第四章 平面勢流(4.5~4.9)

《高等流體力學(xué)》電子課件上海電力學(xué)院能源與環(huán)境工程學(xué)院工程熱物理學(xué)科§4.5布拉修斯公式一、傳統(tǒng)的圓柱受力計(jì)算方法壓強(qiáng)積分方法從復(fù)位勢求出柱體表面速度分布再利用伯努利方程求出柱體表面壓強(qiáng)分布；沿柱面作積分求出表面力合力?！?.5布拉修斯公式二、布拉修斯公式一種利用復(fù)變函數(shù)方法計(jì)算柱體所受作用力和力矩的方法。1.問題描述設(shè)定常均勻來流繞流任意形狀的柱體（界面用Ci表示），周圍流體對柱體的作用力可簡化為作用在柱體重心的力X、Y以及力矩M（取xoy坐標(biāo)原點(diǎn)在柱體質(zhì)心）?！?.5布拉修斯公式二、布拉修斯公式2.柱體受力分析取任意形狀封閉曲面C0包圍柱體，以C0，Ci

間的空間為控制體，控制體內(nèi)的流體受到C0外流體的壓強(qiáng)p的作用，同時受到柱體的反作用力－X，－Y，以及反力矩－M的作用。對控制體應(yīng)用動量定理,§4.5布拉修斯公式二、布拉修斯公式2.柱體受力分析動量方程的分量形式:伯努利方程:§4.5布拉修斯公式二、布拉修斯公式3.布拉修斯公式由復(fù)速度構(gòu)造一個積分，布拉修斯公式:§4.5布拉修斯公式二、布拉修斯公式4.布拉修斯合力矩公式對控制體應(yīng)用動量矩定理,§4.5布拉修斯公式二、布拉修斯公式4.布拉修斯合力矩公式由復(fù)速度構(gòu)造一個積分，布拉修斯合力矩公式:Re表達(dá)取復(fù)變數(shù)的實(shí)部§4.5布拉修斯公式三、作用在圓柱上的力和力矩1.羅倫級數(shù)如F(z)在環(huán)形域處處解析，該環(huán)形域中心在點(diǎn)，那么F(z)可用級數(shù)表示為

上述級數(shù)稱羅倫級數(shù)?！?.5布拉修斯公式三、作用在圓柱上的力和力矩2.留數(shù)定理一個函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù)就是該函數(shù)對于的羅倫級數(shù)項(xiàng)的系數(shù)。如G(z)在曲線C內(nèi)的區(qū)域中除有限個奇點(diǎn)外解析，則:式中是F(z)在點(diǎn)的留數(shù)，是F(z)在點(diǎn)的留數(shù)…….§4.5布拉修斯公式三、作用在圓柱上的力和力矩2.留數(shù)定理一個函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù)就是該函數(shù)對于的羅倫級數(shù)項(xiàng)的系數(shù)。如G(z)在曲線C內(nèi)的區(qū)域中除有限個奇點(diǎn)外解析，則:式中是F(z)在點(diǎn)的留數(shù)，是F(z)在點(diǎn)的留數(shù)…….§4.5布拉修斯公式三、作用在圓柱上的力和力矩3.作用在圓柱上的力定常均勻來流繞流圓柱，圓柱半徑為a，來流速度為U，繞圓柱環(huán)量為Γ（順時針），則布拉修斯公式:§4.5布拉修斯公式三、作用在圓柱上的力和力矩3.作用在圓柱上的力函數(shù)W2

在Co

內(nèi)

的奇點(diǎn)只有一個，z=0點(diǎn)，即點(diǎn)渦和偶極子的所在點(diǎn)。在z＝0點(diǎn)的留數(shù)為，作用在圓柱上的力:由上式可見:(1)在x方向的阻力為零，

(2)升力等于環(huán)量Γ與來流速度U和流體密度ρ的乘積，Y=ρUΓ(3)負(fù)方向的環(huán)量產(chǎn)生向上的升力。該公式稱為庫塔－儒科夫斯基公式

