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文檔簡介

第三節(jié)圓的方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圓嗎?提示:當D2+E2-4F>0時,表示圓;當D2+E2-4F=0時,表示一個點當D2+E2-4F<0時,不表示任何圖形.1.已知點A(1,-1),B(-1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是()(A)x2+y2=2(B)x2+y2=(C)x2+y2=1(D)x2+y2=4【解析】選A.圓心坐標為(0,0),半徑∴圓的方程為x2+y2=2.2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是()(A)a<-2或a>(B)-<a<0(C)-2<a<0(D)-2<a<【解析】選D.方程表示圓,則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,∴-2<a<.3.圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是()(A)30(B)18(C)6(D)5【解析】選C.圓的方程配方得(x-2)2+(y-2)2=18,故圓心C(2,2),半徑R=3,設圓心與直線的距離為d,則∴圓上點到直線的距離最大值為d+R=8最小值為d-R=2∴(d+R)-(d-R)=4.若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內部,則實數(shù)a的取值范圍是()(A)-1<a<1(B)0<a<1(C)a>1或a<-1(D)a=±1【解析】選A.∵點(1,1)在圓內,∴(1-a)2+(1+a)2<4,即-1<a<1.5.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為則a的值為_____.【解析】將圓的方程化為標準方程得(x-1)2+(y-2)2=5,故圓心(1,2)到直線的距離得a=0或a=2.答案:0或26.當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,為半徑的圓的方程為_____.【解析】直線方程變?yōu)?x+1)a-x-y+1=0,由∴C(-1,2).∴所求圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5.即:x2+y2+2x-4y=0.答案:x2+y2+2x-4y=01.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是:①B=0;②A=C≠0;③D2+E2-4AF>0.2.由圓的一般方程求圓心和半徑的方法用配方法求解.3.確定圓的方程時,常用到的圓的幾個性質(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上;(2)圓心在任一弦的中垂線上;(3)兩圓內切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線.

求圓的方程【例1】求經過點A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.【審題指導】抓住圓經過點A,B及圓心在直線2x-y-3=0上,既可以利用圓的幾何特征直接求圓的方程,也可以選擇標準方程或一般方程用待定系數(shù)法求.1【自主解答】方法一:∵圓過A(5,2),B(3,-2)兩點,∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上.線段AB的垂直平分線方程為y=(x-4).設所求圓的圓心坐標為C(a,b),則有∴C(2,1),r=|CA|=∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.方法二:設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則解得∴圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.方法三:設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則解得D=-4,E=-2,F=-5.∴所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-5=0.【規(guī)律方法】1.利用圓的幾何性質求方程:根據(jù)圓的幾何性質,直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程.2.利用待定系數(shù)法求圓的方程:(1)若已知條件與圓的圓心和半徑有關,則設圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;(2)若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關于D,E,F(xiàn)的方程組,從而求出D,E,F(xiàn)的值.【變式訓練】若不同的四點A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圓,求a的值.【解析】設經過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由題意可得解得∴A,B,C三點確定的圓的方程為x2+y2-4x--5=0.∵D(a,3)也在此圓上,∴a2+9-4a-25-5=0.∴a=7或a=-3(舍去).

與圓有關的最值問題【例2】已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求y-x的最大值和最小值;(2)求x2+y2的最大值和最小值.【審題指導】抓住(x,y)為圓上的點,利用y-x、x2+y2的幾何意義,數(shù)形結合求解.2【自主解答】(1)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+,最小值為-2-.(2)x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,在原點與圓心的連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為所以x2+y2的最大值是x2+y2的最小值是【規(guī)律方法】研究與圓有關的最值問題時,可借助圖形的性質,利用數(shù)形結合求解.一般地,(1)形如型的最值問題,可轉化為動直線的斜率的最值問題;(2)形如t=ax+by型的最值問題,可轉化為動直線的截距的最值問題;(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的最值問題.【互動探究】在本例條件下,求的最大值和最小值.【解析】

可視為點(x,y)與原點連線的斜率,的最大值和最小值就是過原點的直線與該圓有公共點時斜率的最大值和最小值.設過原點的直線方程為y=kx,由已知,相切時,有解得k=±,所以【變式訓練】已知點(x,y)在圓(x-2)2+(y+3)2=1上.(1)求x+y的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)設t=x+y,則y=-x+t,t可視為直線y=-x+t的縱截距,所以x+y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值,即直線與圓相切時的縱截距.由直線與圓相切得,圓心到直線的距離等于半徑,即解得t=-1或t=--1,所以x+y的最大值為-1,最小值為--1.(2)即其最值可視為點(x,y)到定點(-1,2)的距離的最值,可轉化為圓心(2,-3)到定點(-1,2)的距離與半徑的和或差,又因為圓心到定點(-1,2)的距離為所以的最大值為最小值為

