第五章 測量誤差的基本知識

工程測量學中國海洋大學2023/12/15第五章測量誤差的基本知識§5.1觀測誤差概述§5.2衡量精度的標準§5.3算術(shù)平均值及觀測值的中誤差§5.4誤差傳播定律§5.1觀測誤差的分類S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3=56.745m理論上：∠A+∠B+∠C=180

實測中：A+∠B+∠C≠180理論上：h1+h2+h3+h4=0實測中：h1+h2+h3+h4≠05.1.1觀測誤差觀測誤差指被觀測對象的觀測值與真實值或理論值間的差值。一般用符號△表示。即：

△=L觀–X真（或X理）例如：

角度測量—

三角形的閉合差：

W=

∠A+∠B+∠C–180O

高程測量—

閉合水準線路的高差閉合差：

fh=Σhi5.1.2觀測誤差產(chǎn)生的原因觀測條件

（1）測量儀器：水準儀、經(jīng)緯儀等（2）觀測者：人—

作業(yè)員（3）外界條件：風、溫度、日照等

觀測誤差5.1.2觀測誤差產(chǎn)生的原因

儀器帶來的鋼尺量距——刻劃線刻劃不均勻水準測量——i角誤差5.1.2觀測誤差產(chǎn)生的原因

觀測人員水準測量

水準尺上讀數(shù)

1591

?中絲讀數(shù)：1592?1593?5.1.2觀測誤差產(chǎn)生的原因

環(huán)境的影響照準目標大氣折光5.1.2觀測誤差產(chǎn)生的原因

產(chǎn)生的原因-----觀測條件

測量儀器：儀器構(gòu)造上無法達到理論上的要求；

觀測者：人的感官上的局限性、操作技能等；

外界條件：觀測時所處的外界環(huán)境；

如風力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。測量中，我們將觀測時的人、儀器和環(huán)境統(tǒng)稱為觀測條件；觀測條件變了觀測成果的質(zhì)量也就不一樣了。5.1.3觀測誤差的種類及其處理原則系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，對某一觀測量進行多次觀測，若各觀測誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者具有一定的規(guī)律性，或為一常數(shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。

偶然誤差：在相同觀測條件下，對一觀測量進行多次觀測，若各觀測誤差在大小和符號上表現(xiàn)出偶然性，即單個誤差而言，該誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量的誤差而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差就稱為偶然誤差。

粗差：由于觀測條件的不好，使得觀測值中含有的誤差較大或超過了規(guī)定的數(shù)值，這種誤差就稱為粗差。5.1.3觀測誤差的種類及其處理原則

鋼尺量距

系統(tǒng)誤差的特點及解決辦法5.1.3觀測誤差的種類及其處理原則水準測量——i角誤差

系統(tǒng)誤差的特點及解決辦法5.1.3觀測誤差的種類及其處理原則偶然誤差水準讀數(shù)

假若：此水準尺的中絲讀數(shù)的真值：1592第一次估讀：1591第二次：1591？

1592？

1593？第三次：？5.1.3觀測誤差的種類及其處理原則多余觀測

測量中為防止錯誤出現(xiàn)和提高測量精度，一般需要對觀測量（對象）采取多次（或重復(fù)）觀測，或除觀測必要的觀測量外，還需觀測與必要觀測量有幾何關(guān)系或函數(shù)關(guān)系的其他觀測量，用作對觀測量的檢核。因此，把重復(fù)觀測值或與必要觀測量有幾何關(guān)系或函數(shù)關(guān)系的其他觀測量稱之為多余觀測。關(guān)于高斯的介紹高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)，德國數(shù)學家、天文學家、物理學家、大地測量學家。1787年高斯10歲解答了數(shù)學老師提出的級數(shù)問題。1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數(shù)學尤為突出。1792年，高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續(xù)學習。這年，高斯十五歲。在那里，高斯開始對高等數(shù)學作研究。并且獨立發(fā)現(xiàn)了二項式定理的一般形式、數(shù)論上的「二次互逆定理」(LawofQuadraticReciprocity)、質(zhì)數(shù)分布定理(primenumertheorem)、及算術(shù)幾何平均(arithmetic-geometricmean)。