(4)Γ＝0時Y＝0，無環(huán)量繞流無升力。§4.5布拉修斯公式三、作用在圓柱上的力和力矩4.作用在圓柱上的力矩定常均勻來流繞流圓柱，圓柱半徑為a，來流速度為U，繞圓柱環(huán)量為Γ（順時針），則布拉修斯力矩公式:三、作用在圓柱上的力和力矩4.作用在圓柱上的力矩函數(shù)zW2

在Co

內(nèi)

的奇點(diǎn)只有一個，z=0點(diǎn)，即點(diǎn)渦和偶極子的所在點(diǎn)。在z＝0點(diǎn)的留數(shù)為，作用在圓柱上的力:由上式可見:沒有力矩作用在圓柱上?！?.5布拉修斯公式§4.6鏡像法

理想不可壓縮流體的固體壁面條件：不可穿透的壁面條件，即是一條流線，該條件可通過鏡像法實(shí)現(xiàn)。如圖所示平壁附近圓柱繞流，由于壁面的存在，這種繞流即不是無環(huán)量圓柱繞流，也不是有環(huán)量圓柱繞流，但在平壁下部對稱位置上再放置一個相同圓柱，則平壁就可以用一根流線代替，此時的流動可用圓柱及其鏡像的復(fù)位勢代替?！?.6鏡像法

假設(shè)奇點(diǎn)全在的上半平面內(nèi)，當(dāng)無物體邊界時，其復(fù)速度勢為，當(dāng)實(shí)軸為邊界時，這些奇點(diǎn)在上半平面產(chǎn)生的復(fù)位勢為式中表示除外其余復(fù)常數(shù)均取其共軛值。一、平面定理——以實(shí)軸為邊界§4.6鏡像法

證明：實(shí)軸上，實(shí)軸上的復(fù)位勢，實(shí)軸上的復(fù)位勢只有實(shí)部，虛部為零，即結(jié)論：實(shí)軸為零流線，相當(dāng)于固體壁面；的奇點(diǎn)，沒有增加實(shí)軸另一側(cè)的奇點(diǎn)。是滿足實(shí)軸為邊界的復(fù)位勢。一、平面定理——以實(shí)軸為邊界§4.6鏡像法

一、平面定理——以實(shí)軸為邊界點(diǎn)渦復(fù)位勢：1.平壁上的點(diǎn)渦平壁上點(diǎn)渦的復(fù)位勢：相當(dāng)于在點(diǎn)渦之外,又附加了一個鏡像點(diǎn)上相同強(qiáng)度的反向點(diǎn)渦?！?.6鏡像法

一、平面定理——以實(shí)軸為邊界2.渠道中的圓柱繞流在真實(shí)的圓柱的每一側(cè)都添加無限多的鏡像圓柱?！?.6鏡像法

二、平面定理——以虛軸為邊界假設(shè)奇點(diǎn)全在的右半平面內(nèi)，當(dāng)無物體邊界時，其復(fù)速度勢為，當(dāng)虛軸為邊界時，這些奇點(diǎn)在右半平面產(chǎn)生的復(fù)位勢為§4.6鏡像法

證明：虛軸上，虛軸上的復(fù)位勢，虛軸上的復(fù)位勢只有實(shí)部，虛部為零，即結(jié)論：虛軸為零流線，相當(dāng)于固體壁面；的奇點(diǎn)，沒有增加虛軸另一側(cè)的奇點(diǎn)。是滿足虛軸為邊界的復(fù)位勢。二、平面定理——以虛軸為邊界§4.6鏡像法

二、平面定理——以虛軸為邊界點(diǎn)渦復(fù)位勢：1.平壁上的點(diǎn)渦平壁上點(diǎn)渦的復(fù)位勢：相當(dāng)于在點(diǎn)渦之外,又附加了一個鏡像點(diǎn)上相同強(qiáng)度的反向點(diǎn)渦。三、圓定理設(shè)在無界流體中的復(fù)位勢為，其所有奇點(diǎn)都在圓外，當(dāng)在流場中有一個圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓柱時，滿足圓柱面是條流線的復(fù)位勢為：在圓上所以實(shí)數(shù)，即圓周是一條流線。

