對坐標(biāo)的曲面積分

第11.5節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影二、第二型〔對坐標(biāo)的〕曲面積分的概念與性質(zhì)三、第二型〔對坐標(biāo)的〕曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系第二型〔對坐標(biāo)的〕曲面積分

第十一章1精選課件一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)2精選課件其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為那么規(guī)定類似可規(guī)定3精選課件二、第二型〔對坐標(biāo)的〕曲面積分的概念與性質(zhì)1.引例設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時(shí)間流過有向曲面的流量.分析:假設(shè)是面積為S的平面,那么流量法向量:

流速為常向量:

4精選課件對一般的有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限〞對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得,那么5精選課件設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二型曲面積分.以下極限都存在向量場假設(shè)對的任則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義.6精選課件引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;假設(shè)記正側(cè)的單位法向量為令那么對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式7精選課件3.性質(zhì)(1)假設(shè)之間無公共內(nèi)點(diǎn),那么(2)用ˉ表示的反向曲面,那么8精選課件三、第二型〔對坐標(biāo)的〕曲面積分的計(jì)算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),那么證:∵取上側(cè),9精選課件?假設(shè)那么有?假設(shè)那么有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面取下側(cè),那么10精選課件例1.

計(jì)算其中是以原點(diǎn)為中心,邊長為

a

的正立方體的整個(gè)外表的外側(cè).解:

利用對稱性.原式

的頂部取上側(cè)

的底部取下側(cè)11精選課件解:把分為上下兩局部根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計(jì)算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第五卦限局部.12精選課件13精選課件例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:14精選課件四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫15精選課件令向量形式四、兩類曲面積分的聯(lián)系16精選課件例4.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:17精選課件例5.

計(jì)算曲面積分其中

解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)