2023屆高考數(shù)學模擬試題分類匯編立體幾何 無答案

2023屆優(yōu)質(zhì)模擬試題分類匯編(新高考卷)

立體幾何

一.基本原理

1.直線的方向向量：

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點A(X］，M，Z1),3(工2，%，22)，那么直線A3的方向向量可為43=(巧一斗,出一y，Z2-Zj)

2.平面的法向量定義：

直線/，加取直線/的方向向量4,我們稱向量4為平面a的法向量.給定一個點A和一個向量。，那么

過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合｛P|a-AP=。｝.

注：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當取平面的一個法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線

的方向向量，可求出該平面的一個法向量.

3.平面的法向量確定通常有兩種方法：

(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；

(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：

(i)設(shè)出平面的法向量為"=(x,y,z)；

(ii)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標,b=(a2,b2,c2)；

na=0

(“…；

(iv)解方程組，取其中的一個解，即得法向量.由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的

解中取一個最簡單的作為平面的法向量.

知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行.

(1)線線平行

設(shè)直線//的方向向量分別是a,6,則要證明《/%，只需證明a//b,即d=WkeR).

(2)線面平行

線面平行的判定方法一般有三種:

①設(shè)直線/的方向向量是a,平面a的向量是“，則要證明///a,只需證明即q.〃=0.

②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方

向向量是共線向量.

③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)

兩個不共線向量線性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可.

②若能求出平面a,/的法向量則要證明a/〃？，只需證明〃///.

知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直.

(1)線線垂直

設(shè)直線//的方向向量分別為a,6,貝IJ要證明4口，只需證明。_16,即=0.

(2)線面垂直

①設(shè)直線/的方向向量是a,平面a的向量是“，則要證明/_La,只需證明。〃”.

②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.

(3)面面垂直

①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直.

②證明兩個平面的法向量互相垂直.

知識點四、用向量方法求空間角

(1)求異面直線所成的角

已知a,8為兩異面直線，A,C與B,O分別是“，?上的任意兩點，a,?所成的角為，，

\ACBD\

貝！Jcos，=

\AC\-\BD\

注：兩異面直線所成的角的范圍為(0°,90"兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來

求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角.

(2)求直線和平面所成的角

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如圖，設(shè)直線/的方向向量為之，平面a的法向量為二,直線與平面所成的角為e與〃的角為8,則

f—>

\e'n\

有sin夕=|cos外（易錯點）

（3）求二面角

如圖，若以_La于力于B,平面2鉆交/于E,則N4￡B為二面角夕-/-尸的平面角，

AAEB+ZAPB=\^.

，貝!l二面角的平面角4加8=（"1，%）或%,

即二面角0等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角.

①當法向量為與公的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角6的大小等于4,%的夾角（4,%）的大

小.

②當法向量4,乙的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角0的大小等于外,電的夾角的補角

萬_（4，"）的大小.

知識點五、用向量方法求空間距離

1.求點面距的一般步驟：

①求出該平面的一個法向量；

②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.

—>—>—>—>

即：點A到平面a的距離〃是平面a的法向量，如

\AP\-\n\\n\

下圖所示.

4.如圖4,正方形中（邊長為1:1的矩形），E,尸為中點，則

5.如圖5,邊長為2:3的矩形，可以看做是4的推廣，有BE:BH.

6.“箏形翻折模型”

結(jié)論：如圖，AB=AC,DB=DC,設(shè)。為中點，則AO_LBC,故8。，面4。。，則

BCVAD.

7.面面垂直找交線，找到交線引垂線.

二.試題演練

例1.（2023屆武漢9月調(diào)研）如圖，在圖1的等腰直角三角形A8C中，AB=CB=3,邊A8,AC上的點

滿足黑=n=5,將三角形AE尸沿所翻折至三角形PEF處，得到圖2中的四棱錐P-且二面

ABAC3

角P-￡F-8的大小為60。.

（1）證明：平面P8C_L平面EFC5；

(2)求直線BE與平面PAC所成角的正弦值.

例2(福建省部分地市2023屆高三第一次質(zhì)量檢測)如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，AC=&,48_LBC,

E,尸分別為BA，CA的中點，且印工平面AAGC.

B

C

G

(1)求A5的長；

(2)若朋=血，求二面角C-AE-A的余弦值.

例3(福建省泉州市2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測一)三棱柱ABC-44G中,

AA^=AB=2y/3,CA,=4,CBt=2/j,NBA\=60°.

(2)若C4=4,求二面角A-CA-G的余弦值.

例4.(2023屆佛山一模)如圖，AC。和△BCD都是邊長為2的等邊三角形，平面ACO,平面BCD,EBL

平面BCD.

C

(1)證明：EB〃平面AC。；

(2)若點E到平面ABC的距離為求平面ECO與平面BC。夾角的正切值.

例5(2023屆深圳一模)如圖，在四棱錐尸-A5C。中，PD±AB,且PD=PB,底面ABC。是邊長為2

(1)證明：平面D4C_L平面A8CZ)；

(2)若PALPC,求平面孔18與平面PBC夾角的余弦值.

例6.(廣州市2023屆高三一模)如圖，已知四棱錐P-ABCO的底面A8C。是菱形，平面P8C1平面ABCD,

/4CO=30,E為AO的中點，點廠在B4上，AP=3AF.

(1)證明：PC//平面BEF;

(2)若NPDC=NPDB,且PD與平面ABC。所成的角為45,求平面AEF與平面8砂夾角的余弦值.

例7(2023屆武漢二調(diào))如圖，四棱臺。的下底面和上底面分別是邊4和2的正方形，側(cè)棱

C,E1

C￡上點E滿足不不=§.

(1)證明：直線48〃平面ARE；

(2)若C￡_L平面ABC。，且CG=3,求直線與平面ARE所成角的正弦值.

例8（2023屆南通二調(diào)）如圖，在，AfiC中，AQ是8c邊上的高，以AO為折痕，將A8折至的

位置，使得

⑵若AD=PB=4,BD=2,求二面角B—R4—O的正弦值.

例9（山東省濟南市23屆高三上學期期末數(shù)學試題）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，四邊形4AB乃是

菱形，AB1AC,平面AA4B_L平面ABC.

（1）證明:\BLBXC.

JT

（2）已知ZA網(wǎng)=§,AB=AC=2,平面劣瓦^與平面相＜7的交線為/.在/上是否存在點P,使直線4出

與平面所成角的正弦值為J?若存在，求線段見尸的長度；若不存在，試說明理由.

4

例11（山東省濟南市2022-2023學年高三下學期開學考試）在四棱錐P-MCD中，底面ABCD是直角梯

形，AB//CD,ABrAD,根U面底面ABC。，DP=DA=DC=-AB.