利用二元二次方程表示圓的條件求參數(shù)問題【例】已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)的曲線是圓.(1)求t的取值范圍;(2)求其中面積最大的圓的方程.【審題指導】第(1)題抓住曲線是圓,構建關于t的不等式求解;第(2)題關鍵是使半徑最大.【規(guī)范解答】(1)方程可化為(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=-7t2+6t+1.∵r2=-7t2+6t+1>0,∴<t<1.(2)∴當t=時,rmax=此時面積最大,所對應的圓的方程是【規(guī)律方法】含參數(shù)的方程若表示圓,需對參數(shù)的取值范圍進行討論.如方程(x-a)2+(y-b)2=r2表示圓的充要條件是r2>0.解決含參數(shù)的圓的面積的最值問題關鍵在于圓的半徑,先用參數(shù)把半徑表示出來,求出半徑的最值從而可解決面積的最值.【變式備選】由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所確定的圓中,最大面積是多少?【解析】由題知∴當m=-1時,

與圓有關的軌跡問題【例3】已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點A(2,3)作圓C的任意弦,求這些弦的中點P的軌跡方程.【審題指導】關鍵抓住弦的中點P與圓心C的連線和點P與點A的連線垂直這一關系,用直接法或定義法求解.3【自主解答】方法一:直接法設P(x,y),圓心C(1,1).∵P點是過A的弦的中點,又∵=(2-x,3-y),=(1-x,1-y),∴(2-x)·(1-x)+(3-y)(1-y)=0,∴P點的軌跡方程為∴P點的軌跡是以為圓心,為半徑的圓.方法二:定義法:由已知知,PA⊥PC,∴由圓的性質知點P在以AC為直徑的圓上,圓心C(1,1),而AC中點為所以半徑為所求動點P的軌跡方程為【規(guī)律方法】求與圓有關的軌跡問題時,要注意圓的有關性質的應用,根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法:(1)若由動點滿足的等量關系能判定出軌跡的形狀,用定義法定形狀寫出方程,否則用直接法.(2)若動點與另外動點有關,而另外動點又滿足一定的約束條件,用相關點法(代入法).提醒:注意求軌跡與求軌跡方程的不同.【變式訓練】1.一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2+8x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡為()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線【解析】選C.設圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),圓x2+y2+8x+12=0的圓心為O1(-4,0),O′為動圓的圓心,r為動圓的半徑,則|O′O1|-|O′O|=(r+2)-(r+1)=1,由雙曲線的定義知,選C.2.點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是()(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4(D)(x+2)2+(y-1)2=1【解析】選A.設圓上任一點為Q(s,t),PQ的中點為A(x,y),則代入已知圓的方程,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,整理得(x-2)2+(y+1)2=1.

