基于渦激作用的輸流管道流動分析

基于渦激作用的輸流管道流動分析

作為一種廣泛使用的技術(shù)結(jié)構(gòu)，輸流管道在海上通過管道時(shí)，在一定條件下會發(fā)生漩渦。當(dāng)管道的自振頻率接近自振頻率時(shí)，振動將渦旋佛經(jīng)的核心內(nèi)容固定在結(jié)構(gòu)自振頻率周圍，并導(dǎo)致管道的急劇渦旋振動。在這種情況下，這被稱為“抑制”現(xiàn)象。為了避免大幅度振動的發(fā)生,對結(jié)構(gòu)的自振頻率的研究以避免結(jié)構(gòu)疲勞破壞是至關(guān)重要的。輸流管道的流體誘發(fā)振動問題可歸結(jié)為典型的無窮維連續(xù)陀螺系統(tǒng)動力學(xué)模型。基于1950年Feodos’ev的兩端簡支管道的線性動力學(xué)模型,國內(nèi)外針對其振動問題開展了大量的研究,研究成果不但包括不同支撐情況管道的實(shí)驗(yàn)研究,還有二維、三維的線性和非線性理論模型?？偟目磥?以往的研究多是基于輸流管道的線性振動模型,考慮各種因素的單獨(dú)作用,從中得出的某些結(jié)論與實(shí)際情況有時(shí)差異較大。并且在分析過程中,外部流體阻尼的影響通常被忽略。實(shí)際上,管道會受到多種因素的聯(lián)合作用,并且在管道的不同振動狀態(tài),外部流體阻尼的大小也不同,所以研究外部流體阻尼對管道振動特性的影響以及各種因素同時(shí)作用的結(jié)果也是非常重要的。本文利用Kane方法建立輸流管道的二維非線性動力學(xué)模型?？紤]阻尼的影響,通過分析管內(nèi)流體及管外海洋環(huán)境荷載的共同作用,建立輸流管道渦激振動方程,用復(fù)模態(tài)分析方法對管道的渦激振動方程進(jìn)行求解,從而計(jì)算分析管道的穩(wěn)定性。1管道群結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程圖1所示為兩端簡支輸流管道模型,假設(shè)勻質(zhì)管道變形前所取與其軸線垂直截面變形后仍與軸線垂直,變形前相對參考坐標(biāo)系單位矢量a1、a2分別平行、垂直其軸線。V為管道內(nèi)部流體的流速。q(t)為作用于管道外部的渦激升力。通常管道在平面內(nèi)的變形ˉuuˉ用笛卡兒坐標(biāo)u1、u2表示,如圖1(b)所示。在本文的建模方法中,采用弧長坐標(biāo)s代替笛卡爾坐標(biāo)u1,用來表示管道變形后任意點(diǎn)沿軸線方向的伸長量。O為管道相對于相對參考系變形的參考點(diǎn)。其余符號的意義如圖1中所示。由于輸流管道的流體誘發(fā)振動具有很強(qiáng)的非線性,本文采用原理簡單明了的Kane方法來建立管道的動力學(xué)模型,該方法意味著系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下的廣義慣性力F*i與廣義作用力Fi的平衡,即:F*i+Fi=0(1)利用方程(1),根據(jù)文獻(xiàn)的建模方法得管道渦激振動的非線性動力學(xué)方程:n2∑k=1mik??Qk+n2∑k=1rik˙Qk+n2∑k=1kikQk+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1ΝihkjQhQk˙Qj+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1Dihkj(QhQk??Qj+Qh˙Qk˙Qj)+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1(Fihkj+Sihkj)QhQkQj=FLii=1,2,?,n2(2)∑k=1n2mikQ??k+∑k=1n2rikQ˙k+∑k=1n2kikQk+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2NihkjQhQkQ˙j+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2Dihkj(QhQkQ??j+QhQ˙kQ˙j)+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2(Fihkj+Sihkj)QhQkQj=FLii=1,2,?,n2(2)式中:mik=∫l0l0(ρ+ρ′+ρf)ΦkΦidxrik=2V∫l0l0ρfΦk,sΦidx+ΘU∫l0l0ρ′ΦkΦidxkik=∫l0l0EIΦk,xxΦi,xxdx+V2∫l0l0ρfΦk,xxΦidx?ik=∫x0x0Φi,ζ(ζ)Φk,ζ(ζ)dζ,Θ=8δSt/(CaD)Nihkj=2V∫l0l0ρfΦk,sΦj,x?hidxDihkj=∫l0l0(ρ+ρf)?kj?hidxSihkj=V2∫l0l0ρfΦk,xxΦj,x?hidxFihkj=∫l0l0EIΦk,xxΦh,x(Φi,xxΦj,x+Φi,xΦj,xx)dxFLi=∫l0l0q(t)Φidx其中Φk(x)為振型函數(shù),n2為模態(tài)截?cái)鄶?shù);ρ和ρf分別表示管道和內(nèi)流單位長度的質(zhì)量;Qi為管道振動時(shí)所對應(yīng)的廣義坐標(biāo);δ為粘滯力系數(shù),St為Strouhal數(shù),Ca為附加質(zhì)量系數(shù),D為管道外徑;U外部流體流速;ρ′=CaρeπD2/4為單位長度管道的附加質(zhì)量,并且ρe為外部流體的密度;q(t)=ρeU2DCL(t)/2為流體流動產(chǎn)生的渦激升力,CL(t)為升力系數(shù)。