奇點(diǎn)位置，全在圓外，其鏡像點(diǎn)位置，全在圓內(nèi)，圓外未增加奇點(diǎn)。證明:§4.6鏡像法三、圓定理應(yīng)用一:(1)水平來流圓柱無環(huán)量繞流復(fù)速度勢：§4.6鏡像法(2)斜流圓柱無環(huán)量繞流(見書)(3)斜流圓柱有環(huán)量繞流(見書)三、圓定理應(yīng)用二：點(diǎn)渦附近有一個圓柱復(fù)速度勢：§4.6鏡像法設(shè)在點(diǎn)有一強(qiáng)度為的逆時針點(diǎn)渦，§4.7保角變換一、平面間的映射復(fù)變量是的解析函數(shù),即平面上的點(diǎn)或曲線，在平面上就會有相應(yīng)的點(diǎn)或曲線與之對應(yīng)。函數(shù)把平面上的點(diǎn)或曲線映射到平面的某區(qū)域上去?！?.7保角變換二、保角變換如果函數(shù)在平面處處解析，且則的值與增量的方向無關(guān)，而只是點(diǎn)的函數(shù)。設(shè),或，則上式中，只應(yīng)是點(diǎn)的函數(shù)。經(jīng)過變換以后,平面上的線元，變換成平面相應(yīng)線元角度：相對于旋轉(zhuǎn)了相對于長度：§4.7保角變換二、保角變換由于只是的函數(shù)，過同一點(diǎn)的所有曲線伸長了同樣的倍數(shù)和旋轉(zhuǎn)了同樣的角度，且旋轉(zhuǎn)方向相同，于是過同一點(diǎn)的任意兩條曲線之間的夾角在變換后保持不變，這種映射稱為保角變換。同理，上的微元面和的相應(yīng)微元面，也應(yīng)保持保角性和幾何相似性?！?.7保角變換三、復(fù)位勢的變換是平面某區(qū)域的復(fù)位勢，是解析函數(shù)。平面上的流線和等勢線，變換到平面的流線和等勢線，且仍然保持垂直?！?.7保角變換四、復(fù)速度的變換經(jīng)變換后，平面上的復(fù)速度大小和方向都改變了，大小被放大了倍?！?.7保角變換五、封閉曲線上速度環(huán)量和體積流量的保角變換平面上沿的速度環(huán)量和穿過它的體積流量等于平面上相應(yīng)曲線上的相應(yīng)之值。、是平面上和平面上相對應(yīng)的曲線，§4.7保角變換六、同點(diǎn)上點(diǎn)源、點(diǎn)渦的保角變換平面上點(diǎn)有強(qiáng)度為的點(diǎn)源和強(qiáng)度為的點(diǎn)渦，復(fù)位勢：若不為零或無限大，則，點(diǎn)源和點(diǎn)渦經(jīng)變換后仍保持為同強(qiáng)度的點(diǎn)源和點(diǎn)渦。§4.7保角變換七、偶極子的保角變換由于點(diǎn)源和點(diǎn)匯經(jīng)變換后仍保持為同強(qiáng)度的點(diǎn)源和點(diǎn)匯，但點(diǎn)源和點(diǎn)匯間的距離會被放大倍，所以偶極子經(jīng)變換后強(qiáng)度也被放大，且方向也發(fā)生變化?！?.7保角變換八、保角變換的應(yīng)用保角變換的基本思想：把物理平面上比較復(fù)雜的外形變換成輔助平面上簡單的外形，而這些簡單外形的流動復(fù)位勢是已知的，再經(jīng)過反變換就可求得物理平面上相應(yīng)復(fù)雜流動問題的復(fù)位勢。如：（1）可以把平面的角形區(qū)域變換為平面的上半平面，角形域的兩條邊變換成了平面的實(shí)軸。（2）茹柯夫斯基變換（3）施瓦茲-克里斯托弗爾變換§4.8茹柯夫斯基變換（為正實(shí)數(shù)）在無窮遠(yuǎn)處物理平面和映射平面上的復(fù)速度相同，速度的大小和夾角都相等。一、茹柯夫斯基變換在無窮遠(yuǎn)處茹柯夫斯基變換是恒等變換1.茹柯夫斯基變換或2.茹柯夫斯基變換的重要特性§4.8茹柯夫斯基變換3.奇點(diǎn)的存在是奇點(diǎn)。該點(diǎn)通常位于物體內(nèi)部，對研究物體外流動無影響。一、茹柯夫斯基變換§4.8茹柯夫斯基變換4.失效點(diǎn)的存在時稱臨界點(diǎn)(criticalpoints)，在臨界點(diǎn)變換不保角。一、茹柯夫斯基變換§4.8茹柯夫斯基變換5.失效點(diǎn)舉例一、茹柯夫斯基變換在上述變換中，圓變換為線段，圓外區(qū)域變換為整個平面，圓內(nèi)區(qū)域也變換為整個平面，因此變換是雙值的。平面上圓心在原點(diǎn)，半徑為c的圓變換為z平面實(shí)軸上的線段。在處的光滑曲線，變換后的保角性被破壞了。平面上的圓：變換到平面上：變換后的結(jié)果：證明：圓外點(diǎn)和圓內(nèi)點(diǎn)對應(yīng)于平面同一點(diǎn)。實(shí)際流動中，圓內(nèi)區(qū)域在物體內(nèi)部，雙值性對研究物體外流場不造成理論上的困難?！?.8茹柯夫斯基變換二、橢圓繞流橢圓半長軸，半短軸，長軸沿x

