新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪學案新人教A版必修第一冊

4．1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪學習目標1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質．2．能利用根式的性質對根式進行運算．3．理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．核心素養(yǎng)1．通過學習n次方根、根式，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助根式的性質對根式進行運算，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．3．通過理解分數(shù)指數(shù)冪的含義提升數(shù)學抽象素養(yǎng).知識點1n次方根1．a的n次方根的定義一般地，如果_xn＝a_，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)_Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)_[0，＋∞)想一想：正數(shù)a的n次方根一定有兩個嗎？提示：不一定．當n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，且互為相反數(shù)，當n為奇數(shù)時，正數(shù)a的n次方根只有一個且仍為正數(shù)．練一練：1．27的立方根是_3_.2．4的平方根是_±2_.知識點2根式1．根式的定義式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做_根指數(shù)_，a叫做_被開方數(shù)_.2．根式的性質(n>1，且n∈N*)(1)負數(shù)沒有_偶次_方根．(2)0的任何次方根都是0，即eq\r(n,0)＝_0_.(3)(eq\r(n,a))n＝_a_.(4)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝_a_.(5)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a_，a≥0，,－a_，a<0.))想一想：(eq\r(n,a))n與eq\r(n,an)中的字母a的取值范圍是否一樣？提示：取值范圍不同．式子(eq\r(n,a))n中隱含a是有意義的，若n為偶數(shù)，則a≥0，若n為奇數(shù)，a∈R；式子eq\r(n,an)中，a∈R.練一練：1.eq\r(3,－8)等于(B)A．2 B．－2C．±2 D．－8[解析]eq\r(3,－8)＝eq\r(3,(－2)3)＝－2.2．下列各式正確的是(A)A．(eq\r(3,a))3＝a B．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a| D．eq\r(6,a6)＝a[解析](eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a≥0),－a(a<0)))，故選A.知識點3分數(shù)指數(shù)冪的意義(a>0，m，n∈N*，且n>1)正分數(shù)指數(shù)冪負分數(shù)指數(shù)冪0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義提醒：1.分數(shù)指數(shù)冪不可理解為eq\f(m,n)個a相乘，它是根式的一種寫法．2．把根式eq\r(n,am)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式時，不要輕易對eq\f(m,n)進行約分．練一練：可化為(C)[解析]知識點4有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(a>0，b>0，r，s∈Q)(1)aras＝_ar＋s_.(2)(ar)s＝_ars_.(3)(ab)r＝_arbr_.[拓展](1)ar÷as＝ar－s；(2)eq\f(ar,br)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r.練一練：1．若a>0，n，m為實數(shù)，則下列各式中正確的是(D)[解析]由指數(shù)冪的運算法則知1÷an＝a0÷an＝a0－n正確，故選D.2．＝eq\f(\r(3),3)_.[解析]題型探究題型一n次方根的概念典例1(1)16的平方根為_±4_，－27的5次方根為eq\r(5,－27)_；(2)已知x7＝6，則x＝eq\r(7,6)_；(3)等式eq\r((a－3)(a2－9))＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的實數(shù)a的取值范圍是_a∈[－3,3]_.[分析]解答此類問題應明確n次方根中根指數(shù)對被開方數(shù)的要求及n次方根的個數(shù)要求．[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根為±4.－27的5次方根為eq\r(5,－27).(2)∵x7＝6，∴x＝eq\r(7,6).(3)eq\r((a－3)(a2－9))＝eq\r((a－3)2(a＋3))＝|a－3|eq\r(a＋3)，要使|a－3|eq\r(a＋3)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．[歸納提升](1)任意實數(shù)的奇次方根只有一個，正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)；(2)(eq\r(n,a))n是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由n的奇偶性決定．對點練習?計算下列各值：(1)256的4次算術方根是_4_；(2)32的5次方根是_2_.(3)設3<a<5，則eq\r((3－a)2)＋eq\r(6,(5－a)6)＝_2_.[解析](1)∵(±4)4＝256，∴256的4次算術方根為4.(2)∵25＝32，∴32的5次方根為2.(3)由于3<a<5，所以3－a<0,5－a>0，所以eq\r((3－a)2)＋eq\r(6,(5－a)6)＝|3－a|＋|5－a|＝a－3＋5－a＝2.題型二利用根式的性質化簡或求值典例2化簡：(1)eq\r(4,(3－π)4)；(2)eq\r((a－b)2)(a>b)；(3)(eq\r(a－1))2＋eq\r((1－a)2)＋eq\r(3,(1－a)3).[解析](1)eq\r(4,(3－π)4)＝|3－π|＝π－3.(2)eq\r((a－b)2)＝|a－b|＝a－b.(3)由題意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.[歸納提升]n為奇數(shù)時，(eq\r(n,a))n＝eq\r(n,an)＝a，a為任意實數(shù)均可；n為偶數(shù)時，a≥0，(eq\r(n,a))n才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，而a為任意實數(shù)eq\r(n,an)均有意義，且eq\r(n,an)＝|a|.對點練習?求下列各式的值：(1)eq\r(7,(－2)7)；(2)eq\r(4,(3a－3)4)(a≤1)；(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4).[解析](1)eq\r(7,(－2)7)＝－2.(2)eq\r(4,(3a－3)4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))題型三根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化典例3(1)用根式的形式表示下列各式(x>0)．(2)把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0，b>0.①eq\r(5,a6)；②eq\f(1,\r(3,a2))；③eq\r(4,\f(b3,a2))；④eq\r((－a)6).[解析](1)(2)①eq\r(5,a6)＝aeq\f(6,5).[歸納提升]根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計算時，通常會把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質解題．對點練習?(1)化簡的結果是(A)A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,3)C．3 D．5(2)用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：①eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解析](2)①eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a)·\f(a,b3))＝1.題型四利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質化簡求值典例4(1)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·－(0.01)0.5＝eq\f(16,15)_；(2)化簡：eq\r(3,a\f(7,2)\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)\r(3,a15))÷eq\r(3,\r(a－3)\r(a－1)).[分析]將根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質計算．[解析](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).[歸納提升]1.冪的運算的常規(guī)方法(1)化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪或化分母為負指數(shù)．(2)化根式為分數(shù)指數(shù)冪．(3)化小數(shù)為分數(shù)．2．分數(shù)指數(shù)冪及根式化簡結果的具體要求利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式計算時，結果可化為根式形式或保留分數(shù)指數(shù)冪的形式，不強求統(tǒng)一用什么形式，但結果不能既有根式又有分數(shù)指數(shù)冪，也不能同時含有分母和負指數(shù)．對點練習?計算下列各式(式中字母均為正數(shù))．[解析](1)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))))(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq\f(5,2)－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＝eq\f(27,16).1．已知x5＝6，則x等于(B)A.eq\r(6) B．eq\r(5,6)C．－eq\r(5,6) D．±eq\r(5,6)[解析]由根式的定義知，x5＝6，x＝eq\r(5,6)，選B.2．若2＜a＜3，化簡eq\r((2－a)2)＋eq\r(4,(3－a)4)的結果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故選C.3．(多選題)下列關系式中，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是(BC)[解析]對于A，