適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題3數(shù)列課件

等差數(shù)列、等比數(shù)列專題三內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式

名師點析數(shù)列的本質(zhì)是定義域為N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù).2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用性質(zhì)

3.判斷數(shù)列是等差、等比數(shù)列的常用方法

名師點析1.如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列;“數(shù)列{an}是常數(shù)列”是“數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列”的必要不充分條件.2.“=an·an+2(n∈N*)”是“{an}為等比數(shù)列”的必要不充分條件,在判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時,要注意各項均不為0.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算[例1]①a1+a3=b3,②b2+S5=-b4,③a1+a9=-4,在這三個條件中任選兩個,補(bǔ)充在下面的問題中.若問題中的m存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,其前n項和為Tn,若

,

,且b1=2,T4=5T2,是否存在大于2的正整數(shù)m,使得4S1,S3,Sm成等比數(shù)列?

所以Sn=-n2+7n.所以S1=6,S3=12,Sm=-m2+7m.若4S1,S3,Sm成等比數(shù)列,則

=4S1Sm,即122=4×6(-m2+7m),所以m2-7m+6=0,解得m=6或m=1(舍去).此時存在正整數(shù)m=6滿足題意.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列運算問題的求解策略(1)抓住基本量,即首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征,如前n項和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式為an=p·qn-1(p,q≠0)形式的數(shù)列為等比數(shù)列.(3)因為等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常采用兩式相除(即比值)的方式進(jìn)行相關(guān)計算.對點練1(1)(多選題)(2023·山東德州高三期中)將n2個數(shù)排成n行n列的數(shù)陣,如圖所示.該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,記這n2個數(shù)的和為S,則下面說法正確的是(

)a11

a12

a13

…

a1na21 a22 a23

… a2na31 a32 a33

… a3n……an1 an2 an3

… annA.m=2

B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1

D.S=n(n+2)(2n-1)ACD解析

對于A,由題意,a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,得3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,由m>0,解得m=2,故A正確;對于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B錯誤;對于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正確;(2)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=2,b2=4,an=2log2bn,n∈N*.①求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;②設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn},記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,求S100.

所以數(shù)列{cn}的前100項是由數(shù)列{an}的前107項去掉數(shù)列{bn}的前7項后構(gòu)成的,突破點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)命題角度1等差數(shù)列的性質(zhì)[例2-1]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,3(a1+a5)+2(a3+a6+a9)=18,則該數(shù)列前8項和為(

)A.36 B.24

C.16

D.12D解析

因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a5=2a3,a3+a6+a9=3a6,所以3×2a3+2×3a6=18,即a3+a6=3.A命題角度2等比數(shù)列的性質(zhì)[例2-4]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2=4,S4=6,則S6=(

)A.7 B.8

C.9

D.10A解析

根據(jù)題意及等比數(shù)列的性質(zhì),可知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故選A.[例2-5]已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項的乘積為Tn,若T3=T9,則T12=

.

答案

1

解析

∵T3=T9,∴a4a5a6a7a8a9=1.又{an}為等比數(shù)列,∴(a4a9)3=1,∴a1a12=a4a9=1.方法技巧等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略

抓關(guān)系抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系,從這些關(guān)系入手選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行求解用性質(zhì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,因此可利用函數(shù)的一些性質(zhì)求解相關(guān)題目對點練2(1)(多選題)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,且S6>S7>S5,則下列結(jié)論正確的是(

)A.d<0

B.S11>0C.S12<0

D.數(shù)列{Sn}中的最大項為S11AB解析

∵S6>S7,∴a7<0,又S6>S5,∴a6>0,∴d<0,故A正確.由題意,可知當(dāng)1≤n≤6時,an>0,當(dāng)n≥7時,an<0,故數(shù)列{Sn}中的最大項為S6,故D不正確.(2)(2023·廣東肇慶高三統(tǒng)考)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,且a6+2a7+a10=20,則a7·a8的最大值為(

)A.10 B.20

C.25

D.50C解析

∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20,∴a7+a8=10.由已知,得a7>0,a8>0,即a7·a8的最大值為25.(3)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則log3a1+log3a2+…+log3a10=

.

10解析

∵等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log395=10.突破點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明[例3]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)在(1)的條件下證明

是等差數(shù)列,并求an.證明

(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,得S2=a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.∵Sn+1=4an+2,∴當(dāng)n≥2時,Sn=4an-1+2,∴an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1).又bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,∴{bn}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.解題心得判斷數(shù)列為等差(等比)數(shù)列的技巧(1)判斷給定的數(shù)列{an}是等差(等比)數(shù)列的常用方法有:①定義法;②等差(等比)中項法.(2)若數(shù)列{an},{bn}為等差數(shù)列,且項數(shù)相同,則{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差數(shù)列.(