電路 (第四版) 課件 （高赟）第3、4章 電路的基本分析方法、電路定理

第3章電路的基本分析方法3.1電路的拓?fù)潢P(guān)系3.2電路KCL和KVL方程的獨(dú)立性3.3-支路電流法3.4網(wǎng)孔電流法和回路電流法3.5節(jié)點(diǎn)電壓法

3.1電路的拓?fù)潢P(guān)系

3.1.1圖的初步概念

圖(Graph)是節(jié)點(diǎn)和支路的集合。在圖G中支路用線段(直線段或曲線段)表示,支路和支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。在圖論中,節(jié)點(diǎn)稱為頂點(diǎn),支路稱為邊。注意:在圖的定義中允許獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)存在,即沒有支路和該節(jié)點(diǎn)相連,獨(dú)立節(jié)點(diǎn)也稱為孤立節(jié)點(diǎn);在圖G中,不允許不和節(jié)點(diǎn)相連的支路存在,就是說,任何支路的兩端必須落在節(jié)點(diǎn)上。

如果移去一個(gè)節(jié)點(diǎn),就必須把和該節(jié)點(diǎn)相連的所有支路均移去,移去一條支路則不影響和它相連的節(jié)點(diǎn)(若將和某一節(jié)點(diǎn)相連的所有支路均移去,則該節(jié)點(diǎn)就變成了孤立節(jié)點(diǎn))。若一條支路和某節(jié)點(diǎn)相連稱該支路和該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián),那么和一個(gè)節(jié)點(diǎn)所連的所有支路稱為這些支路和該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。

例如圖3-1所示的圖,在圖G1中有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6條支路;圖G2中有5個(gè)節(jié)點(diǎn)和5條支路,節(jié)點(diǎn)⑤是孤立節(jié)點(diǎn)。如果在圖G1中移去節(jié)點(diǎn)④,則和它關(guān)聯(lián)的支路(3,5,6)均要移去,這樣圖G1就變成圖G3;如果在圖G1中分別移去支路2、3、6(和它們關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)不能移去),則圖G1就變成了圖G4。

圖3-1圖的概念說明圖

圖3-2是在圖3-1(a)圖G1的基礎(chǔ)上變換而來的,請判斷哪些圖是圖G1的樹,哪些不是,為什么?你能找出G1中剩余的樹嗎?

圖3-2圖3-1中G1的衍生圖

3.1.2電路模型和圖的關(guān)系

有了關(guān)于圖的初步知識以后,接下來學(xué)習(xí)如何利用圖的有關(guān)知識幫助我們分析電路。在實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的之前,先研究如何將電路模型轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的圖。

在電路模型中,一個(gè)二端元件或若干個(gè)二端元件串聯(lián)所形成的分支稱為一條支路,兩個(gè)或兩個(gè)以上支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。只要將電路中的支路用圖中的支路表示,電路中的

節(jié)點(diǎn)保持不變,這樣一個(gè)電路模型就可以轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的圖。

例如圖3-3(a)所示的電路可以轉(zhuǎn)換成圖3-3(b)所示的圖G。由于R2、R4、R5和受控的電壓源u3-均為二端元件,因此可以用不同的支路(2,4,5,3)分別表示它們;uS6和R6串聯(lián)形成一條支路,所以可用一條支路(6)表示;R1和iS1并聯(lián)也可以用一條支路(1)表示,因?yàn)槔秒娫醋儞Q可以將其變換成電壓源和電阻的串聯(lián)形式,所以有伴的電流源可以轉(zhuǎn)換成一條支路?？梢?轉(zhuǎn)換后的圖G有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6條支路。要說明的是,由一個(gè)完整的電路所轉(zhuǎn)換成的圖G均是連通的。

圖3-3-電路模型到圖的例子

分析電路的目的是(最多)求出電路中所有支路上的電壓和電流。有了電路的圖G以后,對于圖G可以設(shè)出每條支路的電壓和電流,并標(biāo)出它們的參考方向,則圖G就變成有向圖。上例中圖G的有向圖如圖3-3(c)所示。有向圖中每條支路上的方向既表示該支路電壓的參考方向又表示電流的參考方向,并且電壓和電流的參考方向均是關(guān)聯(lián)的。

