廣西三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

2023年廣西三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟高一年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)本卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先在答題卡上用直徑毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，然后貼好條形碼.請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.73.若函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.4.新課程互助學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.5.若角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B.1 C. D.6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.7.若，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，則8.已知，，則與之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無(wú)法比較二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.與終邊相同角是（）A. B. C. D.10.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是（）A.在上是減函數(shù) B.C.的值域是 D.的值域是11.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），則（）A.函數(shù)至多有2個(gè)零點(diǎn) B.，使得是R上增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?D.當(dāng)時(shí)，方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根12.，，為正實(shí)數(shù)，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是上的奇函數(shù)，且，已知，則______.14.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.15.函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____.16.已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，的部分解析式為，若方程的解為，，，且，則的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.19.已知函數(shù).（1）證明函數(shù)為偶函數(shù)；（2）對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.首屆全國(guó)學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年11月5日在廣西南寧舉行，假設(shè)你是某紀(jì)念章公司委托的專營(yíng)店銷售總監(jiān).現(xiàn)有一款紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章需向?qū)W青會(huì)組委會(huì)上交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元用于活動(dòng)公益開(kāi)支，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為元..（1）請(qǐng)你寫(xiě)出專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲利潤(rùn)（元）與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格為多少元時(shí)，該專營(yíng)店一年內(nèi)的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？21.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)，總有成立.若時(shí)，.（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求解關(guān)于的不等式的解集.22.已知函數(shù)（且）.（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，若存在，求出?shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2023年廣西三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟高一年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)本卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先在答題卡上用直徑毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，然后貼好條形碼.請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義，直接求解即可.【詳解】，，故故選：B2.已知，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】變形后由基本不等式求出最值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B3.若函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及分式的性質(zhì)即可求解.【詳解】的定義域滿足：，解得且，所以定義域?yàn)?，故選：A4.新課程互助學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，先求出的符號(hào)，根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出答案.【詳解】令，可知，.又，則，所以，根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.又，所以，根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.故選：B.5.若角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，故選:C.6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】采用排除法先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行判斷.【詳解】從函數(shù)圖象看，定義域都一樣，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD；又，∴可排除A.故選：C7.若，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用不等式的相關(guān)性質(zhì)可推理判斷選項(xiàng)A,D,通過(guò)舉反例判斷選項(xiàng)B,C.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，因，故不能判斷的值正負(fù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取滿足，，但是有，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因，故，又因，故，由不等式的同向皆正可乘性可得：，移項(xiàng)得：，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.已知，，則與之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無(wú)法比較【答案】C【解析】【分析】利用作差法比較大小.【詳解】，所以所以故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.與終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】借助終邊相同角的定義即可得.【詳解】與終邊相同的角為，對(duì)A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)：，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是（）A.在上是減函數(shù) B.C.的值域是 D.的值域是【答案】CD【解析】【分析】先對(duì)分離常數(shù)得到，即可研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，進(jìn)而可得的值域與，從而得解.【詳解】因?yàn)?，而在定義域上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，所以在上是增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；且，，故C正確；所以，D正確；而，故B錯(cuò)誤.故選：CD.11.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A.函數(shù)至多有2個(gè)零點(diǎn) B.，使得是R上的增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?D.當(dāng)時(shí)，方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，考查每段的零點(diǎn)情況即可判定A;根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可判定B；分段求出函數(shù)值的取值范圍，可判定C，令，解出方程可判定D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合條件，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，由韋達(dá)定理知，兩個(gè)根之和，故方程不可能有兩個(gè)正根，也不可能有一正根一個(gè)根為零，若方程有一負(fù)根一正根，則，解得，即方程至多有一個(gè)正根，綜上可知，函數(shù)至多有2個(gè)零點(diǎn)，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞減，則不存在，使得是R上的增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?，不符合題意，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，令，則方程，可化為，若，則，解得，若，則，解得或者，均不符合條件，故只有，即，此時(shí)只有為其根，故時(shí)，方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則D正確，故選：AD.12.，，為正實(shí)數(shù)，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】將變形得到即可得、、間的大小關(guān)系，再分別構(gòu)造出、化簡(jiǎn)后即可得、、大小關(guān)系.【詳解】由，即有，由，則，故A正確，B錯(cuò)誤，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，同理，因?yàn)楣?，因?yàn)?，故，即有，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是上的奇函數(shù)，且，已知，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，，所以，所以，故答案為：14.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再換元令，則，求出的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的值域.【詳解】由，得，令，則，因?yàn)?，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：15.函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】首先判斷為奇函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞增，所以可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可解出的范圍.【詳解】因?yàn)?，是恒成立的，所以的定義域?yàn)镽，，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為遞增函數(shù)，又為遞增函數(shù)，在其定義域上為增函數(shù)，故為增函數(shù)，而，所以在R上為增函數(shù)，所以可化為，所以，即，解得，故答案為：.16.已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，的部分解析式為，若方程的解為，，，且，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)的解析式，然后畫(huà)出函數(shù)的圖象，由有四個(gè)根，可得，結(jié)合圖象，找到的范圍，利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，畫(huà)出圖象如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，結(jié)合圖象知，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形幾何分析方程根的范圍，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】17.；18..【解析】【分析】（1）先解對(duì)數(shù)不等式求集合A，然后由并集運(yùn)算可得；（2）由知，分和利用數(shù)軸討論即可.【小問(wèn)1詳解】由得，即，若，則，所以，.【小問(wèn)2詳解】若，則，當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，由圖可得，無(wú)實(shí)數(shù)解.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求解即可得出答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求解即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】.19.已知函數(shù).（1）證明函數(shù)為偶函數(shù)；（2）對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先分析的定義域，然后根據(jù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“”，利用基本不等式求解出，則的范圍可求.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又因?yàn)?，恒成立，即，所以，解得或，所以的取值范圍?20.首屆全國(guó)學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年11月5日在廣西南寧舉行，假設(shè)你是某紀(jì)念章公司委托的專營(yíng)店銷售總監(jiān).現(xiàn)有一款紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章需向?qū)W青會(huì)組委會(huì)上交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元用于活動(dòng)公益開(kāi)支，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為元..（1）請(qǐng)你寫(xiě)出專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲利潤(rùn)（元）與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格為多少元時(shí)，該專營(yíng)店一年內(nèi)的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格為元時(shí)，該專營(yíng)店一年內(nèi)的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，得到與的函數(shù)關(guān)系式.（2）分別求出各段函數(shù)的最大值比較即得解.小問(wèn)1詳解】依題意，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，則，(元)，當(dāng)時(shí)，則或24時(shí)，(元)，綜上：當(dāng)時(shí)，該特許專營(yíng)店獲得的利潤(rùn)最大為元.即當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格為元時(shí)，該專營(yíng)店一年內(nèi)的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)，總有成立.若時(shí)，.（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求解關(guān)于的不等式的解