習(xí)題和答案文檔

PAGEPAGE4第三章習(xí)題1.考慮如下貝葉斯博弈：（1）自然決定支付矩陣（a）或(b)，概率分別為和；（2）參與人1知道自然的選擇，即知道自然選擇支付矩陣（a）或(b)，但是參與人不知道自然的選擇；（3）參與人1和參與2同時(shí)行動(dòng)（參與人1選擇T或B時(shí)不知參與人的選擇，參與人2選擇L或R不知參與人1的選擇）。給出這個(gè)博弈的擴(kuò)展式表述并求純戰(zhàn)略貝葉斯均衡。表3.1.aLRT1,10,0B0,00,0表3.1.bLRT0,00,0B0,02,22.考慮如下擾動(dòng)的性別戰(zhàn)博弈,其中服從的均勻分布,，和是獨(dú)立的,是參與人i的私人信息。a.求出以上博弈所有純戰(zhàn)略貝葉斯均衡。b.證明當(dāng)時(shí)，以上貝葉斯均衡和完全信息的混合戰(zhàn)略納什均衡相同。表3.2足球芭蕾足球芭蕾3.考慮如下標(biāo)準(zhǔn)式博弈的均衡，存在的唯一納什均衡就是每個(gè)參與人i都以1/2的概率選擇H。利用海薩應(yīng)純化定理，構(gòu)造一個(gè)擾動(dòng)的不完全信息博弈，其純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡收斂于以下完全信息的混合戰(zhàn)略均衡（Gibbons書中習(xí)題3.5）。表3.3HTH1，-1-1，1T-1，11，-14.在一個(gè)5人參加的私人價(jià)值的一級(jí)價(jià)格拍賣中是貝葉斯納什均衡，是參與i的叫價(jià)，是參與人i的價(jià)值信息，獨(dú)立的服從于的均衡分布。利用顯示原理構(gòu)造一個(gè)直接機(jī)制，均衡結(jié)果與以上貝葉斯納什均衡完全相同。5.一個(gè)壟斷企業(yè)的成本函數(shù)為,其中是產(chǎn)量，為邊際成本，是固定成本。假定是私人信息，固定成本和市場(chǎng)需求是共同信息?？紤]如下直接機(jī)制其中為政府規(guī)定的價(jià)格，是政府對(duì)企業(yè)的補(bǔ)償，是企業(yè)自己報(bào)告的成本。a.證明如果則企業(yè)會(huì)謊報(bào)邊際成本。b.在時(shí)，如何規(guī)定才能誘使企業(yè)說實(shí)話。6.兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決定是否進(jìn)入一個(gè)市場(chǎng)。企業(yè)i的進(jìn)入成本是私人信息，是服從分布函數(shù)的隨機(jī)變量以及分布密度嚴(yán)格大于零，并且和兩者獨(dú)立。如果只有一個(gè)企業(yè)進(jìn)入，進(jìn)入企業(yè)i的利潤函數(shù)；如果兩個(gè)企業(yè)都進(jìn)入，則企業(yè)i的利潤函數(shù)為；如果沒有企業(yè)進(jìn)入，利潤為零。假定和是共同知識(shí)，且，計(jì)算貝葉斯均衡并證明對(duì)稱均衡是唯一的。7.考慮如下結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱信息的古諾博弈。市場(chǎng)逆需求函數(shù)，企業(yè)的成本函數(shù)為；企業(yè)2的成本函數(shù)為為企業(yè)2的產(chǎn)量水平，可能取值為。企業(yè)2知道確切取值，但是企業(yè)1不知道其確切值，只知道的概率為?，F(xiàn)在假定兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量水平，且以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識(shí)，求解均衡時(shí)企業(yè)的產(chǎn)量的水平。8.考慮如下非對(duì)稱信息的產(chǎn)品差異化的伯川德博弈：企業(yè)i的市場(chǎng)需求，兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)成本都為零；取值是或且，且的概率為，而；是企業(yè)1的私人信息，是共同信息?，F(xiàn)假定兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇價(jià)格，以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識(shí)，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡（摘自Gibbons書上習(xí)題3.3）。9.考慮兩個(gè)參與人的公共物品供模型。