有了電路的有向圖以后,就可以列出圖中所有節(jié)點(diǎn)上的KCL方程和所有回路的KVL方程。

3.2電路KCL和KVL方程的獨(dú)立性

3.2.1電路KCL方程的獨(dú)立性對圖3-3(c)所示有向圖中的節(jié)點(diǎn)①、②、③、④分別列出KCL方程為

對于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的有向圖而言,KCL方程的獨(dú)立個(gè)數(shù)為n-1個(gè)。這是因?yàn)?n個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有KCL方程之和為

可見,這n個(gè)KCL方程是非獨(dú)立的(線性相關(guān)),原因是支路電流ij(j=1,2,…,b)作為正負(fù)在所有的方程中各出現(xiàn)一次。

3.2.2電路KVL方程的獨(dú)立性

由上一節(jié)知,一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G,其中的基本回路或獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)為b-(n-1)。對于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的有向圖或電路,任何樹的樹支數(shù)是n-1個(gè),連支數(shù)是b-(n-1)個(gè)。如果所有回路均是單連支回路,并且和所有連支一一對應(yīng),則這些回路就是基本回路,基本回路是彼此獨(dú)立的,則基本回路對應(yīng)的KVL方程相互之間是獨(dú)立的。另一種解釋是,因?yàn)橐粋€(gè)基本回路中僅含一條連支,所以連支電壓在各自的KVL方程中均是新變量,它不同于其他方程中的所有變量,所以基本回路的KVL方程彼此之間是獨(dú)立的。設(shè)獨(dú)立方程數(shù)的個(gè)數(shù)為l,則它等于連支數(shù)的個(gè)數(shù),即l=b-(n-1)。

對于一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,設(shè)獨(dú)立回路數(shù)為l=b-(n-1),則

該式說明,將l個(gè)獨(dú)立的KVL方程相加,其結(jié)果必不等于零。可以證明,若電路中任意數(shù)目的回路數(shù)g>l,上面求和(代數(shù)和)式中的部分KVL方程相加等于零,則說明這些部分方程之間是非獨(dú)立的。就是說,當(dāng)g>l時(shí),g個(gè)KVL方程之間不是彼此獨(dú)立的,所以l是一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路電路的最大線性無關(guān)KVL方程的個(gè)數(shù)。

例如,圖3-4是圖3-3(c)所示的有向圖,設(shè)支路1、4、5為樹支,則連支為2、3、6支路,這樣所有的單連支(獨(dú)立)回路為(2,1,4)、(3,1,4,5)、(6,5,4)。分別定義它們?yōu)榛芈穕1、l2和l3,

設(shè)所有回路的繞行方向均為順時(shí)針方向,則KVL方程依次為

再列出回路(2,3,5)的KVL方程為

則上述4個(gè)方程是非獨(dú)立的,因?yàn)橛墒?3-1a)和式(3-1b)中可得出式(3-1d)式。

3.3-支路電流法

分析電路的目的是已知電路求響應(yīng),一個(gè)電路中最多的響應(yīng)是所有支路上的電壓和電流。對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,它的全部響應(yīng)就是b條支路的電流和b條支路的電壓,所以總響應(yīng)(變量)為2b個(gè)。

由前面的分析知道,對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,可以列出n-1個(gè)獨(dú)立的KCL方程和b-(n-1)個(gè)獨(dú)立的KVL方程,兩者相加,其個(gè)數(shù)為b個(gè)。對于b條支路,利用每條支路上的VCR,又可以列出b條支路的約束方程,則列出的方程總數(shù)為2b個(gè)。利用這2b個(gè)方程可以求出該電路中2b個(gè)響應(yīng),所以該方法也稱為2b法。

為了減少方程數(shù),先以b條支路電流為未知變量,列出n-1個(gè)KCL方程,再用支路電流表示b-(n-1)個(gè)KVL方程中的各個(gè)電壓變量,這樣就得到b個(gè)關(guān)于支路電流的方程,然后再利用每條支路上的VCR求出b條支路上的電壓,所以該方法稱為支路電流法,簡稱支路法。

該方法的具體步驟介紹如下。

例如圖3-5(a)所示電路,該電路所對應(yīng)的有向圖如圖3-5(b)所示,圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4,支路數(shù)b=6。圖3-5支路電流法

