第五章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)

工程測(cè)量學(xué)中國(guó)海洋大學(xué)2023/12/15第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)§5.1觀測(cè)誤差概述§5.2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)§5.3算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差§5.4誤差傳播定律§5.1觀測(cè)誤差的分類S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3=56.745m理論上：∠A+∠B+∠C=180

實(shí)測(cè)中：A+∠B+∠C≠180理論上：h1+h2+h3+h4=0實(shí)測(cè)中：h1+h2+h3+h4≠05.1.1觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差指被觀測(cè)對(duì)象的觀測(cè)值與真實(shí)值或理論值間的差值。一般用符號(hào)△表示。即：

△=L觀–X真（或X理）例如：

角度測(cè)量—

三角形的閉合差：

W=

∠A+∠B+∠C–180O

高程測(cè)量—

閉合水準(zhǔn)線路的高差閉合差：

fh=Σhi5.1.2觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因觀測(cè)條件

（1）測(cè)量?jī)x器：水準(zhǔn)儀、經(jīng)緯儀等（2）觀測(cè)者：人—

作業(yè)員（3）外界條件：風(fēng)、溫度、日照等

觀測(cè)誤差5.1.2觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因

儀器帶來(lái)的鋼尺量距——刻劃線刻劃不均勻水準(zhǔn)測(cè)量——i角誤差5.1.2觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因

觀測(cè)人員水準(zhǔn)測(cè)量

水準(zhǔn)尺上讀數(shù)

1591

?中絲讀數(shù)：1592?1593?5.1.2觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因

環(huán)境的影響照準(zhǔn)目標(biāo)大氣折光5.1.2觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因

產(chǎn)生的原因-----觀測(cè)條件

測(cè)量?jī)x器：儀器構(gòu)造上無(wú)法達(dá)到理論上的要求；

觀測(cè)者：人的感官上的局限性、操作技能等；

外界條件：觀測(cè)時(shí)所處的外界環(huán)境；

如風(fēng)力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。測(cè)量中，我們將觀測(cè)時(shí)的人、儀器和環(huán)境統(tǒng)稱為觀測(cè)條件；觀測(cè)條件變了觀測(cè)成果的質(zhì)量也就不一樣了。5.1.3觀測(cè)誤差的種類及其處理原則系統(tǒng)誤差：在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)，若各觀測(cè)誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者具有一定的規(guī)律性，或?yàn)橐怀?shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。

偶然誤差：在相同觀測(cè)條件下，對(duì)一觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)，若各觀測(cè)誤差在大小和符號(hào)上表現(xiàn)出偶然性，即單個(gè)誤差而言，該誤差的大小和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，但就大量的誤差而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差就稱為偶然誤差。

粗差：由于觀測(cè)條件的不好，使得觀測(cè)值中含有的誤差較大或超過(guò)了規(guī)定的數(shù)值，這種誤差就稱為粗差。5.1.3觀測(cè)誤差的種類及其處理原則

鋼尺量距

系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)及解決辦法5.1.3觀測(cè)誤差的種類及其處理原則水準(zhǔn)測(cè)量——i角誤差

系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)及解決辦法5.1.3觀測(cè)誤差的種類及其處理原則偶然誤差水準(zhǔn)讀數(shù)

假若：此水準(zhǔn)尺的中絲讀數(shù)的真值：1592第一次估讀：1591第二次：1591？

1592？

1593？第三次：？5.1.3觀測(cè)誤差的種類及其處理原則多余觀測(cè)

測(cè)量中為防止錯(cuò)誤出現(xiàn)和提高測(cè)量精度，一般需要對(duì)觀測(cè)量（對(duì)象）采取多次（或重復(fù)）觀測(cè)，或除觀測(cè)必要的觀測(cè)量外，還需觀測(cè)與必要觀測(cè)量有幾何關(guān)系或函數(shù)關(guān)系的其他觀測(cè)量，用作對(duì)觀測(cè)量的檢核。因此，把重復(fù)觀測(cè)值或與必要觀測(cè)量有幾何關(guān)系或函數(shù)關(guān)系的其他觀測(cè)量稱之為多余觀測(cè)。關(guān)于高斯的介紹高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)，德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。1787年高斯10歲解答了數(shù)學(xué)老師提出的級(jí)數(shù)問(wèn)題。1788年，11歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。1792年，高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。這年，高斯十五歲。在那里，高斯開始對(duì)高等數(shù)學(xué)作研究。并且獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的「二次互逆定理」(LawofQuadraticReciprocity)、質(zhì)數(shù)分布定理(primenumertheorem)、及算術(shù)幾何平均(arithmetic-geometricmean)。