軸，短軸沿Y軸。茹柯夫斯基變換平面內(nèi)圓方程，§4.8茹柯夫斯基變換二、橢圓繞流設(shè)平面內(nèi)均勻來流速度為U，相對于橢圓主軸攻角為。因?yàn)樵跓o窮遠(yuǎn)處茹柯夫斯基變換是恒等變換，可知平面內(nèi)無窮遠(yuǎn)處的相應(yīng)速度也為U，攻角也為。Z§4.8茹柯夫斯基變換二、橢圓繞流在平面原點(diǎn)放置圓柱，根據(jù)圓周定理可得繞流圓柱復(fù)位勢，平面均勻來流復(fù)勢，§4.8茹柯夫斯基變換二、橢圓繞流第一部分為均勻來流復(fù)位勢；第二部分為由于橢圓引起的擾動流的復(fù)位勢，在物面附近時影響顯著，當(dāng)時趨于零。為滿足，，根號前取“+”，平面橢圓繞流復(fù)位勢，§4.8茹柯夫斯基變換二、橢圓繞流兩個特例和?！?.8茹柯夫斯基變換二、橢圓繞流駐點(diǎn)為平面橢圓繞流駐點(diǎn)，平面圓柱繞流駐點(diǎn)§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件注意：當(dāng)平面圓半徑為時，變換為平面一橢圓。