最后需說明的是,若某支路由無伴的電壓源或電流源構(gòu)成,無法寫出該支路的VCR方程,就無法將該支路的電壓用支路電流來表示。對于無伴電壓源支路,因?yàn)橹冯妷簽橐阎?所以使問題簡單了;對于無伴電流源支路,因?yàn)橹冯娏魇且阎?需要設(shè)出該支路的電壓然后再列方程,這樣問題就可以解決了。

3.4網(wǎng)孔電流法和回路電流法

由支路法知道,一個(gè)b條支路的電路要列b維方程組。例如圖3-5(a)所示電路必須列一個(gè)6維方程組。能不能在目的不變的情況下將方程的維數(shù)降下來呢?回答是肯定的。

已經(jīng)知道,一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的電路,由KCL能列出n-1個(gè)獨(dú)立方程,由KVL能列出b-(n-1)個(gè)獨(dú)立方程。若能設(shè)定一種變量只用KCL或者KVL方程,就可以將b維方程組降為n-1或b-(n-1)維方程組。本節(jié)的網(wǎng)孔電流法(簡稱網(wǎng)孔法)和回路電流法(簡稱回路法)就是只依據(jù)KVL間接地求出b條支路電流的方法。網(wǎng)孔法僅適用于平面電路,而回路法既適用于平面電路也適用于非平面電路。下面先介紹平面電路和非平面電路的概念。

就電路所對應(yīng)的圖G而言,如果圖G中支路和支路之間(進(jìn)行變換后)除了節(jié)點(diǎn)以外沒有交叉點(diǎn),這樣的圖稱為平面圖,所對應(yīng)的電路稱為平面電路,否則稱為非平面圖或非平面電路。例如圖3-6(a)是一個(gè)平面圖,圖3-6(b)是一個(gè)非平面圖。圖3-1中的圖G1就是一個(gè)平面圖。

圖3-6平面圖和非平面圖

3.4.1網(wǎng)孔電流法

對于一個(gè)平面電路而言,網(wǎng)孔的個(gè)數(shù)就等于基本回路的個(gè)數(shù),對于較為簡單的平面圖,網(wǎng)孔和基本回路可以一一對應(yīng),而對于復(fù)雜電路,網(wǎng)孔的個(gè)數(shù)等于基本回路的個(gè)數(shù)(見習(xí)題3-3),因此,網(wǎng)孔上的KVL方程是相互獨(dú)立的。

網(wǎng)孔電流法(網(wǎng)孔法)是以網(wǎng)孔電流im為未知變量的。設(shè)平面電路有m個(gè)網(wǎng)孔,網(wǎng)孔電流的個(gè)數(shù)就等于獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)[m=b-(n-1)],設(shè)網(wǎng)孔電流分別為im1、im2、…、imm。網(wǎng)孔電流是一種假想的變量,電路中所有支路電流可以用它們來表示。就是說,它們可以替換形式如式(3-6)中的電流ik,這樣KVL方程就變成以網(wǎng)孔電流為變量的方程。為了便于比較,仍然采用圖3-5(a)所示的電路,將支路3經(jīng)電源變換后其結(jié)果如圖3-7(a)所示,圖中uS3=R3iS3,圖3-7(b)是它的有向圖。

圖3-7網(wǎng)孔電流法

如果電路中含有無伴的電流源支路,由于電流源的端電壓為未知量,處理方法是設(shè)它的端電壓為u,這樣就多出一個(gè)電壓變量,由于無伴電流源的電流為已知,可以增加一個(gè)電流方程(或電流約束)。

根據(jù)上述,并設(shè)電路有m個(gè)網(wǎng)孔,網(wǎng)孔法的具體步驟可歸納如下。

例3-1電路如圖3-8所示,根據(jù)網(wǎng)孔法求電路中的電流i2,i3。圖3-8例3-1圖

再根據(jù)KCL,有

用所計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),例如在第2個(gè)網(wǎng)孔中根據(jù)KVL有

可見答案是正確的。

3.4.2回路電流法

網(wǎng)孔法只適用于平面電路,而回路電流法(回路法)既適用于平面電路也適用于非平面電路。對于任意電路所對應(yīng)的圖而言,當(dāng)選定樹以后,由單連支確定的回路是基本回路,根據(jù)基本回路可以列出其KVL方程。

