塊體彈簧元法在水墊塘反拱底板穩(wěn)定性分析中的應用

塊體彈簧元法在水墊塘反拱底板穩(wěn)定性分析中的應用

在河谷地區(qū)修建的高壩，如二郎、西灣、小灣、構皮灘、拉西瓦、錦屏等，采用水庫和深孔聯(lián)合排水的配置形式，水庫后面配置了兩座水庫，形成了一個水貸款池，下水泵的能量集中在貸款池中的消減帶上。泄洪水流落入下游水墊塘后,具有相當大的動能,產(chǎn)生巨大的時均和脈動荷載。為了增加水墊塘的整體抗沖能力,常需要對水墊塘進行全面的混凝土襯砌防護。水墊塘的混凝土底板襯砌防護形式主要有兩種:其一是梯形復式斷面水墊塘防護型式,其二是反拱形水墊塘防護型式。根據(jù)已有研究成果,反拱形底板的穩(wěn)定性大大優(yōu)于平底板,在相同運行工況下,反拱形底板安全系數(shù)可達平底板2～3倍,表明反拱形底板是解決高拱壩大流量泄洪消能問題的有效措施。反拱底板是一個拱殼形結構,因考慮施工、溫度、不均勻沉降等,每隔10m～20m設橫、縱縫,在隨機動水荷載作用下可能形成“隨機拱”結構。底板塊和塊之間并非是連續(xù)的整體,而是靠壓力和摩擦力來保證其整體性的,因而,整個拱圈并非結構力學上的拱。盡管國內(nèi)外學者對反拱底板的穩(wěn)定性是進行了一系列的研究,提出了一些判斷失穩(wěn)的條件,但在處理反拱底板的結構形式時,這些研究大都將底板近似視為三鉸拱,二鉸拱或無鉸拱。而這些力學模型不能很好地反映反拱底板的受力特點和失穩(wěn)機制,不能精確分析反拱形底板板塊\_錨固\_拱端\_動水荷載的相互作用機制,因而急需找到一種能夠全面反映水墊塘反拱底板受力特點和失穩(wěn)機制有效的數(shù)學模型。本文首次建立用于分析水墊塘反拱底板穩(wěn)定的塊體彈簧元的數(shù)學模型,以便為工程設計提供更科學的依據(jù)。1成為“上抬”的“拱座”反拱底板的破壞形式包括兩種:其一是反拱底板的整體失穩(wěn)——當反拱底板在水動力荷載作用形成整體上抬時,整體上舉力超過“拱座”的抗力時產(chǎn)生的失穩(wěn),如圖1a所示;其二是反拱底板的局部失穩(wěn)——當反拱底板在隨機水動力荷載作用下,部分塊體“上抬”、部分塊體“下壓”,“下壓”的塊體成為“上抬”的“拱座”,即塊與塊之間形成“隨機拱”,如圖1b所示。當塊體A承受的上舉力超過相鄰塊體提供“拱座”抗力作用,形成局部失穩(wěn)。在隨機荷載作用下,反拱底板塊體間可能在不同時刻互為“拱座”,塊體的穩(wěn)定主要依靠塊體的自重、摩擦力、錨固力。平底板的錨固力只能為自身塊體提供抗“上抬”的作用,而反拱底板的錨固力不但能為自身塊體提供抗“上抬”的作用,還能通過“抗剪”作用為鄰塊體提供“拱座”抗力。按照結構力學中拱結構的形式對其進行穩(wěn)定分析,即便只是計算拱端推力,也是不精確的。而精確分析解決反拱底板塊體之間,塊體與基巖之間,整個底板與拱座之間復雜的作用,結構力學中拱結構形式是無能為力。前人曾用有限元對反拱底板進行過分析,但是,有限元適用的是內(nèi)力和位移連續(xù)的結構體,而由于板塊體間縫隙的存在,整個拱圈不是一個內(nèi)力和位移連續(xù)的整體,而是一種塊體系。塊體彈簧元這種非連續(xù)介質數(shù)值方法就適用于分析這種結構體系。