曲面高斯曲率的色標(biāo)分布研究

曲面高斯曲率的色標(biāo)分布研究

0高斯曲率法與面性法分析為了改善設(shè)計(jì)和制造汽車(chē)零件的結(jié)構(gòu)，高質(zhì)量的汽車(chē)可以縮短設(shè)計(jì)周期，降低制造難度，節(jié)約公司成本。此外，在駕駛行業(yè)產(chǎn)品中，高質(zhì)量的汽車(chē)可以有效減少空氣阻力。因此，高質(zhì)量汽車(chē)產(chǎn)品的產(chǎn)量越來(lái)越受到重視，成為科學(xué)研究和相關(guān)產(chǎn)品建模和研究的熱點(diǎn)。產(chǎn)品曲面模型創(chuàng)建后，質(zhì)量分析和評(píng)價(jià)是滿足產(chǎn)品設(shè)計(jì)要求的重要工作。近年來(lái)，研究人員主要采用控制點(diǎn)法、多段曲線法、等參考線法和反射線法對(duì)曲線進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)，但采用高斯坦率法很少有關(guān)于曲線質(zhì)量的文獻(xiàn)。本文從高思卡的具體含義出發(fā)，結(jié)合具體剖面，探討了高思卡率法在分析零件質(zhì)量方面的應(yīng)用。1高斯曲率含義高斯曲率的概念最早是由德國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家高斯(1777.04~1855.02)首先提出的,現(xiàn)在已經(jīng)成為曲面論中最重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量.透徹理解高斯曲率的含義有利于提高曲面質(zhì)量分析與評(píng)價(jià)的效率,對(duì)后續(xù)的曲面鈑金零件模具制造也會(huì)產(chǎn)生積極影響.1.1法佐的網(wǎng)格點(diǎn)及最大明確率目前包括CATIA在內(nèi)的多數(shù)三維CAD軟件都采用B-Spline方法繪制空間曲面,如k×h(k≤n,h≤m)階的B-Spline曲面可以表示成如下形式:S(u,v)=n∑i=0m∑j=0SijBi,k(u)Bj,h(v)(1)S(u,v)=∑i=0n∑j=0mSijBi,k(u)Bj,h(v)(1)上式中uk-1≤u≤un+1,vh-1≤v≤vm+1,Sij是空間中給定的(n+1)×(m+1)個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),通常稱為曲面S(u,v)的控制頂點(diǎn),Bi,k(u)和Bj,h(v)分別是關(guān)于節(jié)點(diǎn)向量u,v的k階和h階B-Spline樣條曲線的基函數(shù).過(guò)曲面S(u,v)上的任意點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)包含法矢n在內(nèi)的密切平面,無(wú)數(shù)個(gè)密切平面與曲面S(u,v)相交可以得到無(wú)數(shù)條過(guò)點(diǎn)P的空間曲線,如圖1所示.如果密切平面與空間曲面S(u,v)相交所得到的空間曲線可以采用參數(shù)方程r(t)=(x(t),y(t),z(t))來(lái)表示,則其曲率計(jì)算公式為:k=√|y′(t)z′(t)y″(t)z″(t)|2+|z′(t)x′(t)z″(t)x″(t)|2+|x′(t)y′(t)x″(t)y″(t)|2(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2)32(2)k=∣∣∣y′(t)y′′(t)z′(t)z′′(t)∣∣∣2+∣∣∣z′(t)z′′(t)x′(t)x′′(t)∣∣∣2+∣∣∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣∣∣2√(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2)32(2)通過(guò)公式(2)可以看出,由于空間曲線的彎曲程度不同,所以包含法矢n在內(nèi)的密切平面與曲面S(u,v)相交得到的所有空間曲線在p點(diǎn)通常具有不同的曲率,一般將所有曲率絕對(duì)值的最大值稱為最大曲率,用kmax表示;所有曲率絕對(duì)值的最小值稱為最小曲率,用kmin表示,kmax和kmin稱為曲面S(u,v)在p點(diǎn)的主曲率.1.2低相關(guān)系數(shù)的su,v高斯曲率是主曲率kmax和kmin的點(diǎn)積,記為K=kmax·kmin,也稱為全曲率.