1795年，他進(jìn)入德國(guó)著名的哥丁根大學(xué)，1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克。名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲，1802年，高斯被俄國(guó)彼得堡科學(xué)院選為通訊院士、喀山大學(xué)教授。1807年，高斯赴哥丁根就職哥丁根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，以及哥丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)的職位?！白顐ゴ蟮娜唬ɑ蛩奈唬?shù)學(xué)家之一”（阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）。

5.1.4偶然誤差的特性例：在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角?！鳎椋?/p>

∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180

誤差分布表本課程假定：

含粗差的觀測(cè)值已被剔除；含系統(tǒng)誤差的觀測(cè)值已經(jīng)過(guò)適當(dāng)改正：

如：加改正數(shù)、采取適當(dāng)?shù)挠^測(cè)措施等。因此，在觀測(cè)誤差中，僅含偶然誤差，或是偶然誤差占主導(dǎo)地位5.1.4偶然誤差的特性

通過(guò)對(duì)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，特別是當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n足夠多時(shí)，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：（1）在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值;-----限值特性（2）絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值大的出現(xiàn)的可能性要大;-----小誤差大概率特性（3）絕對(duì)值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等;-----等值等概率特性

（4）當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)窮增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值為零.-----均值零特性5.1.4偶然誤差的特性直方圖5.1.4偶然誤差的特性誤差分布曲線

觀測(cè)次數(shù)n

→∞2）|Δ|

↘，f(Δ)↗；當(dāng)Δ=0時(shí)；f(Δ)有最大值；

Δ→±∞

時(shí)，f(Δ)→0，1）f(Δ)是偶函數(shù)；f(-Δ)=f(Δ)§5.2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1精度概念：是指一組觀測(cè)值誤差分布的密集或離散的程度。準(zhǔn)確度：指觀測(cè)值與真值的接近程度。

精度好，說(shuō)明觀測(cè)值誤差分布得越密集,但這并不等價(jià)于觀測(cè)值離真值就越接近只說(shuō)明了觀測(cè)值很穩(wěn)定。準(zhǔn)確度好則離真值越接近。

同精度、不同精度：

觀測(cè)條件是否相同

5.2.2衡量精度的指標(biāo)方差

f(Δ)二階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，可求得曲線拐點(diǎn)Δ拐=±σ;

當(dāng)

Δ拐=±σ愈大時(shí)，曲線愈平緩，小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)較少且分布較分散；當(dāng)Δ拐=±σ

愈小時(shí)，曲線愈陡峭，小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)越多越集中。

可見，參數(shù)σ的值表征了誤差擴(kuò)散的特征,可衡量觀測(cè)質(zhì)量。5.2.2衡量精度的指標(biāo)方差

觀測(cè)次數(shù)n

→∞

方差↘，精度↗；方差↗，精度↘1、標(biāo)準(zhǔn)差

觀測(cè)次數(shù)n

→∞

誤差曲線的：±σ=Δ拐2、中誤差

觀測(cè)次數(shù)n

→

有限個(gè)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差σ的估值m為中誤差

在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一組觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)；等精度觀測(cè)值具有相同的中誤差。5.2.2衡量精度的指標(biāo)

方差：標(biāo)準(zhǔn)差——中誤差例1：對(duì)某三角形采用兩種不同的精度分別進(jìn)行了10次觀測(cè)，三角形內(nèi)角和的觀測(cè)誤差（閉合差）如下，求出兩組三角形閉合差的中誤差。第一組：+3，-2，-4，+2，0，

-4，+3，+2，-3，-1，第二組：0，-1，-7，+2，+1，

+1，-8，0，+3，-1

在計(jì)算中誤差m時(shí)應(yīng)取2-3位有效數(shù)字，并在數(shù)值前冠以"±"號(hào)，數(shù)值后寫上“單位”。5.2.2衡量精度的指標(biāo)

極限誤差（限差）——容許誤差

根據(jù)誤差理論可知，在大量同精度觀測(cè)的一組誤差中，誤差落在以下區(qū)間的概率分別為：

P（-σ＜Δ＜+σ）≈68.3%

P（-2σ＜Δ＜+2σ）≈95.5%

P（-3σ＜Δ＜+3σ）≈99.7%

大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)誤差Δ出現(xiàn)的概率只有0.3%，是小概率事件。通常將2倍標(biāo)準(zhǔn)差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差，即：Δ限=2σ5.2.2衡量精度的指標(biāo)

相對(duì)誤差

例2：線段AB的長(zhǎng)度為10m,線段CD的長(zhǎng)度為100m，均丈量?jī)纱?，兩次丈量值的差值分別為：

ΔAB=10㎝；ΔCD=20㎝,那條線段丈量的精度好？

相對(duì)誤差等于誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值之比。5.2.2衡量精度的指標(biāo)

相對(duì)誤差例3:丈量?jī)啥尉嚯x：L1=1000m；

L2=80m，中誤差分別為:

m1=±20mm，

m2=±20mm，那條線段丈量的精度好？

相對(duì)中誤差，它是中誤差絕對(duì)值與觀測(cè)值之比?！?.3算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差