平面平面當(dāng)平面圓半徑為時，變換為平面實(shí)軸上的一段線段。1.平板繞流的茹柯夫斯基變換§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件2.平板繞流的復(fù)位勢平面,平面,U3.平板繞流的駐點(diǎn)§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件4.庫塔條件上述平板機(jī)翼繞流中，前駐點(diǎn)位于平板下表面，而后駐點(diǎn)則位于平板上表面。在平板的前沿和后沿，出現(xiàn)了大于角的繞流，由繞角流動一節(jié)分析知，流體繞過平板的前后緣時速度無窮大，壓強(qiáng)負(fù)無窮大，這在物理上是不可能的。實(shí)際機(jī)翼的前沿設(shè)計(jì)為有限厚度，具有一定的曲率，因此在機(jī)翼前沿實(shí)際速度是有限的。后沿通常是尖的。要回避機(jī)翼尖后沿出現(xiàn)速度無窮大的不實(shí)際流動狀況，可以設(shè)想圍繞機(jī)翼有一順時針方向旋轉(zhuǎn)的環(huán)量，環(huán)量大小正好把后駐點(diǎn)移至后沿，與尖角點(diǎn)重合。庫塔條件：具有尖后沿的機(jī)翼在小攻角來流繞流條件下，流體會自動調(diào)整使后駐點(diǎn)與后緣尖角點(diǎn)重合?！?.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件5.啟動渦設(shè)機(jī)翼突然起動速度很快達(dá)到（從機(jī)翼上看，相當(dāng)于突然有無窮遠(yuǎn)來流繞過機(jī)翼），此時是無環(huán)量繞流（見圖A），在機(jī)翼的后沿點(diǎn)A流動速度很大，壓強(qiáng)則很低。顯然當(dāng)機(jī)翼下面的流體繞過A點(diǎn)流向后駐點(diǎn)B時，流動是由低壓區(qū)流向高壓區(qū)，因此流體將與物面分離，產(chǎn)生如圖B所示的逆時針方向旋轉(zhuǎn)的渦。該渦是不穩(wěn)定的，旋渦將在尾部脫落（如圖B），隨流體一起向下游運(yùn)動。稱流向下游的渦為起動渦。圖B圖A§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件6.附著渦設(shè)想在流場中作足夠大的封閉流體線，包圍機(jī)翼和剝落的旋渦。由開爾文定理，在啟動前，此流體線上環(huán)量為零，則此流體線上的環(huán)量將始終保持為零。當(dāng)有逆時針方向旋轉(zhuǎn)的渦剝落時，在機(jī)翼上必然同時產(chǎn)生一個強(qiáng)度相等方向相反的渦，使機(jī)翼成為有負(fù)環(huán)量的無旋流動。正是由于這個原因，后駐點(diǎn)B將向后緣點(diǎn)移動。在B點(diǎn)達(dá)到后緣點(diǎn)A前，上述過程將繼續(xù)進(jìn)行，即不斷有反時針旋渦流向下游，繞機(jī)翼的渦強(qiáng)度不斷增大，直至后駐點(diǎn)移到后緣點(diǎn)為止，這時上下兩股流體在機(jī)翼后緣匯合。稱附著在機(jī)翼上的渦為附著渦。§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件7.繞機(jī)翼環(huán)量的確定用庫塔條件可確定繞機(jī)翼環(huán)量的強(qiáng)度。復(fù)位勢：當(dāng)平面內(nèi)平板繞流的后駐點(diǎn)與平板后緣角點(diǎn)重合時，則平面圓柱繞流的后駐點(diǎn)則應(yīng)在圓柱后緣點(diǎn)，即的點(diǎn)。速度為、攻角為的均勻來流繞流圓柱，且圍繞圓柱有強(qiáng)度為的順時針方向旋轉(zhuǎn)的環(huán)量時，復(fù)速度：§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件7.繞機(jī)翼環(huán)量的確定圓柱表面駐點(diǎn)§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件7.繞機(jī)翼環(huán)量的確定U§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件8.繞機(jī)翼環(huán)量的復(fù)位勢將代入上述圓柱有環(huán)量繞流復(fù)勢可得當(dāng)后駐點(diǎn)在平板后沿角點(diǎn)時的復(fù)位勢，§4.8茹柯夫斯基變換三、平板繞流和庫塔條件9.繞機(jī)翼環(huán)量的升力上式與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果吻合，說明庫塔條件是正確的。上式中，為平板機(jī)翼弦長。在小攻角條件下，升力系數(shù)，由布拉休斯公式和庫塔—茹柯夫斯基定理，§4.9茹柯夫斯基翼型一、對稱茹柯夫斯基翼型2.當(dāng)時，平面翼型將退化為實(shí)軸上的一條線段，因此當(dāng)時，平面將是一個很薄的翼型，推論可知，控制著翼型的厚度。經(jīng)過茹柯夫斯基變換后:1.平面的翼型將是前沿圓滑，后沿為尖角，且關(guān)于實(shí)軸對稱，平面圓半徑為，圓心在點(diǎn)，圓半徑§4.9茹柯夫斯基翼型一、對稱茹柯夫斯基翼型以上公式是在假設(shè)，忽略的2階以上無窮小項(xiàng)時得到的。翼型表面方程，翼型的特征幾何尺寸厚度，弦長l,與平面相關(guān)幾何尺寸的關(guān)系如下,§4.9茹柯夫斯基翼型二、圓弧翼型由茹柯夫斯基變換性質(zhì)知，平面點(diǎn)將分別對應(yīng)于平面的，且平面上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的夾角是平面上相應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)連線夾角的兩倍。ζ平面圓心在ζ=im.設(shè)平面實(shí)軸下部圓弧上的一點(diǎn)映射為平面實(shí)軸以下半平面內(nèi)的點(diǎn)，則該點(diǎn)與連線夾角應(yīng)為，為常數(shù)，可見平面下部此段圓弧變換為平面上的同一段圓弧。設(shè)平面實(shí)軸上部圓弧上的一點(diǎn)映射為平面實(shí)軸以上半平面內(nèi)的點(diǎn)，則與連線夾角應(yīng)為，為常數(shù)，因此平面上部該段圓弧變換為平面上的一段圓弧?！?.9茹柯夫斯基翼型二、圓弧翼型圓弧機(jī)翼弦長，圓弧機(jī)翼彎度，平面圓的偏心距控制著圓弧機(jī)翼的彎度。圓弧半徑，hZ§4.9茹柯夫斯基翼型二、圓弧翼型圓弧圓心坐標(biāo)，圓弧方程，h§4.9茹柯夫斯基翼型平面偏心圓圓心在第二象限，偏心距為m，與x軸夾角為δ，由于存在負(fù)實(shí)軸方向的位移m