2彈簧剛度的計算方法塊體彈簧元的基本構思是將離散的塊體單元的變形累積反映在單元交界面上設置的彈簧上,由于塊體元的變形已經(jīng)用彈簧變形表示,故其位移呈剛性位移模式,而彈簧的變形由相臨單元相對位移的差分格式解得。該模型采用虛功原理為理論依據(jù),建立整體支配方程,從而獲得各塊體(形心)的位移,單元交界面的相對位移和接觸力(彈簧力)。本力學模型可描述不連續(xù)位移,單元可為任何形狀,適用性強,應力精度不低于相對位移精度。建立數(shù)值模型的基本思想類似于有限元,即將結構物視為由有限個劃分的塊體組成的整體,以塊體的位移作為基本未知量進行求解。本模型的基本過程也類似有限元,步驟如下:即用結構上存在的縫隙、節(jié)理、軟弱層等使結構非連續(xù)化的幾何條件將結構劃分為塊體,也可人為劃分。塊體和塊體之間根據(jù)接觸方式的不同在邊界上設置不同的彈簧,彈簧就類似于有限元中的節(jié)點,彈簧連接相臨的塊體。結構離散化時,劃分單元的大小和數(shù)目一要根據(jù)結構上實際情況,也要根據(jù)計算精度的要求來決定。即導出單元間接觸力和單元位移的關系。這一步驟與有限元不同。有限元中導出的是單元的結點位移和結點力之間的關系,這種關系是一個單元內(nèi)部的關系。而彈簧元塊體上的接觸力不僅與該塊體本身的位移有關,還與所有與其接觸的所有塊體的位移有關。按照靜力等效原則將塊上的接觸力簡化到塊的中心,可以得出一個塊體類單元剛度矩陣。將各個塊體組成的塊體系進行整體分析。其目的是導出整個塊體系位移與接觸力的關系。首先按一定的集成規(guī)則,將塊體剛度矩陣形成整體剛度矩陣,并將單元等效外荷載,結構的位移邊界條件引入到整體平衡方程組中,得出基本未知量—塊單元位移列陣,最后計算各個塊體的之間的接觸力、內(nèi)力和變形。以下按照上述步驟建立拉西瓦反拱形底板彈簧元數(shù)值模型。2.1維接觸剛度和位移底板塊體系由分縫分隔成的塊體組成,塊體是剛性的,即塊體的變形集中反映在連接塊體的彈簧上。見圖2,塊和塊之間由接觸面兩端假設的法向和剪向彈簧連接,接觸剛度由塊體物理參數(shù)確定;底板與基巖也由法向和剪向彈簧連接,壓時接觸剛度由地板塊和基巖物理參數(shù)確定,拉時由錨固鋼筋物理參數(shù)確定。在二維的情況下,每一個塊有三個自由度。在每一個塊的中心,只定義有三個位移量,即在塊i上定義X軸上的位移Ui,以同X軸方向一致為正;在Y軸上的位移Vi,與Y軸正方向一致為正;轉角θi,以逆時針為正。2.2塊體的位移i在二維彈簧元體系中,所有的塊體由彈簧連接,接觸面上的接觸力都等效地轉移到接觸線的兩端的接觸點處即彈簧所在處。接觸剛度就由接觸點上的法向和剪向彈簧剛度來確定。塊體i上任意一點Q的位移記為ui(Q),vi(Q),塊體i中心的位移記為Ui,Vi,θi。Q點的位移{u}i視為由兩部分組成:隨塊的平移產(chǎn)生的位移{u′}i和隨塊的旋轉產(chǎn)生的位移{u″}i,則:{u}i={u′}i+{u″}i(1)塊i上的任意一點Q的位移可表示為:{u}i=[B]i{U}i?(2)其中[B]i=[10-ˉyi01ˉxi];{U}i={UiViθi}?ˉxi,ˉyi是Q點相對于塊i中心的相對坐標。在塊i和塊j的任意接觸點Q,相對位移{Δu}ij={u}j-{u}i=[B]j{U}j-[B]i{U}i=[D]ij{U}ij(3)其中,[D]ij=[-10ˉyi10-ˉyj0-1-ˉxi01ˉxj]{U}ij=[Ui,Vi,θi,Uj,Vj,θj]Τ2.3接觸剛度公式有了接觸點的相對位移及接觸剛度,就可以得出接觸點的接觸力。