1795年，他進入德國著名的哥丁根大學，1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克。名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲，1802年，高斯被俄國彼得堡科學院選為通訊院士、喀山大學教授。1807年，高斯赴哥丁根就職哥丁根大學數(shù)學和天文學教授，以及哥丁根天文臺臺長的職位?！白顐ゴ蟮娜唬ɑ蛩奈唬?shù)學家之一”（阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）。

5.1.4偶然誤差的特性例：在相同的觀測條件下，獨立地觀測了358個三角形的全部內(nèi)角?！鳎椋?/p>

∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180

誤差分布表本課程假定：

含粗差的觀測值已被剔除；含系統(tǒng)誤差的觀測值已經(jīng)過適當改正：

如：加改正數(shù)、采取適當?shù)挠^測措施等。因此，在觀測誤差中，僅含偶然誤差，或是偶然誤差占主導(dǎo)地位5.1.4偶然誤差的特性

通過對大量的實驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，特別是當觀測次數(shù)n足夠多時，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值;-----限值特性（2）絕對值較小的偶然誤差比絕對值大的出現(xiàn)的可能性要大;-----小誤差大概率特性（3）絕對值相等的正負偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等;-----等值等概率特性

（4）當觀測次數(shù)無窮增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值為零.-----均值零特性5.1.4偶然誤差的特性直方圖5.1.4偶然誤差的特性誤差分布曲線

觀測次數(shù)n

→∞2）|Δ|

↘，f(Δ)↗；當Δ=0時；f(Δ)有最大值；

Δ→±∞

時，f(Δ)→0，1）f(Δ)是偶函數(shù)；f(-Δ)=f(Δ)§5.2衡量精度的標準5.2.1精度概念：是指一組觀測值誤差分布的密集或離散的程度。準確度：指觀測值與真值的接近程度。

精度好，說明觀測值誤差分布得越密集,但這并不等價于觀測值離真值就越接近只說明了觀測值很穩(wěn)定。準確度好則離真值越接近。

同精度、不同精度：

觀測條件是否相同

5.2.2衡量精度的指標方差

f(Δ)二階導(dǎo)數(shù)等于零時，可求得曲線拐點Δ拐=±σ;

當

Δ拐=±σ愈大時，曲線愈平緩，小誤差出現(xiàn)的個數(shù)較少且分布較分散；當Δ拐=±σ

愈小時，曲線愈陡峭，小誤差出現(xiàn)的個數(shù)越多越集中。

可見，參數(shù)σ的值表征了誤差擴散的特征,可衡量觀測質(zhì)量。5.2.2衡量精度的指標方差

觀測次數(shù)n

→∞

方差↘，精度↗；方差↗，精度↘1、標準差

觀測次數(shù)n

→∞

誤差曲線的：±σ=Δ拐2、中誤差

觀測次數(shù)n

→

有限個數(shù)

標準差σ的估值m為中誤差

在相同的觀測條件下進行的一組觀測稱為等精度觀測；等精度觀測值具有相同的中誤差。5.2.2衡量精度的指標

方差：標準差——中誤差例1：對某三角形采用兩種不同的精度分別進行了10次觀測，三角形內(nèi)角和的觀測誤差（閉合差）如下，求出兩組三角形閉合差的中誤差。第一組：+3，-2，-4，+2，0，

-4，+3，+2，-3，-1，第二組：0，-1，-7，+2，+1，

+1，-8，0，+3，-1

在計算中誤差m時應(yīng)取2-3位有效數(shù)字，并在數(shù)值前冠以"±"號，數(shù)值后寫上“單位”。5.2.2衡量精度的指標

極限誤差（限差）——容許誤差

根據(jù)誤差理論可知，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在以下區(qū)間的概率分別為：

P（-σ＜Δ＜+σ）≈68.3%

P（-2σ＜Δ＜+2σ）≈95.5%

P（-3σ＜Δ＜+3σ）≈99.7%

大于三倍標準差的觀測誤差Δ出現(xiàn)的概率只有0.3%，是小概率事件。通常將2倍標準差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差，即：Δ限=2σ5.2.2衡量精度的指標