回路法是以回路電流il為未知變量,變量的個(gè)數(shù)等于基本回路的個(gè)數(shù)[l=b-(n-1)],即回路電流分別為il1、il2、…、ill。和網(wǎng)孔電流相同,回路電流也是一種假想電流,而每個(gè)支路上的電流同樣可以用這些假想的電流來表示。例如在圖3-9所示的有向圖中,選樹為支路4,2,3,則連支為支路1、5、6,對應(yīng)的基本回路如圖3-9所示。

圖3-9回路電流和支路電流的關(guān)系

設(shè)回路電流分別為il1、il2和il3,由圖3-9知回路電流等于對應(yīng)的連支電流,其參考方向和連支電流的參考方向相同,即i1=il1、i5=il2、i6=il3,根據(jù)KCL,有

可見,所有支路電流均可以用假設(shè)的回路電流表示。

例3-2電路如圖3-10(a)所示,列出回路方程。圖3-10例3-2圖

例3-3-電路如圖3-11(a)所示,列出回路方程并整理。圖3-11例3-3圖

3.5節(jié)點(diǎn)電壓法

例如圖3-12(a)所示電路,圖3-12(b)是對應(yīng)的有向圖。

圖3-12節(jié)點(diǎn)電壓法

例3-4電路如圖3-13所示,列出該電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3-13-例3-4圖

解選節(jié)點(diǎn)③為參考點(diǎn),設(shè)節(jié)點(diǎn)①、②的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2,將電阻寫成電導(dǎo)的形式,直接列出節(jié)點(diǎn)電壓方程,即

值得注意的是,電阻R1沒有被計(jì)入節(jié)點(diǎn)①的自導(dǎo)中,原因是節(jié)點(diǎn)電壓方程實(shí)質(zhì)上是KCL方程,和電流源串聯(lián)的電阻R1不會(huì)影響該支路電流的大小,所以也不會(huì)影響節(jié)點(diǎn)①的KCL方程,因此在列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí),要注意和電流源串聯(lián)的電阻(或電導(dǎo))不需要被計(jì)入。受控的電流源也是如此。

如果電路中含有無伴的電壓源支路,因?yàn)殡妷涸吹碾娏鳛槲粗?處理方法是設(shè)出它的電流i,這樣就多出一個(gè)電流變量,由于已知無伴電壓源的電壓,可以增加一個(gè)電壓方程(或電壓約束)。另外,對于電路中的受控源,將其先按獨(dú)立源對待列方程,然后將控制量用節(jié)點(diǎn)電壓變量表示,整理方程即可。

例3-5電路如圖3-14所示,試用節(jié)點(diǎn)法求圖中的電壓u。圖3-14例3-5圖

例3-6電路如圖3-15所示,試列出電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3-15例3-6圖

本章討論了電路分析的基本方法,KCL和KVL是分析電路的基礎(chǔ),對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的電路,可以列出n-1個(gè)獨(dú)立的KCL方程和b-(n-1)個(gè)的獨(dú)立的KVL方程。由此得出分析電路的基本分析方法,即支路法、回路法(含網(wǎng)孔法)和節(jié)點(diǎn)法。利用支路法可以求出給定電路所有支路的支路電流,進(jìn)而可以求出所有支路的電壓;利用回路法(或網(wǎng)孔法)可以求出所有獨(dú)立回路(或網(wǎng)孔)的電流,從而可以間接地求出所有支路的電流和電壓;利用節(jié)點(diǎn)法可以求出n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)到參考點(diǎn)的電壓,從而可以間接地求出所有的支路的電壓和電流?？梢?利用基本分析方法能夠求出給定線性電路的全部響應(yīng)。對于

一個(gè)具體的電路,除指定以外,選用求解方法的原則是哪一種方法所列的電路方程少則選用哪一種。

因?yàn)楸緯治龅膶ο笙薅榫€性電路,因而上述諸方法所列的方程均為線性方程,可將它們統(tǒng)一寫成矩陣的形式,即

式中,X分別表示支路電流、回路(或網(wǎng)孔)電流以及節(jié)點(diǎn)電壓的列向量,對于線性電路來說A是常系數(shù)矩陣,B是由電路中所有激勵(lì)組合而成的列向量。對于復(fù)雜電路,式(3-18)的維數(shù)將增加,此時(shí)可以借助計(jì)算機(jī)求解第4章電路定理4.1線性電路4.2疊加定理和齊性定理4.3替代定理4.4