參與人1和2同時(shí)決定是否提供某項(xiàng)公共物品，提供公共物品是0—1決策。如果任何一個(gè)參與人i已經(jīng)提供公共物品，則每個(gè)參與人j都可以得到效用4。參與人i提供公共物品成本是在都定義域?yàn)?，分布函?shù)為的隨機(jī)變量，而且提供成本是參與人私人信息（摘自Tirole和Fudenberg例子6.1）。a.如果成本服從均勻分布，求解其對(duì)稱均衡。b.證明如果滿足條件，證明以上博弈存在非對(duì)稱均衡。表3.4提供不提供提供，，4不提供4，0，010.考慮個(gè)參與人的公共物品供模型。所有參與人同時(shí)決定是否提供某項(xiàng)公共物品，提供公共物品是0—1決策。如果任何個(gè)或者以上的參與人已經(jīng)提供公共物品，則每個(gè)參與人j都可以得到效用1，否則就是0。參與人i提供公共物品成本是在都定義域?yàn)樯系木鶆蚍植嫉碾S機(jī)變量，而且提供成本是參與人私人信息，求出兩個(gè)對(duì)稱貝葉斯納什均衡（改自Tirole和Fudenberg練習(xí)6.1）。11.在人參加的私人價(jià)值拍賣，參與人的類型都服從上的均勻分布，參與人的類型是私人信息，的分布是共同知識(shí)。a.如果實(shí)行一級(jí)價(jià)格拍賣，則求對(duì)稱的貝葉斯納什均衡。b.如果實(shí)行二級(jí)價(jià)格拍賣，則求其貝葉斯納什均衡。c.在以上兩種類型拍賣中，證明拍賣人的期望收入相同。12.在一個(gè)三人參加的一級(jí)價(jià)格拍賣中，參與人i的類型都服從的均勻分布，而且和的分布獨(dú)立。是參與人i的私人信息，即參與人i只知道的確切值，而不知道確切值，僅僅知道的分布。（根據(jù)Myerson書中練習(xí)3.7和3.8加以改編）。a.如果，其中表示物品對(duì)參與人i的價(jià)值，則求解此時(shí)對(duì)稱的貝葉斯納什均衡。b.如果，其中表示物品對(duì)參與人i的價(jià)值，則求解此時(shí)對(duì)稱的貝葉斯納什均衡。c.a中標(biāo)價(jià)高于b中的，說明理由。13.考慮一個(gè)離散兩個(gè)參與的一級(jí)價(jià)格私人價(jià)值拍賣。物品對(duì)于參與人i的私人價(jià)值是私人信息，都取兩個(gè)值：。參與人1的私人價(jià)值的概率是，參與人1的私人價(jià)值的概率是，以上信息都是共同知識(shí)。根據(jù)拍賣理論求出以上博弈的貝葉斯納什均衡。14.考慮一個(gè)不完全信息兩人博弈的消耗戰(zhàn)模型。兩個(gè)參與人同時(shí)出價(jià)，并且的取值范圍為。每個(gè)參與人類型空間是參與人的私人信息，取值范圍為，對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為，同時(shí)和兩者是獨(dú)立的?，F(xiàn)在假定參與人的效用函數(shù)為：反之則（摘自Tirole和Fudenberg例子6.3）。a.證明參與人最優(yōu)出價(jià)戰(zhàn)略是的遞增函數(shù)。b.如果，則求出其對(duì)稱均衡。c.如果，證明以上博弈存在一個(gè)非對(duì)稱均衡。15.（顯示原理）證明任何一個(gè)貝葉斯納什均衡的結(jié)果都可能用一個(gè)直接機(jī)制達(dá)到。16.海薩尼（1968）認(rèn)為任何參與人關(guān)于博弈結(jié)構(gòu)的不確定性都可以歸結(jié)對(duì)于參與人效用函數(shù)的不確定性。更加重要地是，參與人對(duì)于其他參與人的效用函數(shù)的不確定性都可以形成主觀概率，而在一般情況下所有參與人的主觀概率分布應(yīng)該是從共同的先驗(yàn)分布中導(dǎo)出。在此條件下，海薩尼認(rèn)為任何不完全信息的博弈都有標(biāo)準(zhǔn)形式，其中表示戰(zhàn)略，表示參與人私人信息，表示效用函數(shù)，表示所有不確定性的先驗(yàn)分布。在以上標(biāo)準(zhǔn)式基礎(chǔ)上，海薩尼定義任何不完全信息博弈半標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)略式和標(biāo)準(zhǔn)的戰(zhàn)略式,其中表示參與人類型依存戰(zhàn)略，表示參與人i類型為時(shí)的條件期望效用，表示參與人的預(yù)期效用。在此基礎(chǔ)上，海薩尼在半標(biāo)準(zhǔn)的戰(zhàn)略式定義貝葉斯納什均衡，即任何參與人i在給定類型時(shí)最大化此時(shí)的條件期望效用。a.類型依存戰(zhàn)略是半標(biāo)準(zhǔn)式的貝葉斯納什均衡充要條件是是標(biāo)準(zhǔn)式的納什均衡。