相對誤差

例2：線段AB的長度為10m,線段CD的長度為100m，均丈量兩次，兩次丈量值的差值分別為：

ΔAB=10㎝；ΔCD=20㎝,那條線段丈量的精度好？

相對誤差等于誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比。5.2.2衡量精度的指標

相對誤差例3:丈量兩段距離：L1=1000m；

L2=80m，中誤差分別為:

m1=±20mm，

m2=±20mm，那條線段丈量的精度好？

相對中誤差，它是中誤差絕對值與觀測值之比?！?.3算術(shù)平均值及觀測值的中誤差

5.3.1算術(shù)平均值及其中誤差

算術(shù)平均值

設(shè)在相同的觀測條件下，對未知量觀測了n次，觀測值為L1，L2，…Ln，求該未知量的最佳值？

Δi=Li－X；（i=1，2，3，…，n，

X為未知量的真值）令：

x稱之為觀測值Li的算術(shù)平均值，又稱為最或然值。

5.3.1算術(shù)平均值及其中誤差

算術(shù)平均值的中誤差

同精度條件下，對觀測值Li有：m1=m2=…=mn

=m,求mx

?算術(shù)平均值的中誤差為觀測值中誤差的倍。5.3.2觀測值的改正數(shù)改正數(shù)

算術(shù)平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正數(shù)。一般用小寫字母v表示。改正數(shù)的特性5.3.3由改正數(shù)計算中誤差同精度條件下，計算中誤差

5.3.3由改正數(shù)計算中誤差

例4：對某段距離同精度測量了4次，四次丈量值分別為：

25.066m,25.068m,25.056m,25.062m；試求該段距離的最或然值、觀測值中誤差及最或然值中誤差。次序觀測值l/m改正數(shù)v/mmvv/mm計算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11∑x=25.0630.084§5.4誤差傳播定律

5.4.1概述定義

是闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。用途

可根據(jù)觀測值中誤差求得觀測值函數(shù)的中誤差。例如

5.4.2誤差傳播定律

傳播定律問題：設(shè)有一般函數(shù)：Z=f（x1，x2，…xm）式中

xi為獨立觀測值，其中誤差為

mi，（i=1，2，…m），求z的中誤差？前提：在推導(dǎo)和運用誤差除傳播定律時，函數(shù)中的自變量

——

觀測值間應(yīng)該是相互獨立的，兩兩之間不能相互表達。

推導(dǎo)思想：函數(shù)Z的誤差Δz與觀測值xi的誤差Δi間的關(guān)系可由全微分的形式來表達。5.4.2誤差傳播定律公式推導(dǎo)5.4.3誤差傳播定律的幾個特例

倍數(shù)關(guān)系

5.4.3誤差傳播定律的幾個特例和差關(guān)系5.4.3誤差傳播定律的幾個特例一般線性關(guān)系5.4.4誤差傳播定律的幾個特例1.觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘常數(shù)。

2.兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方和。

3.k個觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于k個觀測值中誤差的平方和。

4.k個同精度觀測值代數(shù)和的中誤差，與觀測值個數(shù)k的平方根成正比。注意：觀測值必須是獨立觀測值。5.4.5誤差傳播定律題例

例5：如右圖，由A點求B的坐標值，觀測值為角度β和距離S，且已知測角中誤差mβ,測距中誤差mS，已知點A的坐標值無誤差，則B點的坐標精度

mx、my?5.4.5誤差傳播定律題例-—例5：計算步驟1.列出函數(shù)式：

Z=f（x1，x2，…xn）2.對函數(shù)式求導(dǎo)，得出函數(shù)的真誤差和觀測值真誤差的關(guān)系式。3.寫出函數(shù)的中誤差觀測值中誤差之間的的關(guān)系式。5.4.6同精度條件下，計算中誤差的幾種方法

由真誤差計算中誤差

Δi=Li-X（i=1，2，3，…，n）例5：在相同條件下，共觀測了24個三角形每個內(nèi)角，由觀測值算得各三角形的角度閉合差如下（單位秒）：-2.7，-0.6，+3.2，-1.9，+3.0，+1.7，+2.5，-0.8，-0.3，+2.6，-1.4，-0.1，+1.4，-0.6，-2.0，+3.6，+0.5，+1.2，-2.7，-0.6，+1.3，+1.5，-1.3，-0.8。

試計算每個三角形閉合差的中誤差mω和測角中誤差mβ。5.4.7同精度條件下，中誤差的計算由雙觀測值的差數(shù)計算中誤差

di=

L1i

-L2i

（i=1，2，3，…，n）例6：對8條邊作等精度雙次觀測，結(jié)果如下。取每條邊的算術(shù)平均值為該邊的最或然值，求觀測值中誤差和最或然值中誤差。編號：12345678

L1：