戴維南定理和諾頓定理4.5特勒根定理4.6互易定理4.7最大功率傳輸條件4.8對偶原理

4.1線性電路

4.1.1線性電路的概念

由1.4節(jié)集總參數(shù)元件的概念知,集總參數(shù)元件是一類只表示實(shí)際元器件中一種基本物理現(xiàn)象的元件。如果元件的集總參數(shù)值不隨和它有關(guān)的物理量變化,這樣的元件稱為線性元件。例如,線性電阻的阻值不隨流過它的電流以及兩端的電壓而變化,線性受控源的系數(shù)也不隨控制量和被控量變化等。

4.1.2線性電路方程的性質(zhì)

對于線性元件或線性電路而言,描述它們的方程是線性方程。在數(shù)學(xué)中,如果一個(gè)函數(shù)(方程)既滿足齊次性又滿足可加性,則稱該函數(shù)是線性函數(shù),齊次性和可加性也是線性函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)。

4.2疊加定理和齊性定理4.2.1疊加定理圖4-1所示電路有兩個(gè)獨(dú)立源共同激勵(lì),設(shè)3個(gè)響應(yīng)分別為i1、i2和u1并求解。圖4-1兩個(gè)獨(dú)立源激勵(lì)的電路

以i1、i2為變量列出電路的支路電流方程為

由克萊姆法則求解,得

圖4-2兩個(gè)獨(dú)立源分別作用的電路

由以上例子可以看出,當(dāng)線性電路中有多個(gè)獨(dú)立源共同作用(激勵(lì))時(shí),其響應(yīng)等于電路中每個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)響應(yīng)的代數(shù)和(線性組合);當(dāng)一個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí),其他所有的獨(dú)立源均置零(即電壓源短路,電流源開路)。這就是線性電路的疊加定理。一個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用,其他獨(dú)立源置零,實(shí)質(zhì)上是將原有的電路簡化了,可見疊加定理是通過許多簡化的電路間接求解復(fù)雜電路響應(yīng)的過程。

功率不滿足疊加定理,例如對圖4-1所示電路,則有

這是因?yàn)楣β实谋磉_(dá)式是非線性方程。

例4-1試用疊加定理求圖4-3(a)所示電路中的I和U。圖4-3例4-1圖

例4-2試用疊加定理求圖4-4(a)所示電路中的電壓u。圖4-4-例4-2圖

解兩個(gè)獨(dú)立源分別作用的電路如圖4-4(b)和圖4-4(c)所示。注意受控源應(yīng)保留在電路中,因?yàn)榭刂屏扛淖兞?所以受控源的被控量也要隨之改變。對于圖4-4(b)有

4.2.2齊性定理

由式(4-8)可知,當(dāng)有多個(gè)獨(dú)立源同時(shí)激勵(lì)時(shí),電路中的任一響應(yīng)(電壓或電流)等于所有獨(dú)立源單獨(dú)激勵(lì)時(shí)響應(yīng)的疊加。如果只有一個(gè)獨(dú)立源激勵(lì),即在式(4-8)中只保留一個(gè)獨(dú)立源,令其他獨(dú)立源均為零,則電路中的任一響應(yīng)為hkujuSj或hkipiSp。由此可見,若激勵(lì)增大或減小α

倍(α為實(shí)常數(shù)),則響應(yīng)也同樣增大或減小α倍,即響應(yīng)和激勵(lì)成正比。這就是線性電路的齊性定理。

另外,當(dāng)有多個(gè)獨(dú)立源激勵(lì)時(shí),由式(4-8)還可以看出,若所有激勵(lì)同時(shí)增大或縮小α倍,則響應(yīng)也增大或減小α倍,即滿足齊性定理。這里要注意的是激勵(lì)必須“同時(shí)”增大或減小α倍,響應(yīng)才能增大或減小α倍。

例4-3求圖4-5所示梯形電路中的電流i5。圖4-5例4-3圖

解對于這樣的純電阻電路,傳統(tǒng)的方法是通過電阻的串、并聯(lián)首先求出電流i1,然后通過逐步分流最后求出電流i5。如果利用齊性定理,先假設(shè)i'5=1A,然后逐步求出產(chǎn)生該電流所需的電源電壓,進(jìn)而可以求出電源變化的倍數(shù),最后求出實(shí)際的電流i5。由圖知

