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分類討論求解．[解析]由題意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.當(dāng)x－2＝－3時(shí)，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三個(gè)元素分別為－3，－3,12，不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)2x2＋5x＝－3時(shí)，x＝－eq\f(3,2)或x＝－1(舍去)，當(dāng)x＝－eq\f(3,2)時(shí)，集合的三個(gè)元素分別為－eq\f(7,2)，－3,12，滿足集合中元素的互異性，故x＝－eq\f(3,2).[歸納提升]解決此類問題的通法是：根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，求得參數(shù)的值，然后將參數(shù)值代入檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性．對點(diǎn)練習(xí)?已知集合A中僅含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為_0或－1___.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為0或－1.1．(多選題)下列給出的對象中，不能構(gòu)成集合的是(ABC)A．一切很大的數(shù) B．好心人C．漂亮的小女孩 D．不小于3的自然數(shù)[解析]“很大”“好”“漂亮”等詞沒有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，故選項(xiàng)A、B、C中的元素均不能構(gòu)成集合，故選ABC．2．下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是(B)A．－1∈N B．0?N*C．eq\r(3)∈Q D．eq\f(2,5)?R[解析]因?yàn)椋?是整數(shù)，不是自然數(shù)，所以A不正確；因?yàn)?不是正整數(shù)，所以B正確；因?yàn)閑q\r(3)是無理數(shù)，不是有理數(shù)，所以C不正確；因?yàn)閑q\f(2,5)是實(shí)數(shù)，所以D不正確．3．若1∈A，且集合A與集合B相等，則1_∈_B(填“∈”或“?”)．[解析]由集合相等的定義可知，1∈B.4．已知集合A由a2－a＋1