對于輸流管道,較為經(jīng)典的非線性動力學(xué)模型為Pa?doussis模型。通過比較,當(dāng)本文模型(2)中忽略外部流體的影響,與Pa?doussis模型的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣mik,rik和kik完全相同,主要區(qū)別在于非線性項(xiàng)Fihkj,Sihkj,Nihkj和Dihkj形式上的不同,這從一個側(cè)面說明了本文模型的正確性。2模型求解結(jié)果不考慮管道外部流體的作用,引入無量綱變量:yk=Qkl,u=√ρfEΙVl,ζ=ρfρf+ρ′+ρ,τ=tΤ,ζ′=ρ′ρf+ρ′+ρ,η=xl,Τ=√(ρf+ρ′+ρ)l4EΙ(3)yk=Qkl,u=ρfEI???√Vl,ζ=ρfρf+ρ′+ρ,τ=tT,ζ′=ρ′ρf+ρ′+ρ,η=xl,T=(ρf+ρ′+ρ)l4√EI(3)則動力學(xué)方程的無量綱形式為:n2∑k=1Μik??yk+n2∑k=1Cik˙yk+n2∑k=1Κikyk+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1αihkjyhykyj+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1βihkjyhyk??yj+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1γihkj(yhyk??yj+yh˙yk??yj)=0i=1,2,?,n2(4)∑k=1n2Miky??k+∑k=1n2Ciky˙k+∑k=1n2Kikyk+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2αihkjyhykyj+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2βihkjyhyky??j+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2γihkj(yhyky??j+yhy˙ky??j)=0i=1,2,?,n2(4)式中各項(xiàng)系數(shù)的詳細(xì)表達(dá)式見參考文獻(xiàn)。將方程(4)在平衡位置線性化為:Μ??yk+C˙yk+Κyk=0(5)其中:Μik=∫l0ΦiΦkdη,Cik=2u√ζaik+ΘλΜik√ζ′Κik=cik+u2dik,aik=∫l0Φk,ηΦidηcik=∫l0Φk,ηηΦi,ηηdηdik=∫l0Φk,ηηΦidη,yk=[y1,y2,?,yn2]Τ為了得到方程(5)的固有頻率,將其轉(zhuǎn)化為:A˙Y(τ)+BY(τ)=0(6)其中:A=[0ΙΜ0],B=[-Ι0CΚ],Y(τ)={˙ykyk}(7)假設(shè)方程(6)的解為Y(τ)=Y0eλnτ,那么從矩陣[C]和[K]可以看出,特征值λn隨著內(nèi)流流速的變化而變化。并且,隨著內(nèi)流流速的增加,復(fù)特征值的虛部隨之減小,當(dāng)虛部減小到零時(shí)內(nèi)流流速達(dá)到其臨界流速。Pa?doussis深入研究了輸流管道的靜力和動力穩(wěn)定性問題。所以,在此將本文建立的模型的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果與Pa?doussis模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較以驗(yàn)證其有效性。對兩端固定支撐的管道在無量綱參數(shù)ζ不同取值時(shí)(ζ=0.1,0.8)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果示于圖2中,即無量綱內(nèi)流流速與無量綱固有頻率之間的關(guān)系。從圖2(a)中可以看出,當(dāng)ζ=0.1時(shí),無量綱流速達(dá)到6.28管道振動出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn),繼續(xù)增大內(nèi)流流速,第二階模態(tài)的發(fā)散失穩(wěn)出現(xiàn)在流速為8.99時(shí);再繼續(xù)增大流速,第一、二階模態(tài)相互耦合、增大并與第三階模態(tài)相交。在圖2(b)中,ζ=0.8,與ζ=0.1不同的是在流速u=8.99到9.6之間存在一個穩(wěn)定區(qū)域。從圖2還可以看出,本文建立模型的計(jì)算結(jié)果與Pa?doussis模型的計(jì)算結(jié)果基本一致。需要指出的是不僅圖中曲線反映的數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合得較好,而且本文模型也準(zhǔn)確地反映出管道振動過程中的物理現(xiàn)象。3振動頻率的確定考慮到管道固有頻率的收斂特性,在沒有特殊要求的情況下,取文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算:l=2m,ρf/(ρ+ρf)=0.1,E=10×109Pa,D=20mm,h=1mm。