4.3替代定理

設(shè)圖4-6(a)是一個(gè)分解成N1和N2(均為一端口電路)的復(fù)雜電路,令連接端口處的電壓為uk,流過該端口的電流為ik。如果uk和ik為已知,則替代定理為:對于N1而言,可以用一個(gè)電壓等于uk的電壓源uS,或者用一個(gè)電流等于ik的電流源iS替代N2,替代后N1中的電壓和電流均保持不變,替代后的電路如圖4-6(b)和圖4-6(c)所示。同樣,對于N2而言,可以用uS=uk的電壓源或iS=ik的電流源替代N1,替代后N2中的電壓和電流均保持不變。

圖4-6替代定理

下面給出替代定理的證明。在兩個(gè)一端口的端子a、c之間反方向串聯(lián)兩個(gè)電壓源uS,如圖4-7(a)所示。如果令uS=uk,由KVL有ubd=0,說明b、d之間等電位,即可以將b、d兩點(diǎn)短接,結(jié)果就得到圖4-6(b)。如果在兩個(gè)一端口之間反方向并聯(lián)兩個(gè)電流源,如圖4-7(b)所示,并令iS=ik,再根據(jù)KCL就可以證明圖4-6(c)。

圖4-7替代定理的證明

圖4-8(a)所示電路是例4-1所求解的電路,應(yīng)用替代定理,用一個(gè)uS=U的電壓源替代a-b端口右邊的電路,如圖4-8(b)所示。已知uab=U=1V,可求出I=1/3A。圖4-8替代定理的應(yīng)用

4.4-戴維南定理和諾頓定理根據(jù)電路的基本分析方法,對于已知電路可以直接或間接地求出電路中的所有響應(yīng)。但是在實(shí)際問題中,電路中有一條特殊的支路(通常稱為負(fù)載支路),它的參數(shù)是變化的,而其他部分則固定不變。如交流電源插座上可以接不同的負(fù)載,而插座內(nèi)部電路相對固定;音頻功率放大器外部的負(fù)載(擴(kuò)音器)也是可以變化的,而功率放大器內(nèi)部則相對固圖4-9含源一端口以及外部電路定。為了避免對固定部分的重復(fù)計(jì)算,可以用戴維南或諾頓定理對固定不變的部分進(jìn)行等效簡化,使電路的分析簡化。這樣一類電路可以表示成圖4-9的形式。

圖4-9含源一端口以及外部電路

4.4.1戴維南定理

戴維南定理指出:一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口(含源一端口NS),對外電路或端口而言可以用一個(gè)電壓源和一個(gè)電阻的串聯(lián)來等效,該電壓源的電壓等于含源

一端口NS的開路電壓,其電阻等于將含源一端口內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后一端口的輸入電阻。

將圖4-9中的含源一端口NS開路,如圖4-10(a)所示,圖中uoc為它的開路電壓,圖4-10(b)是將圖4-10(a)內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后的無源一端口N0和它的等效電阻Req。根據(jù)戴維南定理,對于端口a-b而言,圖4-9中的NS可以等效成圖4-10(c)中所示的形式,即將NS等效成一個(gè)電壓源uoc和一個(gè)電阻Req的串聯(lián)。電壓源uoc和電阻Req的串聯(lián)電路稱為NS的戴維南等效電路,其中Req也稱為戴維南等效電阻。根據(jù)等效的概念,等效前后一端口a、b之間的電壓u和流過端點(diǎn)a、b上的電流i不變,即對外電路或負(fù)載電路來說等效前后的電壓、電流保持不變?？梢?這種等效稱為對外等效。

圖4-11戴維南定理的證明

例4-4-電路如圖4-12所示,已知uS=36V,iS=2A,R1=R2=10Ω,

R3=3Ω,R4=12Ω,求電路中的電流i4。圖4-12例4-4圖

圖4-13例4-4求解圖

例4-5求圖4-14(a)所示含源一端口的戴維南等效電路。圖4-14-例4-5圖

再由歐姆定律和分流公式,有

4.4.2諾頓定理

諾頓定理指出:一個(gè)含有獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口NS,對外電路或端口而言可以用一個(gè)電流源和一個(gè)電導(dǎo)(或電阻)的并聯(lián)來等效,該電流源的電流等于NS端口的短路電流,電導(dǎo)(或電阻)等于將該含源一端口內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后的端口輸入電導(dǎo)(或電阻)。