b.任何一個(gè)不完全信息的有限博弈都存在一個(gè)貝葉斯納什均衡。17.考慮一個(gè)壟斷定價(jià)模型。消費(fèi)者的效用函數(shù)為，其中是消費(fèi)量，是支付給壟斷者的費(fèi)用。壟斷者成本函數(shù)為，并且壟斷者擁有完全的討價(jià)還價(jià)能力，消費(fèi)者保留效用為0。消費(fèi)者偏好參數(shù)可以取值，,和，并且的概率為。如果存在信息不對(duì)稱，壟斷者不知消費(fèi)者的偏好參數(shù)，但是知道其分布?，F(xiàn)在假設(shè)，求解最優(yōu)的銷售計(jì)劃。18.考慮一個(gè)壟斷定價(jià)模型。消費(fèi)者的效用函數(shù)為：，其中是消費(fèi)量，是支付給壟斷者的費(fèi)用。壟斷者成本函數(shù)為并且壟斷者擁有完全討價(jià)還價(jià)能力，消費(fèi)者保留效用為0。消費(fèi)者偏好參數(shù)可以取值和，并且的概率為（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)7.8）。a.如果信息完全，求解此時(shí)最優(yōu)消費(fèi)和支付。b.如果信息不完全，即壟斷者不了解消費(fèi)者的偏好參數(shù)時(shí)，計(jì)算此時(shí)最優(yōu)的消費(fèi)量和支付的費(fèi)用（假定）。c.現(xiàn)假定消費(fèi)者可以花費(fèi)購買一項(xiàng)技術(shù)，其生產(chǎn)的成本函數(shù)為。假定消費(fèi)要么從壟斷者購買產(chǎn)品，要么自身生產(chǎn)。最后假定技術(shù)滿足：?jiǎn)栐诖藯l件下b中壟斷廠商定價(jià)方案是否還是最優(yōu)的？d.在c條件下，求出此時(shí)最優(yōu)定價(jià)方案。19.考慮如下一個(gè)規(guī)制問題，政府與一個(gè)勞動(dòng)者管理的企業(yè)的最優(yōu)合同問題。勞動(dòng)者管理的企業(yè)利潤函數(shù)是：，其中是企業(yè)工人人數(shù)，是企業(yè)收益函數(shù)且，是固定成本，是政府的轉(zhuǎn)移支付，是企業(yè)的私人信息。企業(yè)最優(yōu)目標(biāo)是最大化人均利潤。證明一個(gè)單調(diào)遞增的員工函數(shù)滿足激勵(lì)相容約束當(dāng)且當(dāng)：。20.考慮如下討價(jià)還價(jià)模型。買者的估價(jià)和賣者的生產(chǎn)產(chǎn)品的邊際成本（固定成本為0）都是私人信息；買者類型為，且概率都為1/2，賣者的類型為，且概率都為1/2。假定且。a.證明如果所有事后有效交易都能實(shí)現(xiàn)，則。b.證明如果，則所有事后有效交易必然能實(shí)現(xiàn)。21.（無效率定理）考慮一個(gè)兩邊不對(duì)稱信息的交易模型。假定交易物品對(duì)于賣者的價(jià)值為，并且是賣者私人信息；交易物品對(duì)于買者的價(jià)值為并且是買者的私人信息；取值范圍為，且累計(jì)分布，且和的分布是獨(dú)立的。a.證明如果滿足，所有事后有效交易都能實(shí)現(xiàn)。b.證明如果滿足，所有事后有效交易肯定不能都實(shí)現(xiàn)。22.考慮如下一個(gè)規(guī)制問題。一個(gè)公共服務(wù)的企業(yè)的成本函數(shù)，其中是企業(yè)的產(chǎn)出，是企業(yè)的努力，是企業(yè)固定成本。規(guī)制者政府僅僅觀察到企業(yè)的總成本和產(chǎn)出，不能觀察到企業(yè)的類型。企業(yè)的效用函數(shù)是，其中是政府的轉(zhuǎn)移支付，；以及企業(yè)保留效用是0。企業(yè)技術(shù)參數(shù)取值為的概率為，取值為為。社會(huì)福利函數(shù)，其中是消費(fèi)者總剩余，是企業(yè)銷售收入，是公共資金的影子成本（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)7.9）。a.如果政府規(guī)制者可以完全觀察到，則最優(yōu)的銷售數(shù)量和企業(yè)努力。b.如果政府規(guī)制者不能觀察到，則證明最優(yōu)的企業(yè)努力滿足：23.（電子郵件博弈）考慮如下貝葉斯博弈，參與人1為類型概率為0.9，而為的概率為0.1?，F(xiàn)在參與人1和參與人2進(jìn)行如下方式的交流；如果參與人1為類型，則參與1不向參與人2發(fā)送任何電子郵件；如果為類型,則向參與人2發(fā)送一封電子郵件，告訴參與人2自己是類型；自此之后，參與人2和類型為參與人1則會(huì)相互發(fā)送電子郵件，