得到兩端簡支管道的前三階振動頻率與其影響因素的關(guān)系曲線表示在圖3～圖7中。值得關(guān)注的是,管道振動在流速、外流粘滯力系數(shù)和管道長度等參數(shù)區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生顫振,存有復(fù)雜的分岔現(xiàn)象。3.1管道開始組內(nèi)部的階固有頻率下降為零的情況從圖3中可以看出,和兩端固支的管道相同,流速的增加降低了管道的前三階固有頻率。當(dāng)流速達(dá)到一個臨界值,第一階固有頻率下降為零,此時(shí)意味著管道開始發(fā)散失穩(wěn)。并且隨著流速的進(jìn)一步增大,系統(tǒng)的第二階固有頻率在流速達(dá)到第二個臨界流速時(shí)出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。繼續(xù)增大流速(V>206.84m/s),系統(tǒng)的第一、二階模態(tài)具有相同的特征值,包括實(shí)部和虛部(固有頻率),此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)耦合模態(tài)顫振現(xiàn)象。3.2不同流體流速下管道第一階固有頻率的變化當(dāng)輸流管道應(yīng)用于海洋中,管道的外部將受到波浪和海流的作用。圖4給出了管道前三階固有頻率與外部流體流速的關(guān)系曲線。從圖中可以看出,外部流體流速的增大使管道前三階固有頻率降低,當(dāng)外部流體流速從0增加到1.6m/s時(shí),第一階固有頻率降低為0。隨著流速的進(jìn)一步增加,管道的第二階固有頻率在外部流體流速達(dá)到6m/s降低為0。此時(shí)如果繼續(xù)增大外部流體的流速,管道的第三階固有頻率也在流速為13.8m/s時(shí)降低為0。自Morison方程提出幾十年來,已有不少學(xué)者對拖曳力系數(shù)CD進(jìn)行了大量的模型試驗(yàn)和現(xiàn)場觀測工作,但所得數(shù)據(jù)仍有相當(dāng)大的離散性。本文根據(jù)1976年Sarpkaya的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),假定粘滯力系數(shù)δ=CD/4πSt的大小在0.2到1.2范圍內(nèi)。從圖5中可以看出,在固定的流體流速(U=1)情況下隨著粘滯力系數(shù)的增大,管道的第一階固有頻率減小,當(dāng)δ=1.135時(shí)為零。而第二、三階固有頻率受粘滯力系數(shù)的影響不大。3.3流體對管道固有頻率的影響管道長度的變化也會引起管道的失穩(wěn),在圖6中給出了管道長度的變化對管道固有頻率的影響(V=40m/s,U=0)。從圖中可以看出,在固定的內(nèi)流流速情況下,當(dāng)管道長度達(dá)到一個臨界值(l>5.28m),第一階固有頻率下降為零,此時(shí)意味著管道開始發(fā)散失穩(wěn)。并且隨著長度的進(jìn)一步增大,系統(tǒng)的第二階固有頻率在管道長度達(dá)到第二個臨界值時(shí)(l>10.81m)出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。繼續(xù)增大長度(l>11m),系統(tǒng)的第一、二階模態(tài)具有相同實(shí)部和虛部(固有頻率),系統(tǒng)出現(xiàn)耦合模態(tài)顫振現(xiàn)象。實(shí)際上,上述的對管道固有頻率有影響的參數(shù)不是獨(dú)立存在的,管道會同時(shí)受到管內(nèi)外流體的同時(shí)作用,管道的固有頻率的變化是跨長、密度、質(zhì)量比、管道剛度、以及流體流速等共同作用的結(jié)果。所以下面將進(jìn)一步研究內(nèi)外流速對固有頻率的聯(lián)合作用。圖7中給出了內(nèi)外流體對管道的聯(lián)合作用關(guān)系曲線。由于外流的存在降低了管道的固有頻率,并且隨著外流流速的增大受內(nèi)流影響的管道固有頻率降低的更快,發(fā)散失穩(wěn)需要的臨界流速也更低。還可以看出,外部流體對第二階固有頻率的影響較第一階小。與前述僅有內(nèi)流作用不同的是,繼續(xù)增大流速大于第二個臨界流速時(shí),系統(tǒng)的第一、二階模態(tài)具有不同的特征值,即系統(tǒng)不會出現(xiàn)耦合模態(tài)顫振現(xiàn)象,并且隨著流速的增大,第一階固有頻率逐漸減小為零。內(nèi)外流體的對管道動力特性的具體影響列于表格1。4基于動力特性的系統(tǒng)振動模型(1)本文基于Kane方法建立的分析輸流管道非線性振動的模型中存在著三次非線性項(xiàng)。在三次非線性項(xiàng)中,既有慣性項(xiàng),又有幾何項(xiàng)。本模型既考慮了內(nèi)流流速對管道動力特性的影響,也包括了外部流體產(chǎn)生漩渦升力對管道的作用,為進(jìn)一步研究管道的渦激振動提供了理論基礎(chǔ),也為同類問題的相關(guān)研究提供了一個較完整的動力學(xué)模型;(2)此狀態(tài)矢量空間方程保留了所有由邊界約束產(chǎn)生的流固耦合參數(shù)的影響,只要選擇合適的振型函數(shù)就可以調(diào)整本文建立的模型以解決任意邊界條件的問題。對于兩端固支管道的動力特性,本文建立的模型在平衡位置線性化