cosδ

和正虛軸方向的位移msinδ，可以想到z平面機(jī)翼應(yīng)既有厚度，又有彎度，為使翼型后沿為角點(diǎn)，偏心圓應(yīng)通過＝c

點(diǎn)。Z平面機(jī)翼的特征尺寸有弦長l，最大厚度t，最大彎度h。三、茹柯夫斯基翼型§4.9茹柯夫斯基翼型三、茹柯夫斯基翼型Z

平面翼型中心線是中心在y

軸的一段圓弧，上下表面可通過在圓弧方程上加減厚度影響而得出，圓弧翼型對稱翼型§4.9茹柯夫斯基翼型上式中是均勻來流的攻角使翼型后沿成為后駐點(diǎn)所需的順時針方向的環(huán)量值，U1、對稱翼型繞流的環(huán)量四、茹柯夫斯基翼型的復(fù)位勢§4.9茹柯夫斯基翼型考慮圓心坐標(biāo)由原點(diǎn)移到，因此復(fù)位勢計(jì)算式中應(yīng)以代替。以代入可得到z平面的相應(yīng)復(fù)位勢。式中2、對稱翼型繞流的復(fù)位勢四、茹柯夫斯基翼型的復(fù)位勢§4.9茹柯夫斯基翼型圓柱的無環(huán)量繞流，如果來流的攻角為，則平面駐點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)，B點(diǎn)速度,,方向沿逆時針方向。如果讓平面圓弧翼型的后沿點(diǎn)成為駐點(diǎn)，則平面相應(yīng)駐點(diǎn)應(yīng)移至B點(diǎn)，即點(diǎn)，于是順時針方向旋轉(zhuǎn)的環(huán)量可確定為下：3、圓弧翼型繞流的環(huán)量四、茹柯夫斯基翼型的復(fù)位勢§4.9茹柯夫斯基翼型以代入上式即得到平面繞流圓弧翼型的復(fù)位勢。