接觸力包括剪向力和法向力。在塊和塊的接觸點Q,接觸力記為:法向力Fn,剪向力Fs,接觸力:{Fn}ij={FnFs}=[Κn00Κs]{δ}ij=[Κ]ij[Τ]i[D]ij{U}ij(4)其中,[Κ]ij=[Κn00Κs],Κn,Κs分別是塊體間的法向、剪向接觸剛度。接觸剛度可以使用Kawai的剛度公式。有錨固情況下根據(jù)鋼筋的材料特性和錨固鋼筋面積求接觸剛度。{δ}ij=[T]i{Δu}ij=[T]i[D]ij{U}ij,是接觸點相對位移在接觸面法向和剪向的分量。其中[Τ]i=[cosαisinαi-sinαicosαi]?αi是接觸點法向方向(向外)與x軸正方向所成的角度。再通過[Bi]T[T]Ti將接觸力轉到塊i的中心,除了x軸,y軸上的兩個力,又多了一個力矩Mc{Fc}ij=[Bi]Τ[Τ]Τi[Κ]ij[Τ]i[D]ij{U}ij(5)2.4靜態(tài)平衡狀態(tài)所有的塊體組成的體系在內(nèi)、外力的共同作用下處于靜態(tài)的平衡狀態(tài)。在這里內(nèi)力指塊與塊之間的接觸力,外力指塊體系外部的作用力如重力,動水壓力,浮力等。2.4.1階矩陣法對于塊i來說,假設與塊j\,塊k、塊m……等接觸,則轉至中心的接觸力有{Fc}ij,{Fc}ik,{Fc}im\:\:,這些力的和{Fc}i=[Κ]ii{U}i+[Κ]ij{U}j+[Κ]im{U}m+\:(6)其中[K]ii,[K]ij,[K]im都是3×3階矩陣。從式(6)中可以知道,某一塊體上的接觸力不僅與其本身的位移有關,而且和與其接觸的所有塊體的位移有關,本文中稱為塊單元剛度矩陣。2.4.2z東南角面為硬相的定義{P}i,={Px,Py}T,作用在塊i上,把它轉至塊i的中心,即:{Ρ}i={Ρx,Ρy,Ρz}Τ={B}Τip{Ρ}i{α}p,(7)其中{B}ip類似于式(2)中的[B]i,只不過ˉxi,ˉyi要替換為ˉxiip,ˉyip(力作用點在塊i上的相對坐標)。{α}={cosαp,sinαp}T,其中αp是力P與坐標軸所成的角度。所有塊上的外力轉換到其中心后可以用{P}表示。2.4.3彈簧塊單元剛度矩陣一個塊體系任意一個塊體上受到的接觸力都可以由上式轉移到其中心。則整個塊體系的接觸力和整個塊體系的位移可以通過整體剛度矩陣對應起來,表示為:ijmijm[????????[Κ]ii?[Κ]ij?[Κ]im?????????[Κ]ji?[Κ]jj???????????[Κ]mi???[Κ]mm????????]{?[U]i?[U]j?[U]m?}={?[Fc]i?[Fc]j?[Fc]m?}(8)其中:[K]ii,[K]ij,[K]im,[K]ji,[K]jj,[K]mi,[K]mm等都是3×3階塊單元剛度矩陣;[U]i,[U]j,[U]m是3階塊體中心位移列陣。[Fc]i,[Fc]j,[Fc]m是接觸力3階列陣。簡記為[Κ]{U}={F}(9)[K]表示彈簧塊總剛矩陣,是3N×3N階矩陣,N是塊體系的塊的數(shù)量。{U}是3N的列陣,由N塊的3N個位移量組成。{F}是3N的列陣,由轉到塊中心的3N個外力分量組成。