圖4-15諾頓定理

例4-6電路如圖4-16(a)所示,求諾頓等效電路和戴維南等效電路。

圖4-16例4-6圖

4.5特勒根定理

特勒根定理是電路理論中對集總參數(shù)電路普遍適用的一條基本定理。和基爾霍夫定理一樣,特勒根定理只與電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān),與構(gòu)成電路元件的性質(zhì)無關(guān)。特勒根定理有兩種表述形式。

特勒根定理1:對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,設(shè)各支路的電壓與電流分別為(u1,u2,…,ub)和(i1,i2,…,ib),且各支路電壓與電流的參考方向相關(guān)聯(lián),則在任何時(shí)刻t,對于所有支路有

證明設(shè)一個(gè)具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)6條支路的有向圖如圖4-17所示。圖4-17特勒根定理的證明

特勒根定理1說明:對于任意電路,在任意時(shí)刻t,所有支路功率的代數(shù)和為零。因?yàn)樵摱ɡ淼囊罁?jù)僅僅是電路(網(wǎng)絡(luò))的拓?fù)浼s束(KCL和KVL),和構(gòu)成支路元件的性質(zhì)無關(guān),所以該定理對于由線性、非線性、時(shí)不變以及時(shí)變等元件構(gòu)成的集總參數(shù)電路(網(wǎng)絡(luò))都適用。

定理2說明:在兩個(gè)具有相同拓?fù)涞碾娐?網(wǎng)絡(luò))中,一個(gè)電路的支路電壓與另一電路對應(yīng)支路電流乘積的代數(shù)和為零,或者是同一電路在不同時(shí)刻所有支路電壓與其支路電流乘積的代數(shù)和為零。因?yàn)槭莾蓚€(gè)支路元件不同的電路,所以該定理不能用功率守恒來解釋,但式(4-15)和式(4-16)仍然具有功率的量綱,所以定理2又被稱為“似功率定理”。

例4-7設(shè)有兩個(gè)相同的且僅由電阻構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)N0,已知它們的外部接有電阻和電源元件,并獲得部分響應(yīng)數(shù)據(jù),外部元件的連接關(guān)系與響應(yīng)結(jié)果數(shù)據(jù)如圖4-18(a)和(b)所示,根據(jù)特勒根定理試求圖4-18(b)中的電壓U。圖4-18例4-7圖

解可以將圖4-18(b)中的有伴電流源看成一條支路,則圖4-18(a)和(b)就具有相同的拓?fù)?。設(shè)圖4-18(a)為網(wǎng)絡(luò)N,圖4-18(b)為網(wǎng)絡(luò)N^,并令網(wǎng)絡(luò)N0外部的支路分別為支路1和2,N0內(nèi)部的支路編號為3~b,則它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖分別如圖4-19(a)和(b)

所示。

注意:在應(yīng)用特勒根定理時(shí),各對應(yīng)支路電壓和電流的參考方向一定要關(guān)聯(lián),如果非關(guān)聯(lián),則相應(yīng)乘積項(xiàng)的前面應(yīng)加一負(fù)號。

4.6互易定理

圖4-20互易定理形式1

圖4-22互易定理形式3

需要注意的是,在應(yīng)用互易定理時(shí),電路中只能有一個(gè)獨(dú)立源激勵(lì),N0僅為電阻網(wǎng)絡(luò),若其中含有受控源,一般情況下互易定理不成立,同時(shí)要注意激勵(lì)源與響應(yīng)的參考方向。

例4-8求圖4-23(a)所示電路中的電壓u。圖4-23例4-8

4.7最大功率傳輸條件

電路有兩大基本功能,一是傳遞和處理信息,二是傳輸和轉(zhuǎn)換能量。就能量而言,人們關(guān)心的是能量傳輸和轉(zhuǎn)換的方式以及傳輸和轉(zhuǎn)換的大小。例如,當(dāng)含源一端口外接負(fù)載時(shí),關(guān)心的問題之一是含源一端口能將多大的功率傳輸給負(fù)載。一般來說