設(shè)曲面S(u,v)的矢函數(shù)為r(u,v),且矢函數(shù)r(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)ru和rv及混合偏導(dǎo)數(shù)ruu、ruv和rvv,根據(jù)曲面論的基本公式,可以得到曲面S(u,v)在某點(diǎn)的高斯曲率計(jì)算公式:Κ=LΝ-Μ2EG-F2(3)K=LN?M2EG?F2(3)(3)式中E=r2u2u,F=rurv,G=r2v2v,L=n·ruu,,N=n·rvv.1.3eg-s13-stp,k-3-點(diǎn)算法因?yàn)楦咚骨仕从车膶?shí)質(zhì)是曲面上點(diǎn)附近曲面的彎曲程度,所以曲面上某點(diǎn)的高斯曲率能較好地反映其鄰域內(nèi)曲面的形狀.根據(jù)矢量運(yùn)算法則,EG-F2=r2ur2v-(ru·rv)2=(ru×rv)2>0,所以曲面在某點(diǎn)的高斯曲率與LN-M2是同號(hào)的.當(dāng)曲面為球面、橢球面、雙葉雙曲面的一葉或橢圓拋物面時(shí),LN-M2>0,即K>0,點(diǎn)P為橢圓點(diǎn);當(dāng)曲面為偽球面、單葉雙曲面或雙曲拋物面時(shí),LN-M2<0,即K<0,點(diǎn)P為雙曲點(diǎn);對(duì)于平面或圓柱面而言,LN-M2=0,即K=0,點(diǎn)P為拋物點(diǎn).2a級(jí)曲面特征A級(jí)曲面(ClassASurface)一詞首先是由法國(guó)DassaultSystem公司在開(kāi)發(fā)大型CAD/CAM軟件包CATIA時(shí)提出并付諸應(yīng)用的,專(zhuān)指汽車(chē)設(shè)計(jì)中既滿足幾何光滑要求,又滿足審美需求的曲面.最初A級(jí)曲面主要應(yīng)用在汽車(chē)車(chē)身設(shè)計(jì)領(lǐng)域,如發(fā)動(dòng)機(jī)罩、前后翼子板、前后保險(xiǎn)杠、車(chē)門(mén)、后背門(mén)及頂蓋等.目前隨著人們對(duì)A級(jí)曲面認(rèn)知程度的提高,A級(jí)曲面已經(jīng)廣泛應(yīng)用在飛機(jī)、動(dòng)車(chē)、船舶、手機(jī)和衛(wèi)生設(shè)備等多種工業(yè)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)過(guò)程中.參照施法中和朱心雄關(guān)于A級(jí)曲面特征的介紹,可以將A級(jí)曲面定義為:(1)大的曲面片是全凸的,即不存在奇異多余的拐點(diǎn);(2)曲率變化分布均勻;(3)曲面滿足G2(曲率)連續(xù)或者以上;(4)應(yīng)變能最小.在工程實(shí)際應(yīng)用中,創(chuàng)建A級(jí)曲面通常有兩種方法,一種是采用四邊域?yàn)榛A(chǔ)的單曲面來(lái)創(chuàng)建A級(jí)曲面.此種方法操作簡(jiǎn)單,僅適用于曲面較大但其曲率變化較小的零件,不適合創(chuàng)建復(fù)雜型面的曲面.第二種方法是利用多個(gè)彼此相交的曲面來(lái)“拼”成所需要的復(fù)合曲面模型,適用于創(chuàng)建曲率變化較大的復(fù)雜曲面模型.在此方法中,用來(lái)連接兩個(gè)基礎(chǔ)曲面的過(guò)渡曲面又稱為橋接曲面,基礎(chǔ)曲面與橋接曲面的關(guān)系如圖2所示.3橋接曲面的連續(xù)級(jí)別由于采用四邊域方法生成A級(jí)曲面的應(yīng)用領(lǐng)域較窄,所以目前科研人員都將采用橋接曲面方法生成復(fù)合曲面模型作為研究的重點(diǎn)內(nèi)容.