選擇方程不當或計算失誤【典例】(2010·新課標全國卷)過點A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點B(2,1),則圓C的方程為_____.【審題指導】解答本題關鍵抓住圓C過A,B兩點,則圓心C在AB的中垂線上,又由圓C與直線x-y-1=0相切于點B(2,1),可得圓心C亦在與x-y-1=0垂直的直線BC上,由此可求得圓心C的坐標,從而求得圓的方程.【規(guī)范解答】由已知圓C過A(4,1),B(2,1)兩點,∴直線AB的垂直平分線x=3過圓心C,又圓C與直線y=x-1相切于點B(2,1),∴kBC=-1,∴直線BC的方程為y-1=-(x-2),得y=-x+3,由得圓心C的坐標為(3,0),∴圓的方程為(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2【誤區(qū)警示】在解答本題時有兩點容易造成失誤一是選擇的方程不當,造成構建的關于待定系數(shù)的方程組過于復雜無法求解而失誤;二是雖選擇了恰當?shù)姆匠?,但不能靈活運用圓的有關性質,而使計算過繁而失誤.因此求圓的方程時,以下兩點要注意,1.要特別記?。喝糁本€和圓相切,則圓心在過切點且和切線垂直的直線上;若圓經過A,B兩點,則圓心在線段AB的垂直平分線上.2.在列出方程組后,解方程組時計算一定要細而準.【變式訓練】求圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2)的圓的方程.【解析】過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,與y=-4x聯(lián)立可求得圓心(1,-4).∴半徑r=∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.1.(2011·天津模擬)圓x2+y2-2x-1=0關于直線2x-y+3=0對稱的圓的方程是()(A)(x+3)2+(y-2)2=(B)(x-3)2+(y+2)2=(C)(x+3)2+(y-2)2=2(D)(x-3)2+(y+2)2=2【解析】選C.排除法,由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,知圓心O1(1,0),半徑為故排除A、B.又C中圓心O2(-3,2),O1O2中點(-1,1)在直線2x-y+3=0上,而D中圓心O3(3,-2),O1O3中點(2,-1)不在直線2x-y+3=0上,排除D,故選C.2.(2011·廣州模擬)已知兩點A(-2,0),B(0,2),點C是圓x2+y2-2x=0上任意一點,則△ABC的面積最小值是()(A)(B)(C)(D)【解題提示】關鍵求點C到直線AB距離的最小值,即圓心到lAB的距離減半徑.【解析】選A.lAB:x-y+2=0,圓心(1,0)到l的距離∴AB邊上的高的最小值為3.(2010·上海高考)圓C:x2+y2-2x-4y+4=0的圓心到直線3x+4y+4=0的距離d=_____.【解析】∵x2+y2-2x-4y+4=0,∴(x-1)2+(y-2)2=1.圓心(1,2)到直線3x+4y+4=0的距離答案:34.(2010·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是_____.【解題提示】關鍵是通過數(shù)形結合,將條件轉化為圓心(0,0)到直線12x-5y+c=0的距離問題,進而求解.【解析】畫圖可知,圓上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,該圓半徑為2,即圓心O(0,0)到直線12x-5y+c=0的距離d<1,即-13<c<13.答案:(-13,13)一、選擇題(每小題4分,共20分)1.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值是()(A)-1(B)2(C)-1或2(D)1【解析】選A.因為方程表示圓,所以有a2=a+2且(2a)2+02-4a2·a>0,解得a=-1.2.(2011·三明模擬)已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1關于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為()(A)(x+2)2+(y-2)2=1(B)(x-2)2+(y+2)2=1(C)(x+2)2+(y+2)2=1(D)(x-2)2+(y-2)2=1【解析】選B.設圓C2的圓心為(a,b),則依題意,有對稱圓的半徑不變,為1,故選B.3.(2011·福建四校模擬)一束光線從點A(-1,1)出發(fā),經x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是()(A)(B)(C)4(D)5【解析】選C.設C關于x軸的對稱點為B,如圖所示,最短路程即為AB-1.而∴|AB|-1=5-1=4,故選C.4.若直線ax+2by-2=0(a>0,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長,則的最小值為()(A)1(B)5(C)4(D)3+2【解析】選D.由(x-2)2+(y-1)2=13,得圓心(2,1),∵直線平分圓的周長,即直線過圓心.∴a+b=1.∴的最小值為3+2.5.(2011·廈門模擬)若P(2,-1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程為()(A)2x+y-3=0(B)x-y-3=0(C)x+y-1=0(D)2x-y-5=0【解題提示】利用圓心與P的連線斜率與kAB相乘為-1可得AB的斜率,利用點斜式得AB方程.【解析】選B.由圓心為M(1,0),故∴kAB=1,故AB方程為:y+1=(x-2),即:x-y-3=0.二、填空題(每小題4分,共12分)6.圓心在x軸上,經過原點,并且與直線y=4相切的圓的標準方程是_____.【解析】由題意知,圓心坐標是(±4,0),半徑為4,∴圓的方程為(x±4)2+y2=16.答案:(x±4)2+y2=167.設a>0,b>0,4a+b=ab,則在以(a,b)為圓心,a+b為半徑的圓中,面積最小的圓的標準方程是_____.【解析】要使圓的面積最小,只需a+b最小即可.∵4a+b=ab,當且僅當a-1=,即a=3時上式等號成立,此時b=6,故所求圓的標準方程為(x-3)2+(y-6)2=81.答案:(x-3)2+(y-6)2=818.(2011·馬鞍山模擬)已知點M(1,0)是圓C:x2+y2-4x-2y=0內的一點,那么過點M的最短弦所在直線的方程是_____.【解題提示】過點M的最短弦與CM垂直.【解析】過點M的最短弦與CM垂直,圓C:x2+y2-4x-2y=0的圓心為C(2,1),∴最短弦所在直線的方程是y-0=-1·(x-1),即x+y-1=0.答案:x+y-1=0三、解答題(每小題9分,共18分)9.已知圓M過兩點A(1,-1),B(-1,1)且圓心M在x+y-2=0上.(1)求圓M的方程;(2)設P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最小值.【解析】(1)設圓M的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根據(jù)題意得:解得:a=b=1,r=2,故所求圓M的方程為:(x-1)2+(y-1)2=4.(2)由題知,四邊形PAMB的面積為S=S△PAM+S△PBM=|AM||PA|+|BM||PB|.又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|=即因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直線3x+4y+8=0上找一點P,使得|PM|的值最小,所以|PM|

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