而{F}={P},從而:[Κ]{U}={Ρ}(10)解式(10),可以得出{U},得出{U}后,由式(4)可以得出任意兩個塊i\,j在其接觸點的{Fn}ij。2.5塊體失穩(wěn)的防止最初假定塊體系是線彈性的,在外力{P}的作用下處于平衡狀態(tài)。塊體之間的接觸力按前面所述求出。如果有塊體失穩(wěn)(由塊體的接觸狀態(tài)決定,比如該塊體和其它塊體只有一個接觸點),則塊體系失穩(wěn)。如果沒有塊體失穩(wěn),則判斷接觸力:如果求得的法向接觸力為負值(拉力),則該點處的接觸力以零來代替;如果法向接觸力不為零,但剪應力大于最大容許剪應力,這種情況下,原來求得的剪應力就要由最大容許剪應力來替代。這樣,原有的部分外力沒有被平衡掉,需要進行新一輪的計算。首先更新幾何條件和接觸狀態(tài),建立一個新的剛度矩陣。再把未被平衡掉的那部分力加上,同樣按前述求接觸力后,再判斷塊體是否需要進行新的一輪計算。當出現(xiàn)不穩(wěn)定塊或未被平衡掉的力小到一定的范圍內(nèi)結束循環(huán)。最后塊體的位移和接觸點的接觸力等于歷次循環(huán)的累積。3拉西瓦反拱底板的穩(wěn)定計算和分析結果3.1彈性模量法黃河拉西瓦拱壩反拱底板圓心角74.6°,均勻分為7塊,板塊厚3m,拱圈寬為10m。材料特征:塊體浮重:0.0145MN/m3,取彈性模量E=2.5×1010Pa,泊松比μ=0.17,基巖材料特性:彈性模量E=2.2×1010Pa,泊松比μ=0.22。錨固鋼筋E=20×1010Pa。3.2無錨固底板檢測在水墊塘底板鋪設了用加重橡膠制作的底板塊,其容重與原型混凝土相同,但彈性模量按重力律縮小,保證模型拱結構的動力相似。水墊塘底板塊大小按實際尺寸及分縫固定在模型底板上。為了能真實地反映止水完全破壞的水力條件,各板塊間以及板塊與模型底板間的縫隙保持在1mm左右。用自制的力傳感器和北京東方振動噪聲技術研究所研制的DASP大容量數(shù)據(jù)自動采集和信號處理系統(tǒng)測量了板塊的上舉力和拱端推力,量測精度為5%。計算時的荷載取實驗測得的同步作用在底板上的4096組數(shù)據(jù),其荷載過程線見圖3。運行程序,結果表明在無錨固情況下底板沒有塊體失穩(wěn)。認為單從反拱底板自身穩(wěn)定性的角度出發(fā),反拱底板無須錨固鋼筋。但是,無論是實驗值還是計算值,拱端推力值都很大,這樣就給拱座部位的處理帶來一定的困難。3.3錨固鋼筋面積對拱端推力的影響用程序計算了拉西瓦反拱底板在同步實驗荷載(共4096組)下的拱端推力值,與實驗值做了比較,見表1和圖4。(本文中的最大、最小、平均值均指在這4096組荷載作用下的計算值或實驗值的統(tǒng)計值)計算值與實驗結果吻合良好。對底板加錨固鋼筋,計算了不同錨固鋼筋面積情況下的拱端推力并做了統(tǒng)計分析,見表2和圖5,其中錨固鋼筋截面積為每個單個板塊(面積為110m2)所加的量,且主要分布在塊體的兩端。由表2可見,加了0.02m2的錨固鋼筋后,拱端推力平均值下降了37%,在此基礎上再加0.01m2錨固鋼筋后,拱端推力在下降后的基礎上又下降了26%。但隨著錨固鋼筋面積的不斷加大,拱端推力值下降速度也隨之減緩。從圖5中也可形象地看出,隨著錨固鋼筋面積的增加,拱端推力值曲線趨于平緩。最大值,最小值也有類似的規(guī)律。從計算結果看,如果實際工程設計中拱座處理比較困難,可