按照曲面類(lèi)零件設(shè)計(jì)等級(jí)的不同,通常將基礎(chǔ)曲面與橋接曲面劃分為3種連續(xù)等級(jí),分別為G0-位置連續(xù),G1-切線連續(xù)和G2-曲率連續(xù),總體上說(shuō),提高曲面的連續(xù)級(jí)別可以使曲面看起來(lái)更加光滑流暢.在三維CAD軟件中,通常使用不同的顏色來(lái)表示曲面上不同的高斯曲率值,曲面某區(qū)域的高斯曲率值如果相同,則該區(qū)域的顏色就是一致的;如果曲面上的高斯曲率值發(fā)生突變,則顏色也會(huì)隨之改變.所以通過(guò)觀察基礎(chǔ)曲面與橋接曲面顏色的變化可以直觀地對(duì)曲面連續(xù)級(jí)別進(jìn)行判斷.下面將結(jié)合具體曲面,分別探討3種連續(xù)等級(jí)的高斯曲率色標(biāo)圖分布特點(diǎn).3.1高斯曲率色標(biāo).當(dāng)兩基礎(chǔ)曲面間為G0-位置連續(xù)時(shí),橋接曲面的邊界線空間直線,且其端點(diǎn)與基礎(chǔ)曲面的端點(diǎn)重合.橋接曲面一般為采用直紋面生成的空間近似平面,可以保證兩基礎(chǔ)曲面間完全接觸,即沒(méi)有縫隙,高斯曲率色標(biāo)圖如圖3所示.從圖3可以看出,因?yàn)榛A(chǔ)曲面為空間自由曲面,其高斯曲率色標(biāo)會(huì)根據(jù)曲面不同位置的彎曲程度而發(fā)生變化,但由于橋接曲面為近似平面,所以其高斯曲率值處處近似為零,即顏色幾乎沒(méi)有變化.雖然G0位置連續(xù)保證了兩基礎(chǔ)曲面間可以完全接觸,但在過(guò)渡處存在一個(gè)很尖銳的接縫,所以位置連續(xù)屬于連續(xù)性等級(jí)中最低的一種,應(yīng)極力避免.3.2橋接過(guò)程中的不穩(wěn)定性當(dāng)兩基礎(chǔ)曲面間為G1-切線連續(xù)時(shí),橋接曲面的邊界線空間自由曲線,同樣其端點(diǎn)也與基礎(chǔ)曲面的端點(diǎn)重合,橋接曲面為空間自由曲面,高斯曲率色標(biāo)圖如圖4所示.從圖4可以看出,雖然切線連續(xù)保證了曲面在橋接過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)尖銳的接縫,但由于在曲面過(guò)渡處明顯存在顏色的錯(cuò)位和突變,即在視覺(jué)上仍會(huì)有一種表面中斷的感覺(jué),所以切向連續(xù)只在汽車(chē)、飛機(jī)和船舶外表面的低可見(jiàn)區(qū)域以及內(nèi)飾的大部分曲面中允許存在.3.3高斯曲率色標(biāo)試驗(yàn)當(dāng)兩基礎(chǔ)曲面間為G2-曲率連續(xù)時(shí),不僅曲面間沒(méi)有尖銳的接縫,而且具有光滑流暢的視覺(jué)效果,高斯曲率色標(biāo)圖如圖5所示.從圖5可以看出,曲面間高斯曲率色標(biāo)過(guò)渡自然,沒(méi)有發(fā)生錯(cuò)位和突變的現(xiàn)象,達(dá)到了A級(jí)曲面的要求.由于曲率連續(xù)曲面具有上述特點(diǎn),所以其廣泛應(yīng)用在汽車(chē)車(chē)身外形、儀表板、高可見(jiàn)內(nèi)飾件和動(dòng)車(chē)組外形等對(duì)曲面質(zhì)量要求較高的曲面類(lèi)零件上.4車(chē)載外包的高斯曲率色標(biāo)圖采用橋接方法創(chuàng)建了某轎車(chē)車(chē)門(mén)外板曲面,其高斯曲率色標(biāo)如圖6所示.從圖6可以看出,轎車(chē)車(chē)門(mén)外板除門(mén)把手外,整個(gè)曲面的高斯曲率色標(biāo)圖顏色變化均勻,過(guò)渡自然,且沒(méi)有突變的地方,已經(jīng)滿足G2曲率連續(xù)的要求,說(shuō)明曲面整體質(zhì)量已經(jīng)達(dá)到了A級(jí)曲面的標(biāo)準(zhǔn).5高斯曲率法快速響應(yīng)面分析設(shè)計(jì)出曲面流暢且符合美學(xué)