5.3.1算術(shù)平均值及其中誤差

算術(shù)平均值

設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為L(zhǎng)1，L2，…Ln，求該未知量的最佳值？

Δi=Li－X；（i=1，2，3，…，n，

X為未知量的真值）令：

x稱之為觀測(cè)值Li的算術(shù)平均值，又稱為最或然值。

5.3.1算術(shù)平均值及其中誤差

算術(shù)平均值的中誤差

同精度條件下，對(duì)觀測(cè)值Li有：m1=m2=…=mn

=m,求mx

?算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值中誤差的倍。5.3.2觀測(cè)值的改正數(shù)改正數(shù)

算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差稱為觀測(cè)值的改正數(shù)。一般用小寫字母v表示。改正數(shù)的特性5.3.3由改正數(shù)計(jì)算中誤差同精度條件下，計(jì)算中誤差

5.3.3由改正數(shù)計(jì)算中誤差

例4：對(duì)某段距離同精度測(cè)量了4次，四次丈量值分別為：

25.066m,25.068m,25.056m,25.062m；試求該段距離的最或然值、觀測(cè)值中誤差及最或然值中誤差。次序觀測(cè)值l/m改正數(shù)v/mmvv/mm計(jì)算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11∑x=25.0630.084§5.4誤差傳播定律

5.4.1概述定義

是闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。用途

可根據(jù)觀測(cè)值中誤差求得觀測(cè)值函數(shù)的中誤差。例如

5.4.2誤差傳播定律

傳播定律問(wèn)題：設(shè)有一般函數(shù)：Z=f（x1，x2，…xm）式中

xi為獨(dú)立觀測(cè)值，其中誤差為

mi，（i=1，2，…m），求z的中誤差？前提：在推導(dǎo)和運(yùn)用誤差除傳播定律時(shí)，函數(shù)中的自變量

——

觀測(cè)值間應(yīng)該是相互獨(dú)立的，兩兩之間不能相互表達(dá)。

推導(dǎo)思想：函數(shù)Z的誤差Δz與觀測(cè)值xi的誤差Δi間的關(guān)系可由全微分的形式來(lái)表達(dá)。5.4.2誤差傳播定律公式推導(dǎo)5.4.3誤差傳播定律的幾個(gè)特例

倍數(shù)關(guān)系

5.4.3誤差傳播定律的幾個(gè)特例和差關(guān)系5.4.3誤差傳播定律的幾個(gè)特例一般線性關(guān)系5.4.4誤差傳播定律的幾個(gè)特例1.觀測(cè)值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差乘常數(shù)。

2.兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方和。

3.k個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于k個(gè)觀測(cè)值中誤差的平方和。

4.k個(gè)同精度觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)k的平方根成正比。注意：觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。5.4.5誤差傳播定律題例

例5：如右圖，由A點(diǎn)求B的坐標(biāo)值，觀測(cè)值為角度β和距離S，且已知測(cè)角中誤差mβ,測(cè)距中誤差mS，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)值無(wú)誤差，則B點(diǎn)的坐標(biāo)精度

mx、my?5.4.5誤差傳播定律題例-—例5：計(jì)算步驟1.列出函數(shù)式：

Z=f（x1，x2，…xn）2.對(duì)函數(shù)式求導(dǎo)，得出函數(shù)的真誤差和觀測(cè)值真誤差的關(guān)系式。3.寫出函數(shù)的中誤差觀測(cè)值中誤差之間的的關(guān)系式。5.4.6同精度條件下，計(jì)算中誤差的幾種方法

由真誤差計(jì)算中誤差

Δi=Li-X（i=1，2，3，…，n）例5：在相同條件下，共觀測(cè)了24個(gè)三角形每個(gè)內(nèi)角，由觀測(cè)值算得各三角形的角度閉合差如下（單位秒）：-2.7，-0.6，+3.2，-1.9，+3.0，+1.7，+2.5，-0.8，-0.3，+2.6，-1.4，-0.1，+1.4，-0.6，-2.0，+3.6，+0.5，+1.2，-2.7，-0.6，+1.3，+1.5，-1.3，-0.8。

試計(jì)算每個(gè)三角形閉合差的中誤差mω和測(cè)角中誤差mβ。5.4.7同精度條件下，中誤差的計(jì)算由雙觀測(cè)值的差數(shù)計(jì)算中誤差

di=

L1i

-L2i

（i=1，2，3，…，n）例6：對(duì)8條邊作等精度雙次觀測(cè)，結(jié)果如下。取每條邊的算術(shù)平均值為該邊的最或然值，求觀測(cè)值中誤差和最或然值中誤差。編號(hào)：12345678

L1：